2. Interseco la parabola con una retta generica y=k (con 0<k<25/4) e trovo i punti M e N

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1 Maturità 8 Sessione Straordinaria. Problema. Sia data la parabola di equazione y a + b+ c. Si determini a,b,c in modo che la parabola passi per il punto A(,-6), B(,) e nel punto B sia tangente alla retta di coefficiente angolare 5.. Si determinino le misure dei lati del rettangolo di perimetro massimo inscritto nel segmento parabolico limitato dalla parabola e dall asse. Trovato questo rettangolo ed essendo M ed N i due suoi vertici che stanno sulla parabola, si calcoli in gradi e primi (sessagesimali) l ampiezza dell angolo acuto formato dalle due tangenti alla parabola in M ed N.. y a + b+ c y' a+ b. Imponendo il passaggio per A e B e imponendo in B la derivata uguale a 5. (per significato geometrico della derivata) 6 c c c 6 a + b + c b a + 6 b 7 y V 7 5 ; 5 a + b 5 a a a. Interseco la parabola con una retta generica yk (con <k<5/4) e trovo i punti M e N

2 y + y k k 7 6 y k 7± 5 4k M, N y k M k ; k k N ; k k Q ; k k 7 5 4k 5 4k MN N M 5 4k MQ k k Da cui Perimetro( MNPQ) ( MN + MQ) ( k k ) Perimetro massimo per k P ; k 4 5 4k Perimetro( k)' ( + ) 5 4k 5 4k la cui espressione è positiva per 5 4k 5 4k 5 4k 5 4k 4 4k (Valore massimo) 9 Perimetro ( ) ( ) ( + ) k 4 Osserviamo che agli estremi ho valori inferiori al massimo Perimetro () ( + 5 ) (5) Perimetro ( ) ( ) < per il valore massimo ho M ; 9 ; 4 N 4

3 m' m L angolo si calcola con la formula tanα + mm ' Dove m e m sono i coefficienti angolari della retta tangente nel punto N ed M 5 m am + b m' an + b tanα 4 Problema 4 α arc tan 5, α 5 ( 6)' 5 8' Si consideri la funzione f( ) ln +. Si studi tale funzione e si tracci il grafico γ, su un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oy).. Si scriva l equazione della tangente alla curva γ nel punto d intersezione con l asse y. f ( ). Si studi la funzione g ( ) e e se ne tracci il grafico Γ.. f( ) ln C.E. > > + + f( ) ln ( ) mai positiva e nulla lim ln + - A.V. lim ln ln A.V. f( ) ln + f () ln ln,69 Non ha intersezione con l asse. f ( + ) ( )( + ) '( ) ( + ) + ( + ) + ( + ) + + ( + ) ( + ) f '( ) + ( + ) ( + )( + ) + ± + ± + min. (non sta nel campo di esistenza) +

4 + Tralasciamo lo studio della derivata seconda e facciamo lo studio della derivata prima agli estremi. ( + ) + lim all infinito non va con valori bassi poco pendente ( e questo significa che ha ( + )( + ) un flesso dopo il massimo) Vista la difficoltà di studiare la derivata seconda potrei passare direttamente al grafico, e saltare il calcolo della derivata seconda. (Il calcolo che segue si può saltare.).. A partire dalla derivata prima scritta come segue, calcolo la derivata seconda. + f '( ) ( )( ) ( + + )( + ) f ''( ) ( ) f ''( ) f + ''( ) ( 8 4) f ''( ) Applico Ruffini al polinomio p ( ) Provo per ±, ±, ± 4, ± 8 p () p( ) p () p ( ) ( )( ) Nel secondo polinomio devo applicare Ruffini ±, ±, ± 4 e provando no trovo soluzioni razionali. Ora dovrei studiare la funzione q ( ) ( ), per trovare le soluzione, (con il metodo di approssimazione. Non riporto risultati. La soluzione è 4,95 tale soluzione. Sta oltre il C.E. Quindi ho un unico flesso, per

5 . Tangente nel punto (; ln ) (;ln ) y f( ) f '( )( ) f () ln f '() y ln ( ) y + ln ln. + ln + + f( ) e + C.E. ( ; + ) f( ) + lim + + y A.O. Intersezione asse A(-,) Intersezione asse y B(,/) f ( + ) ( + )( ) + '( ) ( + ) ( + ) +

6 f ''( ) ( + ) ( ) ( + )( )( + ) ( + ) f ''( ) ( + ) ( + ). ( + ) ( + ) Occorre discuterla con il calcolo approssimato. Si determinino le equazioni degli asintoti della curva f( ) arctan + C.E. ( ; + ) non ha asintoti verticali. π lim arctan ± ± + da cui π y ± A. O. (destro e sinitro). Un cilindro dentro un cono visto in sezione appare come in figura. Il volume di un cilindro si trova V Abase h π FH CH Quindi occorre trovare il raggio e l altezza del cilindro pongo raggio FH con r CH HA L altezza del cilindro KH h y ricordandoci le proporzioni abbiamo che ovvero CK HF

7 h r cioè y h h da cui r h rh h KH h r r rh h π h π h V( ) A h π ( r ) r r r r π h V '( ) r da cui massimo per r r base derivando πh 4 8 πh 4 4 Vma r r r r π hr r 9 7 r , 4. Si consideri la funzione f( ) Se ne studi la funzione e poi si tracci il grafico +, > +, f( ) f( ), < +, f( ) a sinistra e a destra ho due funzioni continue (polinomio di primo grado)., < Studio la continuità in. lim f( ) lim f( ) la funzione in non è continua. +

8 5. f ( ) sin f h f h f '( ) lim lim lim h h h h h h sin cos h+ cos sin h sin cos sinh cosh sin ( ) lim h h sin ( cos h) + cos sin h sin cos sinh cosh lim h h ( + ) ( ) sin ( + ) sin ( ) (sin cosh cos sinh) sin ( ) ( cos h) sin h sinh lim sin + cos sin cos cosh h h h h sinh cosh lim+ sin cos sincos h h 6. la proposizione è falsa Perché basta se prendo due rette r α β e s β, con α β Con angolo _ rs rs < 9. Questo è un esempio che contraddice la proposizione 7. f ( ) tan+ sin π π La funzione f() non è continua in. E quindi non derivabile. + cos Anche se f() f( π ) f '( ) + cos cos cos cos π, l unico punto in cui si annulla nell intervallo, ma tale punto non è interno. E quindi non esiste il punto a derivata nulla all interno dell intervallo. + 4> 8. y ln( + 4) > < ( 4) <

9 4 < < 4 4 Da cui C.E.. sin sin e cos cos e sin lim lim cos e elog( + e) cos e sin e + e