ESAME DI STATO 2009/10

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1 MATEMATICA & FISICA E DINTORNI Pasquale Spiezia ESAME DI STATO 9/ Scientifico Tradizionale PROBLEMI QUESITI PROBLEMA Sia ABCD un quadrato di lato, P un punto di AB e γ la circonferenza di centro P e raggio AP. Si prenda sul lato BC un punto Q in modo che sia il centro di una circonferenza λ passante per C e tangente esternamente a γ.. Se A P =, si provi che il raggio di λ in funzione di è dato da f. Riferito il piano ad un sistema di coordinate Oy, si tracci, indipendentemente dalle limitazioni poste ad dal problema geometrico, il grafico di f. La funzione f è invertibile? Se sì, quale è il grafico della sua inversa?. Sia g con R; quale è l equazione della retta tangente al grafico di R (, )? E nel punto S(, )? Cosa si può dire della tangente al grafico di g nel punto S? g nel punto 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f o, indifferentemente, di g. Riferendoci alla figura a lato si ha: PQ = + y; PB = ; QB = y Per il teorema di Pitagora si ha: + y = + y da cui dopo semplici passaggi l asserto: y = f = + Pagina di

2 Studio della funzione f = + METODO GEOMETRICO Dalla teoria è noto che la funzione omografica rappresenta una iperbole equilatera traslata di centro d a C, a +b y= c +d c c ed asintoti paralleli agli assi cartesiani di equazione d = e c Nel nostro caso risulta: C,, = e y =. La curva interseca gli assi cartesiani nei punti S, e R,. Il grafico è il seguente: a y= c METODO ANALITICO DOMINIO + per cui D =,, + INTERSEZIONI CON GLI ASSI CARTESIANI con O y = = =, ossia nel punto S, con Oy = y =, ossia nel punto R, Pagina di

3 SEGNO > N : > < + D : + > > f < < > e f > < < ASINTOTI ± ± lim = lim = la retta y = è un asintoto orizzontale. + + lim = ± la retta = è un asintoto verticale. ± + PUNTI ESTREMANTI + f = = < D. Dunque f strettamente decrescente in D. Non + + ci sono punti estremanti. CONCAVITÀ 4 f > > concavità in alto a destra di f = + f < < concavità in basso a sinistra di GRAFICO Pagina di

4 La f è invertibile perché strettamente decrescente in D. Risulta y + = da cui f =. Il grafico della inversa coincide con quello della f. + y = + y < < g = = + g = + + < > < - > + + Poiché g > < > e g < <, il punto = è un punto di minimo per la funzione g. Si tratta, però, di un punto di minimo non stazionario, ma angoloso essendo g + = e g = L equazione della tangente al grafico di m = g. P g in un punto P, y è P P y y =m con Nel punto R, è g = per cui l equazione della tangente in R è y =, ossia + y = +. A destra di S, la tangente al grafico di g ha equazione: y = =. Questa retta è perpendicolare alla tangente nel punto R,. A sinistra di S,, invece, la tangente al grafico di g ha equazione: y = = +. Grafico di g. Non è richiesto, ma lo facciamo come semplice esercitazione. g = f =,. Questa funzione già è stata rappresentata in precedenza. + g =,,+ + Anche questa funzione è una iperbole equilatera traslata, mostrata nella figura a lato, con le seguenti caratteristiche: centro : C, asintoti: = e y = intersezione con O : S, intersezione con Oy : Q, P P Pagina 4 di

5 Mettendo assieme i due grafici si ottiene il grafico della figura sottostante: Come si nota, nel punto S, la funzione sinistra. g = ha due tangenti, una a destra e l altra a S = d = d = d d = ln + = ln Pagina 5 di

6 PROBLEMA Nel piano, riferito a coordinate cartesiane Oy, si consideri la funzione f definita da f = b (b>, b ).. Sia G b il grafico di f() relativo ad un assegnato valore di b. Si illustri come varia G b al variare di b.. Sia P un punto di G b. La tangente a G b in P e la parallela per P all asse y intersecano l asse rispettivamente in A e in B. Si dimostri che, qualsiasi sia P, il segmento AB ha lunghezza costante. Per quali valori di b la lunghezza di AB è uguale a?. Sia r la retta passante per O tangente a G e (e = numero di Nepero). Quale è la misura in radianti dell angolo che la retta r forma con il semiasse positivo delle ascisse? 4. Si calcoli l area della regione del primo quadrante delimitata dall asse y, da G e e dalla retta d equazione y = e. La funzione f =b è una funzione esponenziale di base b, con b > ( ). Abbiamo una diversa funzione esponenziale per ogni valore di b. Studiamo il grafico della funzione nei seguenti casi: < b < e b > < b < Dominio : R Codominio : R Segno : f > R Intersezione con O : nessuna Intersezione con Oy : P, lim b = e lim b = + + Codominio : R Segno : f > R Intersezione con O : nessuna Intersezione con Oy : P, + f = b lnb > R f strettamente decrescente b > Dominio : R lim b = + e lim b = f = b lnb > R f strettamente crescente Pagina 6 di

7 Riferendoci al triangolo rettangolo PAB nella figura a lato si ha: BP BP = ABtg α AB = con tg α = f =b lnb tg α Dunque: AB = se < b < b lnb AB = = = b lnb lnb se b > lnb = b = e lnb = b = lnb e Riferendoci alla figura a lato e per quanto detto in precedenza, si ha: = =; ln e y = e = e = e. Dunque: tg α=e da cui α = arctge 4 S = S S in cui: S = area del rettangolo di base ed altezza e S = area della figura piana delimitata dal grafico della funzione f = e, l asse O e le rette = e = Risulta: S = e= e; S = e d = e = e Dunque: S = e e += Pagina 7 di

8 QUESITO Sia pun polinomio di grado n. Si dimostri che la sua derivata n-esima è coefficiente di n. n p n! a n dove a n è il Anzitutto, dimostriamo per induzione che n n D k =k n! n n D k =k n! è vera per n =. Infatti risulta: Dk =k =k! Supposto che essa sia vera per un qualsiasi n N, occorre provare che essa è anche vera per n +, ossia che DIMOSTRAZIONE: n+ n+ D k =kn+! Da quanto detto consegue che n+ n+ n n+ n n+ n n n n D k =D D k =D kd =D k n+ =k n+ D = =kn+ n! =kn+! C.D.D. n n n n n+ n n n D k =D D k =Dk n! = Sia p = a + a a + a un polinomio in di grado n. Per le regole precedenti si ha: n n n n n n n n n n n n n n p =D a + a + + a + a = D a + D a + + D a + D a = n n n n n n =D a n + D D an + + D D a + D a = an n! + D an n! + n + + D a = a n! QUESITO n Siano ABC un triangolo rettangolo in A, r la retta perpendicolare in B al piano del triangolo e P un punto di r distinto da B. Si dimostri che i tre triangoli PAB, PBC, PCA sono triangoli rettangoli. Sia π il piano contenente il triangolo rettangolo ABC. r π nel punto B r a tutte le rette del piano π passanti per B. PB BA PBA è rettangolo in B PB BC PBC è rettangolo in B Vogliamo dimostrare che anche il triangolo PAC è rettangolo. Dal teorema di Pitagora, applicato rispettivamente ai triangoli rettangoli PBA, PBC e BAC, si ha: PC = CB + BP ; PA = AB + BP ; BC = AC + BA da cui: PC = CB + BP = AC + BA + PA AB = AC + PA. Questa uguaglianza afferma che il triangolo PCA è rettangolo in A. Pagina 8 di

9 QUESITO Sia γ il grafico di f e. Per quale valore di la retta tangente a γ in ha pendenza uguale a? La pendenza della retta in questione è la tangente trigonometrica dell angolo α che essa forma con l asse O. Nel generico punto, f, risulta: + tg α =D e = e, per cui QUESITO 4 = e da cui: = ln Si calcoli: lim 4 sin sin lim 4 sin = lim 4. Poiché, possiamo applicare il limite notevole sin f lim =. Quindi lim 4 sin = 4 f f QUESITO 5 Un serbatoio ha la stessa capacità del massimo cono retto di apotema 8 cm. Qual è la capacità in litri del serbatoio? Detto V C il volume del cono, risulta: V C = πr h dove r = raggio del cerchio di base ed h altezza del cono. Riferendosi alla figura a lato si ha: Trattandosi di cono retto, risulta che a = + y VC VC = π a = πa π. Deriviamo e studiamo il segno di V C = πy, con e y >. y = a per cui V C. VC = πa π a a a a V C > < < < < < a = è un punto di massimo. Dunque: a a π V C ma = π a a = 6.75 cm = 6,75 dm 6 L. 7 Pagina 9 di

10 QUESITO 6 Si determini il dominio della funzione f cos Deve essere cos. π π cos,. Tenendo conto della periodicità del coseno, si ha: U π π D = +kπ, +kπ kn QUESITO 7 Per quale o quali valori di k la funzione h 4 4 k 4 è continua in = 4? Per la continuità deve essere lim 4 h = h 4. Risulta: h 4 = = ; lim h = h4 = e 4 + Deve essere lim h = lim h da cui 6k 9 =, ossia QUESITO lim h =6k 9 9 k= 6 Se n e n, n n, n n n sono in progressione aritmetica, qual è il valore di n? Poiché i tre coefficienti binomiali sono in progressione aritmetica, deve verificarsi l uguaglianza n n n n = definizione, n n! = k k! n k! n! n! n! n! =! n!! n!! n!! n! n n n n da cui essendo, per. Utilizzando più volte la nota proprietà del fattoriale n! = nn! si ha n n n! n n! n n n n! n n n! = da cui! n!! n!! n!! n! n n n n n n n n = 6 Dopo semplici calcoli si ottiene l equazione risolvente: n = 7 (da accettare). ossia n 6 = n n n. n 9n + 4 = da cui n = (da scartare) e Pagina di

11 QUESITO 9 Si provi che non esiste un triangolo ABC con AB =, AC= e ABC ˆ = 45 Si provi altresì che se AB =, AC = e ABC ˆ =, allora esistono due triangoli che soddisfano queste condizioni. Per il teorema dei seni si ha AB = AC sinγ sin45 da cui AB sinγ = sin45 = AC da cui due pos- = =,6 >. Assurdo, poiché sinγ AB Invece per γ = si ha sinγ = sin45 = = AC 4 sibili valori di γ: γ = arcsin 48,6 e 4 γ =8 arcsin 8 48,6 =,4 4 Dunque esistono due triangoli che soddisfano le condizioni del quesito. QUESITO Si consideri la regione delimitata da y, dall asse e dalla retta = 4 e si calcoli il volume del solido che essa genera ruotando di un giro completo intorno all asse y. Dalla teoria delle funzioni elementari è noto che il grafico della funzione y = è quello della figura a lato. Poiché il solido di cui si richiede il volume si ottiene mediante rotazione attorno all asse Oy, bisogna considerare la funzione = y. Tale volume V si ottiene come differenza tra il volume V del cilindro di raggio 4 ed altezza e il = y attorno all asse delle ordina- volume V del solido che si ottiene facendo ruotare la funzione te Oy con y,. 4 π V=πr h = π6 = π; 5 V =π y dy = π y dy = y = π. 5 5 Dunque 8 V = π π = π 5 5 Pagina di