Indipendentemente dai vincoli geometrici del problema, si studi f(x) e se ne rappresenti il grafico g.

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1 PROBLEMA Sia ABC un triangolo con il lato BC di lunghezza unitaria e l angolo AB ˆ C di ampiezza 6 a) Posto AB, si determini il rapporto f() tra la misura del lato AC e il seno dell angolo BC ˆ A Indipendentemente dai vincoli geometrici del problema, si studi f() e se ne rappresenti il grafico g b) Si verifichi che il punto P di coordinate ; è centro di simmetria per g c) Si determini l equazione della retta tangente a g nel suo punto di ascissa t; al variare di t nell intervallo ]; [, considerati i triangoli che tale retta forma intersecando gli assi cartesiani, si trovi per quale valore di t si ottiene il triangolo di area minima d) Dopo aver individuato la retta r inclinata di un angolo di 6 rispetto alla direzione positiva dell asse e secante g nel suo punto di ascissa, si calcoli l area della regione di piano compresa tra la curva g, la retta r, l asse delle ascisse e la retta di equazione e) Si determini l intervallo di valori che può assumere il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo ABC a) Calcoliamo AC con il teorema del coseno: AC AB BC AB BC cos A ˆBC AC AC AC Troviamosen BĈA con il teorema dei seni: AC sen ABC AB sen BCA AC Il rapporto f () diventa: sen BĈA sen B CA sen B CA f () ( ) f () Pertanto, la funzione ha > come unica limitazione imposta dal vincolo geometrico Per rappresentare il grafico γ di f () senza tenere conto del vincolo geometrico, determiniamo: Dominio: ] ; [ ] ; [ D Simmetrie: f ( ) ( ) ( ) ( * ) simmetrica rispetto all asse y, né rispetto all origine - ± f (), dunque ( ), f non è

2 Segno: f ( ) > se > Intersezioni con gli assi: poiché non appartiene al dominio, non esiste l intersezione con l asse delle ordinate; il polinomio al numeratore di f() non si annulla mai, dunque non esiste alcuna intersezione con l asse delle ascisse Limiti agli estremi di D: lim f lim f lim ( ) ; lim f ( ) lim ) ; ( lim lim ( ) ; f ( ) lim Constatiamo quindi che la retta di equazione è asintoto verticale per f() e che non esiste l asintoto orizzontale ma, dato che, la differenza tra il grado del numeratore e quello del denominatore è, certamente esisterà l asintoto obliquo e, per la natura algebrica di f(), sarà lo stesso a - e a : ( ) f m lim lim ; q lim f ( ) m ), ( lim/ * - ( y Pertanto l asintoto obliquo è la retta di equazione ( ) f Derivata prima: ( ) Il suo dominio è ] ; [ ] ; [ D e, dallo studio del segno, abbiamo che f () è crescente per < e >, decrescente per < < e < < è l ascissa di un punto di massimo relativo con f ( ) e è l ascissa di un punto di minimo relativo con f ( ) Derivata seconda: 4 f ( ) 4 Il suo dominio è ] ; [ ] ; [ D e, dallo studio del segno, deduciamo che f () ha concavità rivolta verso il basso per < e concavità rivolta verso l alto per > ; non ci sono punti di flesso con tangente obliqua Il grafico γ è rappresentato nella figura a fianco

3 b) Scriviamo le equazioni della simmetria di centro P e quelle della simmetria inversa a essa associata: s: y y 4 s - : y y 4 Trasformiamo l equazione della funzione y f() nelle nuove coordinate e y : y Semplifichiamo ed eliminiamo gli apici: y Poiché l equazione ottenuta coincide con quella di f(), il punto γ c) L equazione della retta tangente nel punto di g con ascissa t è y f ( t) f ( t)( t) Nel nostro caso abbiamo f t t ( t) e ( t) t t sostituendo otteniamo ( ) ( ) 4 y t f ; t t t t t t y ( ) P ; - è centro di simmetria per Determiniamo le coordinate dei punti R e S che la curva g ha in comune rispettivamente con l asse e l asse y, risolvendo i due sistemi relativi: y ( t t t * ( t) - R :/ ) t t, y R t t t ; ; y ( t t t * ( t) - S :/ ) t t, S ; t t Al variare di t nell intervallo ]; [, sia l ascissa del punto R sia l ordinata del punto S sono positive Pertanto i triangoli considerati hanno area A(t) data dalla seguente espressione:

4 A( t) OR OS t t t t t A( t) ( t ) t Calcoliamo la derivata prima A ( t) ( t )( t ) ( t)( t ) ( t ) ( t )( t) ( ) t A(t) è decrescente per < t <, crescente per < t < dunque assoluto nell intervallo ]; [ t è un minimo relativo e d) Per scrivere l equazione della retta r richiesta, dobbiamo determinare l ordinata corrispondente all ascissa assegnata e il coefficiente angolare L ordinata del punto Q di ascissa è: f ( ) ( ) ( ) Il coefficiente angolare è m tg6 6 ( ) Pertanto sostituendo nella formula y f ( ) f ( )( ), troviamo r : y ( ) ( ) r : y Indichiamo con H la proiezione ortogonale di Q sull asse delle ascisse Possiamo calcolare l area della regione di piano compresa tra la curva g, la retta r, l asse delle ascisse e la retta di equazione, come somma dell area del triangolo OHQ e di quella della regione sottesa dalla curva g nell intervallo ; dell asse delle ascisse Pertanto, utilizzando l integrale definito, otteniamo S OH HQ (d ( ) ( ) (d ( ) ln ( ln( )

5 e) I METODO Indicato con r il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo ABC, per il teorema della corda, abbiamo: AC rsen A ˆBC AC rsen6 AC r r AC si può considerare come il secondo membro dell equazione di una parabola che ha concavità rivolta verso l alto e che non tocca l asse delle ascisse; pertanto il valore minimo che tale quantità può assumere è in corrispondenza dell ordinata del vertice della parabola: La quantità ( ) Δ 4 4 a 4 4 Otteniamo dunque r 4 r II METODO Per il teorema della corda CB r sen Â, quindi abbiamo r sen  sen  r Poiché sen Â, allora r da cui segue che r r PROBLEMA In un sistema di riferimento cartesiano Oy si consideri il fascio di curve di equazione y f a ( ) a a, dove a è un parametro reale non nullo a) Si dimostri che esiste un unico punto comune a tutte le curve del fascio b) Si studi, al variare di a, la continuità di f a (), classificando gli eventuali punti di discontinuità c) Si dimostri che l equazione della curva γ del fascio che ha un minimo nel punto di ascissa si ha per a, si studino le caratteristiche di γ e se ne rappresenti il grafico 4 d) Si determini l equazione della retta parallela all asse che intersecando γ nel semipiano dei punti con ordinata positiva, intercetta una corda PQ 4, con P < Q Si scriva, inoltre, l equazione della parabola λ, con asse parallelo all asse y, passante per l estremo Q della corda e tale da avere in P tangente di equazione 4 y e) Si calcoli l area della regione finita S racchiusa da γ e da λ, e il volume del solido che ha come base S e come altezza in ogni punto di ascissa un segmento che misura 8 a) Assegniamo al parametro a due valori qualsiasi, per esempio a - e a, e risolviamo il sistema costituito dalle equazioni delle due curve corrispondenti, determinando i punti di intersezione:

6 y y 4 4 y y ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) y se ± 4 y 4 O(; ) Un punto è comune a tutte le curve del fascio se le sue coordinate, sostituite all equazione del fascio, soddisfano l identità per ogni valore del parametro a Verifichiamo se ciò si realizza per O: a a Pertanto O è l unico punto comune a tutte le curve del fascio b) Al variare del parametro a, l unica condizione di esistenza che dobbiamo imporre a ( ) riguardante il denominatore, che non può essere nullo, quindi a Calcoliamo il limite destro e il limite sinistro di ( ) lim f a ( a) lim f a ( a) ( ) ( ) lim a ( a) a 4a 4a lim a ( a) a 4a 4a f a per che tende a -a se a < - < a < ( ) se < a < a > se a a ( se a < - < a < ( ) se < a < a > se a a ( 4a a 4a a Pertanto per a ±, f a ( ) presenta una discontinuità di seconda specie in a Risolviamo l indeterminazione per a, sostituendo tale valore nell equazione di ( ) il limite per che tende a -: lim f ( ) lim ( ) lim f a è quella f a e calcolando

7 Eseguiamo gli stessi passaggi per a -, sostituendo tale valore nell equazione di ( ) limite per che tende a : lim f ( ) lim lim ( ) Pertanto f ( ) presenta una discontinuità di terza specie in - e ( ) di terza specie in c) Calcoliamo la derivata prima di f a ( ) : ( a )( a ) ( a ) a 4a 4a f a ( ) ( a ) ( a ) f f a e calcolando il presenta una discontinuità Imponiamo a di essere l ascissa di un punto a tangente orizzontale (punto stazionario) e determiniamo il valore di a corrispondente: a 4a 4a 4a a f ( a ) ( 4 a ) ( a ) ( a ) a a (non accettabile) a 4 Verifichiamo che si tratta di un punto di minimo studiando il segno della derivata prima per f 4 ( ) ( * - ) 4, ( ) Studiando il segno della derivata, otteniamo che f 4 e > 4 Pertanto è punto di minimo relativo per γ La curva γ ha equazione f ( ) 4 4 ( Per rappresentarne il grafico studiamo le seguenti caratteristiche a 4 ( ) è crescente per < < 4 e decrescente per < f () 8 4 Dominio: l unica condizione da imporre è che il denominatore non sia nullo, cioè 4 Pertanto D ; ; e dunque non possono esserci simmetrie né rispetto all asse y né rispetto all origine 8 8 Segno: f () > se < e < <, f () < se < < e > 8 Intersezione con gli assi: (; ) e ; Limiti agli estremi di D:

8 lim f ( ) 8 lim lim f ( ) lim ; lim f ( ) 8 lim 4 ; ; lim f ( ) lim 8 4 Constatiamo quindi che la retta di equazione è asintoto verticale per f () e che non esiste l asintoto orizzontale Osserviamo inoltre che, poiché la differenza tra il grado del numeratore e quello del denominatore è, esiste l asintoto obliquo e, per la natura algebrica di f (), è lo stesso a - e a : ( ) f m lim q lim f lim ; ( ) m ( lim Pertanto l asintoto obliquo è la retta di equazione 9 y 4 8 Derivata prima, già calcolata precedentemente, ha equazione: f dominio D ; ; Come già studiato f ( ) e ( ) ( ) è crescente per < < 4 e decrescente per < e > 4 Pertanto è l ascissa di un punto di minimo relativo per γ con ordinata f () ; 4 è l ascissa di un punto di massimo relativo per γ con ordinata f (4) 8 Derivata seconda: ( ) ( f ( ) )( ) ( ) 4 ( ) 4 4 ( ) f () ha concavità rivolta verso l alto per <, verso il basso per > ; non ci sono punti di flesso con tangente obliqua Il grafico di γ è rappresentato nella figura a lato

9 d) La generica retta parallela all asse che interseca γ nel semipiano dei punti con ordinata positiva, ha equazione y k, con k > Per determinare le coordinate dei punti P e Q, estremi della corda che la retta y k forma su γ, risolviamo il sistema costituito dalle due equazioni: 8 y P, Q : 4 y k ( k ) 4 k y k 4 k 4k 4k 6 4 k 4k 4k 6 P ; k, Q ; k 4k 4k 6 Quindi PQ Il valore di k > corrispondente alla retta che taglia una corda di lunghezza 4 si ottiene dunque risolvendo la seguente equazione in k: 4k 4k 6 4 4k 4k 6 4k 4k 84 k k (non accettabile) Pertanto l equazione della retta richiesta è y e gli estremi della corda sono P( ;) e Q(;) Per individuare l equazione y a b c della parabola λ, basta imporre il passaggio per i punti P e Q, e la condizione di tangenza alla retta di equazione 4 - y Abbiamo: Passaggio per P 4a b c ; Passaggio per Q 4a b c Per la tangenza, calcolata la derivata di y a b c, deve essere y( ) 4, ossia a( ) b 4 4a b 4 4a b 4 Risolvendo il sistema 4a b c 4a b c 4a b 4 otteniamo a, b,c 6 Pertanto la parabola λ ha equazione y 6 e) Sapendo che le due curve si incontrano nei punti P e Q, calcoliamo l area della regione finita S racchiusa daγ e λ con l integrale:

10 A ( S) 8 6 d d 4 Eseguiamo la divisione tra il numeratore e il denominatore della funzione integranda d ln 4 A( S) A(S) ln ln Il volume del solido si ottiene sommando i volumi dei prismi elementari che si ricavano, ciascuno, tagliando il solido con due piani perpendicolari al segmento [-; ] dell asse e a distanza d tra loro Le dimensioni della base del generico prisma elementare misurano 8 dunque d e 6, e la sua altezza misura ( 4 8) Il volume del generico prisma elementare è quindi 8 ( 8) 6 d 4 Pertanto il volume del solido è ( V ( 8) 6 8 * - d d ) 4, d 8 4 ) , ln 4 * ln9 V ln QUESTIONARIO squadre partecipanti a un torneo devono essere distribuite in tre gironi A, B e C, ciascuno composto da cinque squadre Le tre squadre classificatesi al primo posto l anno precedente devono necessariamente essere collocate in gironi distinti Calcola il numero complessivo di composizioni possibili dei tre gironi Iniziamo calcolando il numero dei modi in cui le squadre non classificatesi ai primi tre posti l anno precedente, possono essere collocate nel girone A Avendo a disposizione 4 posti e non avendo alcuna rilevanza l ordine di scelta, conteggiamo C ; 4 composizioni possibili per il girone A

11 Attraverso un discorso analogo relativo al girone B e tenendo conto che le squadre rimanenti da collocare sono 8, otteniamo C 8; 4 composizioni possibili per il girone B Infine, per quanto riguarda il girone C, dovendo essere formato da un numero di squadre pari al numero delle squadre non ancora collocate, il numero di composizioni possibili è pari a Per completare la composizione dei gironi aggiungendo la quinta squadra, dobbiamo, in conclusione, collocare le tre squadre classificatesi prime l anno precedente e possiamo farlo in P modi diversi Pertanto il numero complessivo di composizioni possibili dei gironi è: P C ;4 C 8;4 79 Dopo aver dato la definizione di cono e di cilindro equilateri, considerare una figura solida costituita dal cilindro equilatero inscritto in un cono equilatero assegnato Quanto vale il rapporto tra la superficie totale del cilindro e quella del cono? Un cono equilatero è un cono circolare retto che ha l apotema congruente al diametro del cerchio di base; pertanto le sezioni ottenute con piani passanti per il vertice e ortogonali al piano di base sono triangoli equilateri Un cilindro equilatero è un cilindro circolare retto che ha l altezza congruente al diametro del cerchio di base; pertanto le sezioni ottenute con piani passanti per i diametri e perpendicolari al piano di base sono quadrati Posto uguale a r il raggio di base del cilindro equilatero inscritto e indicate con, S e S rispettivamente le superfici totale, laterale e di base S T, cil L, cil B, cil del cilindro, abbiamo S T,cil S L,cil S B,cil πr r πr 6πr Per ricavare le superfici laterale e totale del cono, posto uguale a R il raggio di base del cono equilatero, impostiamo una proporzione dedotta dalla similitudine dei triangoli ABC e AVO: OA : CA VO : BC, da cui, sapendo che O A ˆV 6, ricaviamo R R r R r! R r Indicate con S L, cono S B, cono e ST, cono, rispettivamente le superfici laterale, di base e totale del cono, se a è l apotema che nel nostro caso vale R, abbiamo S L,cono π Ra π R R π R π r ( πr 7 4 ) ; ( ) S T,cono S L,cono S B,cono π R( a R) π R(R R) π R πr 7 4 Il rapporto ρ è pertanto ( ), 4 ρ S T,cil S T,cono 6 7 4

12 Si dimostri che la funzione f ( ) e cos π è invertibile nell intervallo [ ; [ Detta g(y) la funzione inversa di f(), calcolare g ( e 6 ) Dimostriamo che f() è biunivoca nell intervallo [ ; [ Calcoliamo la derivata prima di f(): f ( ) e π sen π Si ha f () > se e π sen π > e > π sen π Rappresentiamo graficamente le funzioni y e e y π sen π Dal grafico deduciamo che, nell intervallo [ ; [, y e «sta sopra» y π sen π, quindi la disequazione è verificata e dunque f() è crescente, perciò invertibile in tale intervallo; inoltre il suo codominio è! f ( ); Dato che ( ) lim f ( )! [ 4; [ f nell intervallo ; [ [, possiamo calcolare la derivata della funzione inversa g(y) per un qualsiasi valore di y appartenente al codominio di f(), quindi anche per y e 6, in esso compreso Osservando che è la controimmagine del valore y e 6, ricaviamo ( ) g e 6 ( ) f e 6 π ( ) e 6 π 4 In un sistema di riferimento cartesiano Oy, si consideri la parabola di equazione y 4 4 che interseca gli assi cartesiani nei punti A e B Si tracci la retta tangente in un qualunque punto dell arco AB e, considerato il triangolo che tale retta forma con gli assi cartesiani, si trovi il volume massimo del solido che il triangolo genera in una rotazione completa attorno all asse Disegniamo la figura del problema I punti d intersezione hanno coordinate A(;4) e B(;) ( ), con Un generico punto T dell arco AB, ha coordinate t;t 4t 4 t La retta tangente alla parabola in T ha equazione:

13 y y T y( T )( T ) y ( t 4t 4) (t 4) ( t) y (t 4) t 4 Calcoliamo le coordinate dei punti P e Q in cui la retta tangente interseca gli assi cartesiani: y (t 4) t 4 y t 4 P(; t 4) y (t 4) t 4 t 4 t 4 Q t 4 y t 4 ; * ), ( y Il solido che si ottiene dalla rotazione del triangolo OPQ intorno all asse è un cono di altezza OQ e raggio di base OP Pertanto il suo volume, espresso in funzione di t, è ( ) V(t) π OP OQ π t 4 ( ) t 4 ( π t 4 t 4 t 4 ( ) Calcoliamo la derivata della funzione V(t) e studiamo il suo segno ( ) V (t) π (t 4) t (t 4) t 4 t 4 ( ) π t ( 4) t t 4 ( ) t 4 ( ) ( ) > t ± ( t 4 ( V (t) > ( t t 4 > t < t > ( (( t 4) > t Dallo schema dei segni, deduciamo che la funzione ha un punto di massimo relativo in t dove il volume! vale V 8 4π Determinare, al variare del parametro reale a, il dominio della funzione: f ( ) a Studiare e rappresentare il grafico della funzione che si ottiene per a4 (tralasciare lo studio della derivata seconda)

14 a Deve essere: che possiamo scrivere (a ) Studiando il segno del secondo fattore, otteniamo lo schema nella figura a lato Tenendo conto del primo fattore, al variare di a, valgono le seguenti conclusioni: a < D f ] ; ] ] ; [; a D f R { ±}; a > D f ] ; [ [ ;[ Studiamo la funzione che otteniamo per a4: f () D f ] ; [ [ ;[ ; y ; y >, D f ; lim f () ; lim f () ; lim f () ; lim f () Quindi abbiamo che la retta di equazione y è asintoto orizzontale mentre le rette di equazione - e sono asintoti verticali ( ) ( ) f () ( ) ( ) Il dominio della derivata è D ] ; [ ] ;[ pertanto la derivata è positiva in tutto il suo dominio In abbiamo lim f (), quindi la funzione ha un punto con tangente verticale Tracciamo il grafico della funzione 6 Stabilire per quale insieme di punti del piano cartesiano l espressione rappresentazione grafica e y esiste e fornirne la L insieme di definizione della funzione a due variabili ( ; y) e y f si deduce imponendo le stesse condizioni che si impongono nel caso di funzioni a una variabile In tal caso, l unica condizione di esistenza da considerare riguarda il radicando che non può essere negativo:

15 e y y e e y e Il dominio della funzione f(;y) è pertanto rappresentato graficamente dalla regione di piano compresa tra le curve di equazioni y e e y e, con i bordi inclusi Tracciamo tali curve a partire dal grafico di e e applicando le trasformazioni geometriche 7 Calcolare il volume del solido generato dalla rotazione di 8, rispetto alla retta r di equazione, dell arco di parabola γ di equazione y y avente per estremi i punti che γ ha in comune con la retta s di equazione y La parabola γ ha l asse parallelo all asse e il vertice di coordinate ( ;) Determiniamo i punti A e B di intersezione tra γ e la retta s con il sistema: y y y A ;, B 6; ( ) ( ) y 4y y Il volume del solido generato dalla rotazione di 8 dell arco di parabola γ rispetto alla retta di equazione, si può calcolare dopo aver eseguito una traslazione t v con v ( ;) : t v : y y Scriviamo le equazioni di t v : y y y y e trasformiamo l equazione della parabola: da cui, eliminando gli apici, otteniamo y y Se ora effettuiamo la rotazione di 8 dell arco di parabola γ rispetto all asse y, otteniamo il solido di rotazione richiesto, traslato nella direzione del vettore v ( ;) Il suo volume è: π ( y y ) dy ( y ) π V π dy 4 ( y ) 6 π

16 8 Individuare i valori del parametro reale a per i quali relativamente all intervallo >, l area della regione compresa tra l asse e la curva di equazione ha valore finito f a a ( ) e, La funzione f() è sempre positiva, in quanto somma di una funzione non negativa e di una positiva; pertanto a l area della regione compresa tra l asse e la curva si ottiene con l integrale e a d Se a, f() e quindi l integrale improprio è divergente Se a abbiamo a e a d lim z lim z z a e a d e az a arctg z a, a da cui concludiamo se a < a a e d ; lim z -, a arctg e a a z / se a > a e a d aπ a L integrale risulta convergente, e quindi l area richiesta ha valore finito, per valori positivi di a 9 Data l iperbole γ di equazione f ( ) e la retta s di equazione f ( ), determinare nel semipiano >, al variare di una generica retta r parallela all asse y, il luogo geometrico Γ descritto dai punti medi dei segmenti che hanno per estremi i punti in cui r interseca γ e s Determinare, inoltre, l asintoto obliquo di Γ La generica retta r parallela all asse y ha equazione k Determiniamo il punto di intersezione A tra r e l iperbole γ, con il sistema:! k y A k; k Analogamente per il punto di intersezione B tra la retta r e la retta s:! k y B ( k; k )

17 ! Le coordinate del punto medio M, sono k;! k k! k; k k k L equazione cartesiana del luogo geometrico Γ si ottiene eliminando il parametro k dalle equazioni parametriche che esprimono le coordinate di M: k Γ : y k k k Γ : y Calcoliamo infine l asintoto obliquo, che esiste certamente dato che la differenza di grado tra numeratore e denominatore è : m lim ; q lim lim L equazione dell asintoto obliquo è pertanto y Si consideri la funzione f () ae b e si determinino a e b in modo che lim f () 4 e f ()d 4 Calcoliamo lim f (): Errore Non si possono creare oggetti dalla modifica di codici di campo Tale limite si presenta nella forma indeterminata, lo riscriviamo quindi come lim( ae b) lim a e b ) ( e applichiamo il teorema di De L Hospital: lim a e b ( lim a e b ( b Otteniamo: b 4 b Calcoliamo f ()d : f ()d ( ae b)d ae d Procediamo per parti: a e d 8 a e b[ ] a e d 8 a e e a( e e e e)8 a e 8 Pertanto: 4 a e 8 a e 4 a e a e d 8 ( ) a e 8