10. Anno scolastico 2009/2010

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1 . Anno scolastico 9/ Le tracce Problema Sia ABCD un quadrato di lato, P un punto di AB e g la circonferenza di centro P e raggio AP. Si prenda sul lato BC un punto Q in modo che sia il centro di una circonferenza l passante per C e tangente esternamente a g. a) Se AP =, si provi che il raggio di l in funzione di è dato da f( )= +. b) Riferito il piano ad un sistema di coordinate Oy, si tracci, indipendentemente dalle limitazioni poste ad dal problema geometrico, il grafico di f(). La funzione f() è invertibile? Se sì, qual è il grafico della sua inversa? c) Sia g ( )=, qual è l equazione della retta tangente al R ; + grafico di g() nel punto R(,)? E nel punto S(,)? Cosa si può dire della tangente al grafico di g() nel punto S? d) Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f() o, indifferentemente, di g(). Punto a) In Figura - è mostrato il quadrato ABCD dove AB = BC =. AP =, dove P è il centro della circonferenza g che quindi ha raggio pari a.

2 La prova scritta di matematica La circonferenza l ha centro Q e raggio QC = r da dovere esprimere in funzione di. Le due circonferenze sono tangenti esternamente nel punto E. Pertanto PE = AP = e QE = QC = r. Inoltre i due segmenti PE e EQ giacciono sulla stessa retta (quella perpendicolare alla retta tangente alle due circonferenze in E). Pertanto PQ = PE + QE = + r. Inoltre il segmento QB = CB CQ = r, mentre il segmento PB = AB AP =. D C Q E A P B Figura - Il quadrato di raggio unitario e le due circonferenze tangenti esternamente di centri P e Q. Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo PQB in Figura - si può scrivere: PQ = PB + BQ ( + r) =( ) +( r) Attraverso calcoli algebrici si isola il raggio r per esprimerlo in funzione di. + r + r =+ ++ r r + r + r =+ ++ r r r = + r r+ r =

3 r+ r = r(+ ) = r = + Quindi si può scrivere la funzione f(). f( )= r = + Punto b) Si studia f( )= +. Il campo di esistenza è dato dai valori per i quali non si annulla il denominatore +. Pertanto il campo di esistenza si esprime come ] q; [ ] ;+ q[. La funzione interseca l asse delle ordinate nel punto (,) dato dal seguente sistema di equazioni: y = + = La funzione interseca l asse delle ascisse nel punto (,) dato dal seguente sistema di equazioni: y = + y = Anno scolastico 9/ Lo studio del segno della funzione è dato dalla disequazione: y = = = = y = y = + N D> + > >

4 4 La prova scritta di matematica Si traccia il grafico dei segni dal quale si evince che la funzione è positiva per < <. N D + Mediante il calcolo dei limiti si determinano asintoti e comportamento agli estremi. lim = lim = ± q+ ± q Pertanto y = è asintoto orizzontale e non vi sono asintoti obliqui. lim = lim q + = lim = lim q + = Pertanto = è asintoto verticale. La derivata della funzione è: (+ ) ( ) + f ( )= = = (+ ) (+ ) (+ ) Si nota che f () è sempre negativa per qualsiasi valore di appartenente al campo di esistenza della funzione; pertanto la funzione è sempre decrescente e non esistono punti di massimo o di minimo. La derivata seconda vale: 4 f ( )= ( )( + ) = ( + ) Il segno di f () è determinato dal denominatore. Si ha f () < se + < ossia <, mentre f () > se + > ossia >. Di seguito è riportato il grafico dei segni con le concavità.

5 Anno scolastico 9/ 5 D + Pertanto la funzione ha concavità rivolta verso il basso quando <, mentre la sua concavità è rivolta verso l alto quando >. Non esistono punti di flesso. In Figura - è riportato il grafico della f(). = f () = ( ) / (+ ) 4 Figura - In alternativa allo studio canonico del grafico di una funzione, si può notare che la f() è una funzione omografica del tipo: a + b y = c + d Nel caso particolare in cui b = d = c =, mentre a =. Tale funzione non è altro che una iperbole equilatera, riferita ai suoi asintoti e traslata dall origine degli assi nel punto d a O, (, ), c c detto centro di simmetria, secondo la trasformazione:

6 6 La prova scritta di matematica = X d c y= Y + a c = X y= Y d La funzione omografica ha asintoto verticale = = e asintoto c a orizzontale y = =. c bc ad Se la quantità k = = + allora l iperbole equilatera c =>, prima della traslazione è nel primo e terzo quadrante e di conseguenza la funzione omografica è sempre decrescente, come nel caso in questione. In alternativa, se fosse stato k <, allora l iperbole equilatera sarebbe stata localizzata nel secondo e nel quarto quadrante e la funzione omografica sarebbe stata crescente. La funzione f() verifica le due seguenti condizioni: ) è strettamente monotona nel suo dominio, in particolare è strettamente decrescente in quanto f () < ; ) esiste un elemento di separazione (il valore ) tra le immagini dei due distinti intervalli che compongono il suo dominio; in pratica se q f < mentre se ;+ q f( ) >. ] ; [ ( ), ] [ Pertanto la funzione è invertibile e se ne determina algebricamente l inversa: y = y(+ )= y + y = + y = y + y (+ y) = y = + y Quindi: f y ( y)= + y

7 Anno scolastico 9/ 7 La funzione inversa f ( y) ha la stessa forma funzionale della funzione f() (si sostituisca in essa a y per averne evidenza). Quindi la funzione f coincide con la sua inversa f. Siccome, in generale, il grafico della funzione inversa f è il simmetrico, rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante (di equazione y = ), del grafico della funzione di partenza f, si deduce che la stessa funzione di partenza f è simmetrica rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante (vedi Figura -) f () = ( ) / (+ ) y = 4 Figura - La funzione f() è simmetrica rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante, pertanto coincide con la sua inversa.

8 8 La prova scritta di matematica Punto c) Si considera la funzione: g ( )= f( ) = + Dallo studio del segno della funzione f(), si deduce che g() può essere espressa nel modo seguente: < + g ( )= < > + Di conseguenza la derivata di g() vale: (+ ) g ( )= (+ ) < <- > Il coefficiente angolare m della retta tangente alla g() nel suo punto R (;) è dato dal valore assunto dalla derivata g () nell ascissa =. m= g ()= (+ ) = Pertanto la retta tangente alla funzione in R può essere scritta mediante il fascio di rette passanti per R: y yr = m( R) y = ( ) y = + Si calcolano limite destro e sinistro della funzione nel punto S (;).

9 Siccome lim g ( ) = = lim g ( ), la funzione g() non è derivabile in =. In particolare, siccome limite destro e sinistro sono + distinti ed entrambi finiti, si può affermare che in = vi è un punto angoloso. Non ha senso quindi parlare di tangente in = (e nel punto S); si possono però esprimere le equazioni della tangente sinistra e destra in =. Per si ha Per + si ha lim g ( ) = lim = = (+ ) (+) lim g ( ) = lim = = + + (+ ) (+) m =, m = +, Anno scolastico 9/ 9 quindi la tangente sinistra vale: y y = m ( ) S y = ( ) y = + quindi la tangente sinistra vale: + y y = m ( ) S y = ( ) y = In Figura -4 è mostrata la funzione g() e le tangenti nei punti R ed S. s s

10 La prova scritta di matematica g () y = y = y = Figura -4 Punto d).5.5 A f ().5 Figura -5 Il triangolo mistilineo ROS è individuato dai due assi cartesiani e dall arco della funzione f() per (Figura -5). La sua area è data dal seguente integrale definito:

11 A = + d Aggiungendo e sottraendo al numeratore della funzione e integrando si ottiene: + A d d d = = = d = Anno scolastico 9/ = d d = [log(+ )] [ ] = (log log) ( ) = + = log = log log e= log4 log e= log 4 e Problema Nel piano, riferito a coordinate cartesiane Oy, si consideri la funzione f definita da f() = b (b >, b ). a) Sia G b il grafico di f() relativo ad un assegnato valore di b. Si illustri come varia G b al variare di b. b) Sia P un punto di G b. La tangente a G b in P e la parallela per P all asse y intersecano l asse rispettivamente in A e in B. Si dimostri che, qualsiasi sia P, il segmento AB ha lunghezza costante. Per quali valori di b la lunghezza di AB è uguale a? c) Sia r la retta passante per O tangente a G e (e = numero di Nepero). Qual è la misura in radianti dell angolo che la retta r forma con il semiasse positivo delle ascisse? d) Si calcoli l area della regione del primo quadrante delimitata dall asse y, da G e e dalla retta d equazione y = e. Punto a) La funzione f() = b con b > e b è la ben nota funzione esponenziale. Qualsiasi sia il valore di b (maggiore di e diverso da ), essa è definita per qualsiasi valore reale di ed è sempre positiva; pertanto, f() non interseca mai l asse delle ascisse, mentre interseca l asse delle ordinate nel punto di coordinate (,).

12 La prova scritta di matematica Se < b < si ha: lim b = ; lim b = + q + q q Pertanto l asse delle ascisse (di equazione y = ) è asintoto orizzontale destro. La derivata della funzione è f () = b log b. Siccome < b <, allora logb < da cui f () < ; pertanto la funzione è sempre strettamente decrescente e non ha punti di massimo o di minimo. La derivata seconda vale f () = b (log b) ed è sempre positiva. Pertanto la concavità della funzione è rivolta verso l alto e non vi sono flessi. Se b > si ha: lim b = + q; lim b = + q q Pertanto l asse delle ascisse (di equazione y = ) è asintoto orizzontale sinistro. La derivata della funzione è f () = b log b. Siccome b >, allora log b > da cui f () > ; pertanto la funzione è sempre strettamente crescente e non ha punti di massimo o di minimo. La derivata seconda vale f () = b (log b) ed è sempre positiva. Pertanto la concavità della funzione è rivolta verso l alto e non vi sono flessi. In Figura -6 è mostrato il grafico di f() quando b = /4 =,5 e quando b = 4. b =.5 f b = Figura -6

13 Anno scolastico 9/ Punto b) Sia P un generico punto di f() di coordinate P ( P ; b P ). Il coefficiente angolare m della retta tangente alla f() nel suo punto P è dato dal valore assunto dalla derivata f () nell ascissa di P. m= f ( )= b P logb Pertanto la retta tangente alla funzione in P può essere scritta mediante il fascio di rette passanti per P: Si determina l intersezione di tale retta con l asse della ascisse: P yp = m( P) P P y b = b log b( P ) P P y= b log b( )+ b P P y= b log b( P )+ b P P b log b( P ) + b = log b( P )+= y = log b ( )= = = P P P logb logb Il punto di intersezione è A log b,. P La parallela all asse delle ordinate passante per il punto P ha equazione = P ; pertanto il punto B ha coordinate B ( P,). Il segmento AB, che giace sull asse delle ascisse, ha lunghezza pari a: AB = = + log b = log b. B A P P Si nota che il segmento AB ha lunghezza indipendente dal punto P (in particolare dall ascissa P ) e la sua lunghezza resta univocamente determinata quando viene fissato b. Si impone AB = per determinare il valore di b. P

14 4 La prova scritta di matematica AB = log b = log b = Per cui si ha: log b= log b log b= log b< log b= b log b= b< b= e b b= e b< Le due soluzioni ottenute sono entrambe accettabili, pertanto si ha b= e b= e =. e In Figura -7 è mostrato il segmento AB quando b =, = y = P A B Figura -7

15 Anno scolastico 9/ 5 Punto c) Si considera f() quando b = e, ossia f() = e. La derivata è f () = e ; pertanto il coefficiente angolare della retta tangente a f() nel generico punto C ( ; e C vale m= f ( )= e C C ) C. La retta passante per il generico punto C è quindi: y y = m( ) C C Equazione - C C y e = e ( ) C Imponendo il passaggio di tale retta per l origine O (;) si ottiene il valore di C. C C e = e ( C ) C C e = Ce = C = C Sostituendo tale valore nell Equazione - si ottiene: y e = e ( ) y e= e e y= e Il coefficiente angolare di questa retta tangente alla f() è la tangente goniometrica dell angolo a che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse (Figura -8); pertanto si ha: tan α = e α = arctan e =, 8rad

16 6 La prova scritta di matematica 6 5 y =.78 4 e =.8 rad Figura -8 Punto d) Si calcola l intersezione della f() = e con la retta y = e. y= e y= e e = e = Pertanto, l area A della regione del primo quadrante delimitata dall asse y, da f() = e e dalla retta d equazione y = e, mostrata in Figura -9, è data dal seguente integrale definito: A= ( e e ) d

17 Anno scolastico 9/ y = e A e Figura -9 Si calcola il valore dell area: A= ( e e ) d = ed e d = e[ ] [ e ] = = e[ ] [ e e ]= e ( e )= e e+=

18 8 La prova scritta di matematica Il questionario Quesito Sia p() un polinomio di grado n. Si dimostri che la sua derivata n-esima è p (n) () = n! a n dove a n è il coefficiente di n. Il generico polinomio di grado n può essere scritto nel modo seguente: n n n P ( )= a + a + a + + a + a+ a n n n Derivando una prima volta scompare il termine noto a ed il termine di grado n diventa di grado n. Derivando una seconda volta scompare quello che nel polinomio di partenza era il termine lineare ed il termine che inizialmente era di grado n diventa di grado n. Nella derivata terza scompare quello che nel polinomio di partenza era il termine al quadrato ed il termine di grado n diventa di grado n. Quest ultimo termine presenta un prodotto di fattori del tipo a n n(n )(n ). Proseguendo con le derivate successive, si cancellano i termini di grado sempre maggiore. Nella derivata quarta scompare il termine di grado e nel termine di grado n (ormai abbassato al grado n ) si determina il seguente fattore a n n(n )(n )(n ), nella derivata quinta scompare il termine di grado 4 e nel termine di grado n (ora di grado n 4) si determina il seguente fattore a n n(n )(n )(n )(n 4). Giunti alla derivata di ordine n scompare anche il termine di grado n mentre n n n P ( )= a n + a ( n ) + a ( n ) + + a + a n n n n n n 4 P ( )= ann( n ) + an ( n )( n ) + an ( n )( n ) + + +a n n 4 P ( )= ann( n )( n ) + an ( n )( n )( n ) + n 5 + a ( n )( n )( n 4) + n

19 Anno scolastico 9/ 9 l unico termine che sopravvive è quello che in partenza era di grado n. Il grado di questo termine si è abbassato fino a ridursi ad un termine noto, costituito dal prodotto del coefficiente iniziale a n e del fattoriale di n. Quindi si ha: n P ( )= ann( n )( n ) n P ( )= a n! n Quesito Siano ABC un triangolo rettangolo in A, r la retta perpendicolare in B al piano del triangolo e P un punto di r distinto da B. Si dimostri che i tre triangoli PAB, PBC, PCA sono triangoli rettangoli. P B C Figura - A In Figura - è mostrato il triangolo ABC, retto in A ed il punto P appartenente alla retta passante per B e perpendicolare al piano del triangolo. Per costruzione il segmento PB è perpendicolare al piano del triangolo, quindi esso è perpendicolare a tutte le rette passanti per B che giacciono sul piano del triangolo. Quindi PB è perpendicolare sia ad AB sia a BC; pertanto i triangoli PCB e PAB sono rettangoli. Resta da dimostrare che il triangolo PCA è retto in A. Per fare questo si vuole

20 La prova scritta di matematica dimostrare che per il triangolo PCA vale il teorema di Pitagora, ossia PC = CA + PA. Si scrive il teorema di Pitagora per i triangoli rettangoli ABC, PCB e PBA. () BC = CA + AB () PC = BC + PB () PA = AB + PB Sommando le equazioni () e () e sottraendo ad esse l equazione () si ottiene: BC + PC PA = CA + AB + BC + PB AB PB BC + PC PA = CA + AB + BC + PB AB PB PC PA = CA PC = CA + PA L ultima relazione ottenuta è proprio il teorema di Pitagora applicato al triangolo PCA. Essendo il teorema di Pitagora valido per tale triangolo, si può dedurre che esso è rettangolo. Quesito Sia g il grafico di f() = e +. Per quale valore di la retta tangente a g in (, f()) ha pendenza uguale a? La derivata di f() = e + vale f () = e ; pertanto il coefficiente angolare (la pendenza) della retta tangente a f() nel generico punto P (;e + ) vale m = f () = e. Si impone che tale coefficiente angolare valga per determinare il valore di ricercato. e = e = log e = log =log = log

21 Anno scolastico 9/ Quesito 4 Si calcoli: lim 4 sin q Si pone y =, da cui =. Tenendo conto che per q, si ha y y, si ottiene il seguente limite: y lim 4 sin y = 4 lim sin y y y y y Considerando il limite notevole lim sin =, si può scrivere: y y y 4 lim sin =4 =4 y y Quesito 5 Un serbatoio ha la stessa capacità del massimo cono circolare retto di apotema 8 cm. Quale è la capacità in litri del serbatoio? P a h Q r H Figura -

22 La prova scritta di matematica Si indicano con a l apotema del cono, con r il raggio della base e con h l altezza del cono. Applicando il teorema di Pitagora al triangolo PQH in Figura - si può scrivere: Da tale relazione si isola r : PQ = PH + QH a = h + r Equazione - r = a h Il volume del cono si esprime mediante la seguente relazione: Usando l Equazione - si può scrivere: Il valore di a è noto, pertanto il volume varia al variare dell altezza h. L intervallo di variabilità di h è determinato dal valore di a = 8 cm; pertanto si ha < h < 8. Si studia il segno della derivata di V(h) al variare di h per determinare eventuali punti di massimo del volume e quindi della capacità del serbatoio. La derivata vale: Si studia il segno della derivata: Si passa all equazione associata: V = π r h V( h)= a h h ( π ) V( h)= a h h ( π ) V ( h)= a h ( π ) V ( h) π ( a h ) a h h a

23 Anno scolastico 9/ a a h a = h = h = ± h= ± a h= ± a La soluzione della disequazione è data dai valori interni all intervallo che ha per estremi le soluzioni dell equazione associata. Quindi nell intervallo a h a la funzione V(h) è crescente. Per i limiti di +, variabilità di h tale intervallo si restringe a < h a. Pertanto dal grafico dei segni si ottiene l andamento di V(h) e il punto di massimo. a a h V' (h) Il valore massimo del volume si ottiene in corrispondenza dell altezza: Quindi il volume massimo vale: Sostituendo il valore di a si ottiene: h = V h= a = a a a = a π π a = = a a = a = a = π π π πa 7 a V = 8 cm = 8 cm = 8 π( ) π π cm 7 7 7

24 4 La prova scritta di matematica Tenendo conto che cm = dm si ottiene: V = 8 π dm = 4 π dm 6, 4 dm 7 7 Ricordando che un litro equivale ad un decimetro cubo, ossia l = dm, si ottiene il volume espresso in litri: V 6,4 l Quesito 6 Si determini il dominio della funzione f( )= cos. Perché f() sia definita occorre che il radicando sia maggiore o uguale a zero. cos Tale disequazione goniometrica ha le seguenti soluzioni che rappresentano gli intervalli di definizione della f(). π π + kπ + +kπ con k Z Quesito 7 Per quale o quali valori di k la funzione è continua in = 4? La funzione in = 4 vale: 4, 4 h ( )= k, > 4 h(4)=4 4 4= =

25 Perché la funzione sia continua in = 4 deve essere: In particolare si ha: lim h ( ) = h(4) = lim h ( ) lim h ( ) = lim ( 4) = = = 4 4 Quindi la condizione lim h ( ) = h(4) è sempre verificata. 4 Inoltre: lim h ( ) = lim ( k ) = k 4 4 = 6 k 8 = 6 k Anno scolastico 9/ 5 Pertanto, perché si verifichi la condizione lim h ( ) = h(4) deve essere: k 9= k= 9 6 Quesito 8 n n n Se n > e n, n, n qual è il valore di n? sono in progressione aritmetica, Il coefficiente binomiale è dato dalla seguente formula: dove il fattoriale di un numero naturale n, indicato con n!, è pari al prodotto di tutti gli interi da fino a n: Pertanto si ha: n n! = k k!( n k)! n!= n ( n ) ( n )

26 6 La prova scritta di matematica n n n n n n n =!! ( n )! =! ( n )! = ( )! = ( n )! n n n n n n n n n =!! ( n )! =! ( n )! = ( ) ( )! ( ) = ( n )! n n n n n n n n n n n =!! ( n )! =! 6( n )! = ( ) ( ) ( )! ( ) ( ) = 6( n )! 6 Tre numeri a, a e a sono in progressione aritmetica se avviene che: a a = a a siano in progressione arit- n n n Pertanto, affinché n, n, n metica, deve essere: n n n n n n = n n n ( n ) ( n ) n ( n ) n ( n ) = n 6 n ( n ) ( n ) n ( n ) + n = 6 n ( n ) ( n )+6 n=6 n ( n ) n ( n n n+)+6 n=6 n 6n n n + n+6 n=6 n 6n n 9 n +4 n= nn ( 9 n+4)= Scartata la soluzione banale n =, si ha: n n n 9 n+4= = 9 ± 8 56 = 9 ± 5 = 9 ± 5 =7 n = e

27 Anno scolastico 9/ 7 Poiché dalla traccia deve essere n >, l unica soluzione possibile è n = 7. Quesito 9 Si provi che non esiste un triangolo ABC con AB =, AC = e ABC ˆ = 45. Si provi altresì che se AB =, AC = e ABC ˆ =, allora esistono due triangoli che soddisfano queste condizioni. C γ A α Figura - β B In Figura - è mostrato il triangolo nel quale si ha AB =, AC =. Si suppone che ABC ˆ = b = 45. Si pone inoltre BCA ˆ = g. Applicando il teorema dei seni al triangolo in questione si ottiene: AB AC sin = sin 45 sin = sin γ = γ γ 4,6> Pertanto tale triangolo non può esistere. Si suppone ora che in Figura - si abbia ABC ˆ = b =. Dal teorema dei seni si ottiene: AB AC sin = sin sin = sin γ = γ γ 4 Pertanto vi sono due valori possibili per l angolo g: γ =arcsin 48 = 8 arcsin γ. 4 4

28 8 La prova scritta di matematica Si calcola il lato incognito CB = mediante il teorema di Carnot: AC = AB + CB AB CB cos = + 4=9+ +5= = ± 7 = ± 7 e Entrambe le soluzioni sono positive e quindi accettabili. In particolare BC = + 7, 94 corrisponde a γ =arcsin 4, mentre BC = 7, 7 corrisponde a γ = 8 arcsin In 4. Figura - sono mostrati i due triangoli ABC che si possono ottenere con le condizioni assegnate. C A C.7 = Figura - B

29 Anno scolastico 9/ 9 Quesito Si consideri la regione delimitata da y=, dall asse e dalla retta = 4 e si calcoli il volume del solido che essa genera ruotando di un giro completo intorno all asse y. 6 5 = 4 4 A sqrt() S B Figura -4 La regione S ed il volume generato dalla rotazione della regione. Per calcolare il volume del solido generato dalla rotazione completa della regione S in Figura -4 intorno all asse delle y, occorre considerare l inversa della funzione y= nell intervallo [,4], ossia = y. L intervallo di variabilità della y è y ; esso si ottiene sostituendo nella funzione y= gli estremi dell intervallo di variabilità di, ossia e 4. Inoltre va considerata la retta = 4 che, con l asse della ascisse e la funzione = y, individua la regione S mostrata in Figura -4. Il volume di un solido di rotazione, ottenuto facendo ruotare l area racchiusa tra due funzioni h ( y) e h ( y), tra i due estremi a e b, attorno all asse y, è dato dall integrale:

30 La prova scritta di matematica Nel caso specifico si ha h ( y) = 4 e h ( y) = y, pertanto si può considerare: Si ottiene: b b [ ] [ ] a a V = π h ( y) dy π h( y) dy [ ] V = π 4 dy π y dy V = 4 dy y 4 5 π π dy = 6 π dy π y dy = 6 π y π y [ ] [ ] 5 =6 [ ] = 5 5 = 6 π π π π = 8 π 5 5 =