Indipendentemente dai vincoli geometrici del problema, si studi f(x) e se ne rappresenti il grafico g.

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1 PROBLEMA Sia ABC un triangolo con il lato BC di lunghezza unitaria e l angolo AB ˆ C di ampiezza 60 a) Posto AB =, si determini il rapporto f) tra la misura del lato AC e il seno dell angolo BC ˆ A Indipendentemente dai vincoli geometrici del problema, si studi f) e se ne rappresenti il grafico g b) Si verifichi che il punto P di coordinate 0; è centro di simmetria per g c) Si determini l equazione della retta tangente a g nel suo punto di ascissa t; al variare di t nell intervallo ]0; [, considerati i triangoli che tale retta forma intersecando gli assi cartesiani, si trovi per quale valore di t si ottiene il triangolo di area minima d) Dopo aver individuato la retta r inclinata di un angolo di 60 rispetto alla direzione positiva dell asse e secante g nel suo punto di ascissa, si calcoli l area della regione di piano compresa tra la curva g, la retta r, l asse delle ascisse e la retta di equazione = e) Si determini l intervallo di valori che può assumere il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo ABC a) Calcoliamo AC con il teorema del coseno: AC = AB BC AB BC cos A ˆBC AC = AC = AC = Troviamosen BĈA con il teorema dei seni: AC sen ABC = AB sen BCA AC Il rapporto f ) = diventa: sen BĈA = sen B CA sen B CA = f ) = ) f ) = Pertanto, la funzione ha > 0 come unica limitazione imposta dal vincolo geometrico Per rappresentare il grafico γ di f ) senza tenere conto del vincolo geometrico, determiniamo: Dominio: = ] ; 0[ ] 0; [ D Simmetrie: f ) = ) ) = * ) simmetrica rispetto all asse y, né rispetto all origine - ± f ), dunque ), f non è

2 Segno: f ) > 0 se >0 Intersezioni con gli assi: poiché = 0 non appartiene al dominio, non esiste l intersezione con l asse delle ordinate; il polinomio al numeratore di f) non si annulla mai, dunque non esiste alcuna intersezione con l asse delle ascisse Limiti agli estremi di D: lim f = lim = f = lim = 0 0 ) ; lim f ) = lim ) = ; lim = 0 0 lim ) ; f ) lim = Constatiamo quindi che la retta di equazione = 0 è asintoto verticale per f) e che non esiste l asintoto orizzontale ma, dato che, la differenza tra il grado del numeratore e quello del denominatore è, certamente esisterà l asintoto obliquo e, per la natura algebrica di f), sarà lo stesso a - e a : ) f m = lim = lim = ; q = lim f ) m ), = lim/ * - 0 = y Pertanto l asintoto obliquo è la retta di equazione = ) f = = Derivata prima: ) Il suo dominio è = ] ; 0[ ] 0; [ D e, dallo studio del segno, abbiamo che f ) è crescente per < e >, decrescente per < < 0 e 0 < < = è l ascissa di un punto di massimo relativo con f ) = e = è l ascissa di un punto di minimo relativo con f ) = Derivata seconda: 4 f ) = = 4 Il suo dominio è = ] ; 0[ ] 0; [ D e, dallo studio del segno, deduciamo che f ) ha concavità rivolta verso il basso per < 0 e concavità rivolta verso l alto per > 0 ; non ci sono punti di flesso con tangente obliqua Il grafico γ è rappresentato nella figura a fianco

3 b) Scriviamo le equazioni della simmetria di centro P e quelle della simmetria inversa a essa associata: = s: y = y 4 = s - : y = y 4 Trasformiamo l equazione della funzione y = f) nelle nuove coordinate e y : y = Semplifichiamo ed eliminiamo gli apici: y = Poiché l equazione ottenuta coincide con quella di f), il punto γ c) L equazione della retta tangente nel punto di g con ascissa t è y f t) f t) t) = Nel nostro caso abbiamo f t t t) = e t) = t t sostituendo otteniamo ) ) 4 y = t f ; t t t = t t t y ) P 0; - è centro di simmetria per Determiniamo le coordinate dei punti R e S che la curva g ha in comune rispettivamente con l asse e l asse y, risolvendo i due sistemi relativi: y = t t t 0 * t) - R :/ ) t t, 0 y = 0 R t t t ; 0 ; y = t t t 0 * t) - S :/ ) t t, 0 = 0 S 0; t t Al variare di t nell intervallo ]0; [, sia l ascissa del punto R sia l ordinata del punto S sono positive Pertanto i triangoli considerati hanno area At) data dalla seguente espressione:

4 A t) = OR OS = t t t t t A t) t ) = t Calcoliamo la derivata prima A t) t ) t ) t) t ) t ) = t ) t) = ) t At) è decrescente per 0 < t <, crescente per < t < dunque assoluto nell intervallo ]0; [ t = è un minimo relativo e d) Per scrivere l equazione della retta r richiesta, dobbiamo determinare l ordinata corrispondente all ascissa assegnata e il coefficiente angolare L ordinata del punto Q di ascissa è: f ) = ) ) Il coefficiente angolare è m = tg60 = = 6 = ) Pertanto sostituendo nella formula y = f 0 ) f 0 ) 0 ), troviamo r : y = ) ) r : y = Indichiamo con H la proiezione ortogonale di Q sull asse delle ascisse Possiamo calcolare l area della regione di piano compresa tra la curva g, la retta r, l asse delle ascisse e la retta di equazione =, come somma dell area del triangolo OHQ e di quella della regione sottesa dalla curva g nell intervallo ; dell asse delle ascisse Pertanto, utilizzando l integrale definito, otteniamo S = OH HQ d = ) ) d = ) = ln = ln )

5 e) I METODO Indicato con r il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo ABC, per il teorema della corda, abbiamo: AC = rsen A ˆBC AC = rsen60 AC = r r = AC = si può considerare come il secondo membro dell equazione di una parabola che ha concavità rivolta verso l alto e che non tocca l asse delle ascisse; pertanto il valore minimo che tale quantità può assumere è in corrispondenza dell ordinata del vertice della parabola: La quantità ) Δ 4 = = 4 a 4 4 Otteniamo dunque r 4 r II METODO Per il teorema della corda CB = r sen Â, quindi abbiamo = r sen  sen  = r Poiché 0 sen Â, allora 0 r da cui segue che r r PROBLEMA È data la funzione a se 0 f ) = b ln se > 0 a) Trovare i valori dei parametri reali a e b con b 0 ) in modo che f) sia continua per ogni di R e in modo che la tangente nel punto di ascissa formi con la direzione positiva dell asse un angolo α tale che cosα = 5 5 b) Indicare se per i valori trovati di a e b, f) è anche ovunque derivabile, classificando gli eventuali punti di non derivabilità c) Studiare la funzione e disegnare il suo grafico γ d) Calcolare, utilizzando un metodo di integrazione numerica, un valore approssimato dell area della regione compresa, nell intervallo ; [ ] dell asse delle ascisse, tra il grafico γ e l asse Confrontare quanto ottenuto con il risultato del calcolo esatto e) Calcolare il volume del solido Ω che si ottiene dalla rotazione completa della parte di curva corrispondente all intervallo ; [ ] dell asse delle ascisse, attorno all asse

6 a) Per ogni valore dei parametri reali a e b le due funzioni che compongono f) sono continue negli intervalli considerati Perché f) sia continua in tutto R, dobbiamo imporre la continuità nel punto di raccordo, ossia che sia verificata la relazione: f 0) = lim f ) a = lim b ln 0 0 Il limite si presenta nella forma indeterminata 0, quindi, riscrivendo l espressione ln come ln, possiamo applicare il teorema di De L Hospital lim b ln = b lim ln = b 0 0 lim 0 = b lim 0 = 0 Pertanto, perché la funzione sia continua in R, deve essere a=0 Calcoliamo il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel suo punto di ascissa, determinando il valore della derivata della funzione in quel punto f ) = se < 0 b ln ) se > 0 f ) = b Il coefficiente angolare è il valore della tangente dell angolo che la retta forma con la direzione positiva delle Pertanto abbiamo tgα = b Sappiamo che cosα = 5 5, da cui segue che senα = ± 5 5 il valore positivo perché α è compreso nell intervallo [ 0;π ] = ± 5 Pertanto, dalla definizione di tangente, abbiamo b = tgα = senα cosα = 5 5 = 5 5 Sostituendo i valori dei parametri trovati nell espressione della funzione, otteniamo: se 0 f ) = ln se > 0 b) Riscriviamo l espressione della derivata sostituendo i valori dei parametri a e b se < 0 f ) = ln ) se > 0 e studiamo il comportamento della funzione nel punto di raccordo = 0 : lim f ) = lim ) =, 0 0 5, dove consideriamo solo

7 lim f ) = lim ln ) = lim lim 4 ln = 4 lim ln = 4 lim = 0 I limiti sinistro e destro della derivata per che tende a 0, sono entrambi finiti ma diversi tra loro Pertanto =0 è un punto angoloso per la funzione e, in particolare, nell intorno sinistro di 0, il suo grafico ha come retta tangente la bisettrice del primo e terzo quadrante, mentre, nell intorno destro, l asse c) Studiamo f ) = se 0 ln se > 0 D = R ; intersezioni con gli assi: 0;0) e ;0 ) ; studiamo il segno della funzione considerando separatamente i due casi: > 0 0 ln > 0 > 0 0 < < 0 ln > 0 > 0 la funzione è sempre negativa in > 0; Quindi la funzione è positiva per >, negativa altrimenti Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio lim ) = ; lim f ) = Studiamo il segno della derivata prima, se < 0 f ) = ln ) se > 0 considerando separatamente i due casi > 0 < 0 ln ) > 0 > 0 < < 0 < 0 < 0 > e > 0 lim f ) = > e lim ln = Quindi, la funzione è crescente negli intervalli ] ;0[ e ; ) e decrescente in! 0; e In =0 ha un massimo relativo angoloso e in = e ha un minimo relativo di ordinata y = e

8 Calcoliamo la derivata seconda e studiamo il suo segno se < 0 f ) = ln ) se > 0 Nell intervallo ] ;0[ la derivata seconda è sempre negativa, quindi la funzione è concava, mentre, nell intervallo ] 0; [, la funzione ha un flesso obliquo in F e ; e ed è prima concava poi convessa Il grafico γ della funzione è riportato nella figura a lato d) Per determinare un approssimazione numerica dell area della regione di piano compresa tra la curva e l asse nell intervallo ; [ ], applichiamo il metodo dei trapezi e calcoliamo l integrale ln d Suddividiamo l intervallo d integrazione in 0 parti uguali e compiliamo la tabella seguente f),0 0, 0, ,4,89768,6, ,8, ,0 5, , 7,66748,4 0, ,6,985474,8 6,44446,0 9,77500 ln d 0 f ) f ) f, ) f, 4) f, 6) f,8) f ) f, ) f, 4) f, 6) f,8) ) * 4, 06 Confrontiamo il risultato ottenuto con quello che si ottiene dal calcolo esatto dell integrale Procediamo integrando per parti ln d = ln d = ln = ln ), = * - ) = 9 ln, * - ), * =8ln 5, 997-9

9 e) Rappresentiamo in figura il solido generato dalla rotazione della porzione di curva interessata, attorno all asse Per calcolare il volume del solido richiesto, dobbiamo spezzare in due l intervallo e calcolare separatamente il volume del solido che si ottiene dalla rotazione della curva della parabola di equazione y =, e il volume che si ottiene dalla rotazione del grafico di y = ln attorno all asse V = π [ f )] d = π 0 ) d π ln ) d Calcoliamo separatamente i due integrali 0 ) 0 d = 4 5 )d = = 5 = 0 Il secondo integrale è un integrale improprio perché la funzione integranda non è definita in =0 Calcoliamolo quindi tra e e poi facciamo il limite per che tende a 0 Il limite ln ) d = 4 4 ln d = ln ln d = = ln ln d = ln ln d = = ln 5 5 ln * 5 5 = ln 5 5 ln 5 -, 5 / lim 5 ln si presenta nella forma indeterminata 0 Riscriviamolo in modo opportuno e 0 applichiamo due volte la regola di De L Hospital lim 5 ln = lim ln 0 0 = 5 lim ln e 0 Allo stesso modo possiamo verificare che Pertanto, l integrale vale lim 0 ln ) d = 8, lim 5 ln = 0 0 e, quindi, il volume del solido è V = 0 π 8 5 π = π = 5lim ln = 0 5 lim = 6 lim 5 = 0 5 0

10 QUESTIONARIO 5 squadre partecipanti a un torneo devono essere distribuite in tre gironi A, B e C, ciascuno composto da cinque squadre Le tre squadre classificatesi al primo posto l anno precedente devono necessariamente essere collocate in gironi distinti Calcola il numero complessivo di composizioni possibili dei tre gironi Iniziamo calcolando il numero dei modi in cui le squadre non classificatesi ai primi tre posti l anno precedente, possono essere collocate nel girone A Avendo a disposizione 4 posti e non avendo alcuna rilevanza l ordine di scelta, conteggiamo C ; 4 composizioni possibili per il girone A Attraverso un discorso analogo relativo al girone B e tenendo conto che le squadre rimanenti da collocare sono 8, otteniamo C 8; 4 composizioni possibili per il girone B Infine, per quanto riguarda il girone C, dovendo essere formato da un numero di squadre pari al numero delle squadre non ancora collocate, il numero di composizioni possibili è pari a Per completare la composizione dei gironi aggiungendo la quinta squadra, dobbiamo, in conclusione, collocare le tre squadre classificatesi prime l anno precedente e possiamo farlo in P modi diversi Pertanto il numero complessivo di composizioni possibili dei gironi è: P C ;4 C 8;4 = Dopo aver dato la definizione di cono e di cilindro equilateri, considerare una figura solida costituita dal cilindro equilatero inscritto in un cono equilatero assegnato Quanto vale il rapporto tra la superficie totale del cilindro e quella del cono? Un cono equilatero è un cono circolare retto che ha l apotema congruente al diametro del cerchio di base; pertanto le sezioni ottenute con piani passanti per il vertice e ortogonali al piano di base sono triangoli equilateri Un cilindro equilatero è un cilindro circolare retto che ha l altezza congruente al diametro del cerchio di base; pertanto le sezioni ottenute con piani passanti per i diametri e perpendicolari al piano di base sono quadrati Posto uguale a r il raggio di base del cilindro equilatero inscritto e indicate con, S e S rispettivamente le superfici totale, laterale e di base S T, cil L, cil B, cil del cilindro, abbiamo S T,cil = S L,cil S B,cil = πr r πr = 6πr Per ricavare le superfici laterale e totale del cono, posto uguale a R il raggio di base del cono equilatero, impostiamo una proporzione dedotta dalla similitudine dei triangoli ABC e AVO: OA : CA = VO : BC, da cui, sapendo che O A ˆV = 60, ricaviamo R R! = R = r R r r Indicate con, S e S rispettivamente le superfici laterale, di S L, cono B, cono T, cono base e totale del cono, se a è l apotema che nel nostro caso vale R, abbiamo

11 S L,cono = π Ra = π R R = π R = π r = πr 7 4 ) ; ) S T,cono = S L,cono S B,cono = π R a R) = π RR R) = π R = πr 7 4 La probabilità p richiesta dalla traccia è pertanto S p = L,cono = πr 7 4 ) S T,cil S T,cono 6πr πr 7 4 E data la funzione definita dall integrale: F ) = ) = t dt arcsen t ) ) ) , 47 Si individui il dominio della funzione integranda e si dimostri che tale funzione è dispari Si determini inoltre l equazione della retta tangente al grafico di F) nel punto di ascissa = La funzione y = arcsen t ha come condizione di esistenza t, dunque deve essere t Poiché il denominatore è sempre diverso da zero, la funzione integranda f t) = t arcsen t è definita e continua per t Verifichiamo che f t) è dispari: ) f t) = t) arcsen t ) = t arcsen t ) = f t) L equazione della retta tangente al grafico di F) nel punto di ascissa y F = F ; dobbiamo quindi determinare F e F = è Per il calcolo di F, osserviamo che l intervallo di integrazione è simmetrico rispetto all origine degli assi; quindi, sfruttando la disparità di ft) e l interpretazione geometrica dell integrale definito, possiamo concludere che F =0

12 Per il calcolo di F, riscriviamo F) = f t)dt e osserviamo che la funzione F) soddisfa le ipotesi del teorema fondamentale del calcolo integrale, quindi F = f = * arcsen ) * = - arcsen, - = π 6 = 8 π 6 Sostituendo nell equazione della retta tangente, otteniamo pertanto y = 8 π 6 4 In un sistema di riferimento cartesiano Oy, si consideri la parabola di equazione y = 4 4 che interseca gli assi cartesiani nei punti A e B Si tracci la retta tangente in un qualunque punto dell arco AB e, considerato il triangolo che tale retta forma con gli assi cartesiani, si trovi il volume massimo del solido che il triangolo genera in una rotazione completa attorno all asse Disegniamo la figura del problema I punti d intersezione hanno coordinate A0;4) e B;0) ), con Un generico punto T dell arco AB, ha coordinate t;t 4t 4 0 t La retta tangente alla parabola in T ha equazione: y y T = y T ) T ) y t 4t 4 ) = t 4) t) y = t 4) t 4 Calcoliamo le coordinate dei punti P e Q in cui la retta tangente interseca gli assi cartesiani: y = t 4) t 4 y = t 4 P0; t 4) = 0 = 0 y = t 4) t 4 = t 4 t 4 Q t 4 y = 0 t 4 ;0 * ), y = 0 Il solido che si ottiene dalla rotazione del triangolo OPQ intorno all asse è un cono di altezza OQ e raggio di base OP Pertanto il suo volume, espresso in funzione di t, è

13 ) Vt) = π OP OQ = π t 4 ) t 4 = π t 4 t 4 t 4 ) Calcoliamo la derivata della funzione Vt) e studiamo il suo segno ) V t) = π t 4) t t 4) t 4 t 4 ) = π t ) > 0 t ± t 4 V t) > 0 5t t 4 > 0 t < 5 t > t 4) > 0 t 4) 5t t 4 ) t 4 ) Dallo schema dei segni, deduciamo che la funzione ha un punto di massimo relativo in t = 5 dove il volume vale V! 8 4π = Determinare il volume del solido avente come base la regione di piano sottesa nell intervallo [; ] dalla curva di equazione f ) =, e le cui sezioni, ottenute con piani perpendicolari all asse, siano semicerchi di diametro f) Disegniamo il grafico di f) e indichiamo con S la regione di piano sottesa dalla curva nell intervallo [;] figura a) Costruiamo il solido che ha come base S e come sezioni perpendicolari all asse dei semicerchi figura b) L area della generica sezione è: ) πr = π! f = π * ), = π 8 Il volume del solido è allora V = π 8 d = π 8 d = π 8 = π 6

14 6 Stabilire per quale insieme di punti del piano cartesiano l espressione rappresentazione grafica e y esiste e fornirne la L insieme di definizione della funzione a due variabili ; y) = e y f si deduce imponendo le stesse condizioni che si impongono nel caso di funzioni a una variabile In tal caso, l unica condizione di esistenza da considerare riguarda il radicando che non può essere negativo: e y 0 y e e y e Il dominio della funzione f;y) è pertanto rappresentato graficamente dalla regione di piano compresa tra le curve di equazioni y = e e y = e, con i bordi inclusi Tracciamo tali curve a partire dal grafico di e e applicando le trasformazioni geometriche 7 Per giungere a un appuntamento con un amica, Veronica sceglie in modo del tutto casuale tra una bicicletta, con cui percorre il tragitto in 0 minuti e ha una probabilità di ritardo pari al 5, e un automobile, con cui percorre il tragitto in 0 minuti e ha una probabilità di ritardo pari al 5 Supponendo che, indipendentemente dal mezzo scelto, Veronica sia uscita con l intenzione di arrivare a destinazione puntuale ma non ci sia riuscita, qual è la probabilità che abbia scelto l automobile? Definiamo i seguenti eventi: A: Veronica sceglie l automobile ; B: Veronica sceglie la bicicletta ; R: Veronica ritarda Dato che Veronica sceglie casualmente tra automobile e bicicletta, abbiamo P A) = P B) = ; scriviamo inoltre le probabilità relative al ritardo di Veronica, condizionate dalla scelta del mezzo effettuata: 5 5 P R A) = = ; P R B) = = Dobbiamo calcolare la probabilità che, essendo Veronica arrivata in ritardo, abbia usato l automobile, ossia la probabilità dell evento condizionato A R Applicando il teorema di Bayes, otteniamo: 4 PA R) = PR A)PA) PR A)PA) PR B)PB) = Osserviamo che il dato temporale risulta superfluo Determinare il numero degli zeri della funzione: f ) = e e Scelto il più piccolo, trovare un suo valore approssimato attraverso uno dei metodi numerici studiati, con un errore inferiore a 0,0 = 5 8

15 Dobbiamo determinare il numero delle soluzioni dell equazione e e = 0 che possiamo riscrivere come e = e Posto h) = e e g) = e, studiamo sommariamente i loro grafici e rappresentiamoli nello stesso piano cartesiano: D : 0 ; h) > 0, D ; h0) =; ; h) = ; lim h) = e h) = e 4 h) h) > 0 D { 0} h) > 0 se > g) D : 0 ; g) > 0, D ; g0) = ; lim g) = ; g) = e g) > 0 D { 0} g) = e g) < 0 D { 0} 4 Dal grafico deduciamo che h) e g) s intersecano in due punti, dunque l equazione ha due soluzioni di cui la minore α 0; [ ] Per calcolare un approssimazione di α, possiamo utilizzare il metodo della bisezione Sviluppiamo le iterazioni partendo dall intervallo [0;]: f, f 0 ) = > 0 ) = e e 5,7 < 0 * [0; ] ;

16 ! f! f! f! f! f! f! f ! = f = e! = f = e 4! = f 8 = e! = f = e 6! = f = e! = f = e 64! = f = e 8 e 4 e 8 e 6 e, 70 < 0 * 0; ; 4, 55 < 0 * 0; ; 4 8, 69 < 0 * 0; ; 8 e 64 e 6, 06 < 0 * 0; ; 6 8 e 0, 6< 0 * 0; ; 64 0, 9 < 0 * 0; ; , 06 < 0 * 0; 8 Il numero di iterazioni necessarie, dunque, è pari a 6, in quanto, una volta effettuata la sesta, l errore che si commette è non superiore a = 0, 0078 < 0, Pertanto * 0, Calcolare il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno all asse y del cerchio avente come perimetro la circonferenza di equazione y = 0 Il solido che si ottiene dalla rotazione completa del cerchio è una «ciambella» Per calcolarne il volume V sottraiamo, al volume generato dalla rotazione completa attorno all asse y della semicirconferenza destra γ, quello generato dalla rotazione completa attorno all asse y della semicirconferenza sinistraγ Poiché la rotazione completa avviene attorno all asse y, otteniamo le equazioni di γ e γ a partire dall equazione della circonferenza, esplicitando : pertanto: y = 0, = ± y ;

17 γ : = y ; γ : = y, dove y Applicando la formula per il calcolo del volume dei solidi di rotazione rispetto all asse y, otteniamo ) dy V = π y π y = π 4 y dy = 4π y dy ) dy Calcoliamo l integrale finale in due modi differenti I METODO Utilizzando la sostituzione y = sen t, dy = cost, otteniamo: y dy = cost cost dt = cos t dt π π Applicando, infine, la formula di bisezione del coseno, troviamo: Pertanto π cos t dt = π π π cost π π dt = sen t t V = 4π y dy = 4π π = π II METODO Utilizzando l integrazione per parti, otteniamo: π π = π π = π y dy = y y y y y dy = y y dy = = y dy y dy = y dy arcsen y [ ] Considerando il primo e l ultimo termine della catena di uguaglianze troviamo: y dy = y dy [ arcsen y] y dy = [ arcsen y ] = π π ) = π In definitiva, abbiamo V = 4π y dy = 4π π = π 0 Determinare il valore di a ] ;[ per il quale la funzione: ) = f e a- se < a se a

18 soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell intervallo [-;] Dobbiamo verificare in accordo con le ipotesi del teorema di Lagrange, che f) sia definita e continua in ; ; [ ] e derivabile in ] [ Analizziamo al variare di ] ;[ a l insieme di definizione D di f) Se < a la funzione è definita per ogni ; se a dobbiamo imporre ma, dato che a >, tale condizione è sempre soddisfatta Pertanto f) è definita per ogni [ ;] In tale intervallo f) è certamente continua per ogni a Imponiamo poi che f) sia continua in = a : lim f a ) = lim f a ) lime a = lim a a = a a Calcoliamo ora la derivata di f): ) = f e a se < a ) se > a f) è derivabile in] ;[ per ogni a Imponiamo allora che f) sia derivabile in a e cioè lim f a ) = lim f a ) lim ea = lim a a = a a ) a) Mettiamo a sistema le due condizioni: = a a = a a a) a a = 0 a 4a = 0 a = 0 a = a = 0 a = L unico valore accettabile è a = 0