Maturità Scientifica 2016 Sessione Ordinaria

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1 Maturità Scientifica 8 Sessione Ordinaria Problema N 3. Al fine di realizzare l indicatore graduato, determina l espressione delal funzione V( z ) che associa al livello z del gasolio (in metri) la percentuale di riempimento V del volume da riportare sull indicatore stesso. Pagina di 3

2 Maturità Scientifica 8 Sessione Ordinaria Problema N 4. Illustra gli argomenti che puoi usare per spiegare all amministratore che il suo ragionamento è sbagliato; mostra anche qual è, in termini assoluti, il massimo errore che si commette usando il livello z come indicatore della percentuale di riempimento, come da lui suggerito, e qual è il valore di z in corrispondenza del quale esso si verifica.. Determina il valore di k che consente di soddisfare i requisiti richiesti relativamente all angolo ϑ ed al volume del serbatoio. Scegliamo come riferimento cartesiano quello che ha come origine il punto A ( ;), come asse la retta orizzontale passante per A ( ;) orientata da sinistra verso destra, come asse la retta passante per A ( ;), perpendicolare all asse, ed orientata verso l alto. Risulta: B ( ;) La curva profilo interseca l asse nei punti ( ; ), ( ; ) Le tre funzioni proposte sono tutte simmetriche rispetto all asse in quanto risulta f ( ) = f ( ). Affinchè una funzione proposta descriva il profilo laterale del serbatoio deve risultare: f ( ) = f ( ± ) = f - ( ) tg f ( ) + - tg Per la simmetria del profilo possiamo studiare ciascuna funzione nell intervallo [ ; ] ( ) Prima funzione: ( ) ( ) f = k che, nell intervallo [ ; ] diventa: f ( ) = ( ) k Pagina di 3

3 Maturità Scientifica 8 Sessione Ordinaria Problema N k k Per questa funzione abbiamo: f ( ) = f ( ) = ( ) ( ) f = f ( ) + = k = k k ( + ) - tg f,76 k,76 k k k,68,76 Basta scegliere k k k 3 k 4 k profilo del serbatoio. f = = = = = perché la funzione ( ) ( ) 3 ( ) Seconda funzione f ( ) = 6 + 9k 4 + che, nell intervallo [ ] Per questa funzione abbiamo: f ( ) = ( ) ( ) f = 8 + 8k 4 che per + f + ( ) = 4 f ( ) + ( ) = f ( ) f + ( ) 3 f = 6 + 9k 4 + = k descriva il ; diventa: f = 6+ 9k 4+ = 9k 9= se k = f = k = diventa: ( ) - tg 4,76 disuguaglianza vera + = 36 + = = punto di flesso discendente La funzione ( ) 3 + O f = 6 + 9k 4 + volge la concavità verso l alto (il basso) se < < _ f ( ) (se < < ) Questo risultato ci induce ad affermare che la funzione ( ) descrivere il profilo del serbatoio. 3 f = 6 + 9k 4 + non può π = k ( 3 ) Terza funzione f ( ) cos f ( ) = cos = f ( ) π = cos = π π f k k ( ) k = sin f + ( ) = e f ( ) + - tg,76 disuguaglianza falsa π f = La funzione ( ) cos k non può descrivere il profilo del serbatoio. Pagina 3 di 3

4 Maturità Scientifica 8 Sessione Ordinaria Problema N Concludendo possiamo affermare che ( ) ( ) descrive il profilo del serbatoio. k f = con k =,,3, 4, è la sola funzione che Imponiamo che il volume V del serbatoio sia 3. Tale volume si ottiene moltiplicando l area della sezione S trasversale per la lunghezza L del serbatoio. k ( ) ( ) ( ) k ( ) k ( ) V= 8 S= 8 f d= 8 d= 8 d= 6 d + ( ) k 6k V = 6 6 = = + + k+ k k V 3 6k 3 k + 6k 3k+ 3 3 k 4,3 3 Per la limitazione del parametro possiamo scegliere k= V ( ) = = = 3, Il volume del serbatoio, il cui profilo è realizzato dalla funzione ( ) ( ) dei 3 3m, come richiesto dal problema. f = k, ha volume maggiore 3. Al fine di realizzare l indicatore graduato, determina l espressione delal funzione V( z ) che associa al livello z del gasolio (in metri) la percentuale di riempimento V del volume da riportare sull indicatore stesso. Sia z il livello del gasolio presente nel serbatoio. La retta di equazione = z incontra il profilo verticale del serbatoio nel punto di ascissa ( z ) del primo quadrante. Il suo valore, ricordando che k =, lo otteniamo risolvendo il seguente sistema. = z = = z = f ( ) ( ) ( ) z= z = ( z) = z con z Pagina 4 di 3

5 Maturità Scientifica 8 Sessione Ordinaria Problema N Sotto queste condizioni il volume del gasolio presente nel serbatoio, quando l indicatore segnala il livello z, è il seguente: V z z z d z ( ) ( ) = ( ) + ( ) dove ( ) z z rappresenta l area della sezione rettangolare del 6 d = d = + K 6 serbatoio parallela alla base ( ) ( ) ( ) ( ) V z z z d L z z 6 z 6 z 6 ( ) = ( ) + ( ) = 6 ( ) 6 V( z) = 6 z z ( ) z = 6 z z + z = 6 z z V z =6z ( ) z La percentuale del volume pieno di gasolio, quando il suo livello è a quota z, ci viene fornita dalla seguente formula: P( z) 8 6 V 6 ( z z z ) = = 3 = z z V Quando il livello del gasolio presente nel serbatoio occupa il livello l indicatore segnerà una percentuale di riempimento pari a: z =cm =,m = m 6 9 P(,) = = 6 = 9,687% 9,7% 64 6 L errore commesso dall amministratore è dovuto al fatto che non c è proporzionalità diretta fra il livello z individuato dall indicatore e la percentuale di gasolio presente nel serbatoio. Infatti il profilo curvo ci dice che il serbatoio è più capiente nella parte bassa rispetto a quella più alta. L errore dell amministratore consiste nell ammettere che la percentuale di riempimento va calcolata con la formula ( ) z Pa z = = z formula che esprime la proporzionalità diretta fra il livello z individuato dall indicatore e la percentuale di gasolio presente nel serbatoio. Tale formula sarebbe valida se il recipiente fosse un parallelepipedo rettangolo o un cilindro. In uno di questi due casi z = darebbe Pa = =% Pagina di 3

6 Maturità Scientifica 8 Sessione Ordinaria Problema N 4. Illustra gli argomenti che puoi usare per spiegare all amministratore che il suo ragionamento è sbagliato; mostra anche qual è, in termini assoluti, il massimo errore che si commette usando il livello z come indicatore della percentuale di riempimento, come da lui suggerito, e qual è il valore di z in corrispondenza del quale esso si verifica. La differenza tra le due percentuali è: d ( ) d( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 d = P z P z = z z z= z + z con z a = = questo risultato ci dice che le due percentuali coincidono soltanto a serbatoio vuoto e a serbatoio pieno. Cerchiamo il massimo della funzione ( ) 6 d = z + z con z ( ) = + d ( z) d z z = + = z z = = 6 z=,7 m = punto di massimo assoluto in quanto risulta: d ( z) = 6 z 4 < z [ ;] 6 d (,7) = (,7) 6 +,7,6% L errore percentuale massimo che si commette è pari a circa,6% e si verifica quando l indicatore segnala che il livello z del gasolio è di circa,7 m. Pagina 6 di 3

7 Maturità Scientifica 8 Sessione Ordinaria Problema N Pagina 7 di 3

8 Maturità Scientifica 8 Sessione Ordinaria Problema N Il problema da risolvere è il seguente: dal grafico della funzione f ( ) dedurre il grafico delle = f t dt. funzioni = f ( ) F( ) ( ) Pongo: f ( ) = g( ), deduco: g ( ) = f ( ) F F Per 8 il grafico Γ coincide con la retta FG di equazione = G f G F 8 = 4 = -6 Le caratteristiche del grafico della funzione g( ) f ( ) = sono le seguenti: f ( ) =+ cioè lim f ( ) =+ in quanto il grafico della funzione f ( ) + delle ordinate nel punto A ( ;). f ( ) = f ( 7) = in quanto B ed E sono punti stazionari per la funzione f ( ) La monotonia della funzione g( ) f ( ) di g ( ) f ( ) =. La funzione f ( ) cresce (decresce) quando la sua derivata f ( ) ( ) f lo possiamo dedurre dalla concavità del grafico Γ. ( ) f < se 3 ( ) < < ( f ( ) decresce) f ( ) è tangente all asse = dipende dal segno della sua derivata, cioè dal segno > se 3 8 è positiva (negativa). Il segno di < < ( f ( ) cresce) f = e > 8 (coefficiente angolare della retta FG di equazione = -6 ) f = in quanto la retta + = ( ( ) ( 3) f = in quanto la retta + 8= ( 8 = + ) è tangente a Γ nel punto D ( ;) = + ) è tangente a Γ nel punto C ( 3; ) Il grafico richiesto è quello indicato in figura: Pagina 8 di 3

9 Maturità Scientifica 8 Sessione Ordinaria Problema N Studio della funzione ( ) ( ) = F = f t dt. Questa funzione rappresenta l area del trapezoide individuato dalla funzione f ( ) e relativo all intervallo [ ; ] F 8 ( ) = f ( t) dt= ( ) ( ) ( ) F 8 = f t dt+ f t dt= = F ( ) = f ( ) F ( ) = f ( ) F ( ) della funzione F( ) volge la concavità verso l alto) ( ) F < se 7 basso) > se < < > 7 (in tali intervalli il grafico < (in tali intervalli il grafico della funzione ( ) F volge la concavità verso il Questo ci consente di affermare che nei punti = e = 7 la funzione F( ) presenta due punti di flesso in quanto si ha il cambiamento della concavità del suo grafico. Troviamo l espressione analitica della funzione ( ) ( ) F f t dt 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = per > = F = f t dt= f t dt+ f t dt= + t dt= + t t La funzione ( ) ( ) F f t dt F( ) = se > 8 = = presenta un punto di massimo relativo per è la sua immagine geometrica; presenta un punto di minimo relativo per 8 sua immagine geometrica; presenta due flessi nei punti B ( ; 4), 3 E 7; 4 =. D ( ;) =. ( 8;) F è la Pagina 9 di 3

10 Maturità Scientifica 8 Sessione Ordinaria Problema N. Rappresenta, indicativamente, i grafici delle seguenti funzioni: = ( ), ( ) f = f, = f ( ) Specificando l insieme di definizione di ciascuna di esse. dom f ( ) = [ ; + [ dom f ( ) = ], + [ dom f ( ) = ], + [ Il grafico della funzione f ( ) si ottiene dal grafico γ della funzione f ( ) sostituendo la parte situata nel semipiano delle negative con il simmetrico di γ rispetto all asse. Con parole diverse possiamo dire che il grafico della funzione f ( ) è l unione del grafico γ della funzione f ( ) negli intervalli dove risulta f ( ) > e del simmetrico rispetto all asse delle del grafico γ della funzione f ( ) negli intervalli dove risulta f ( ) <. Pertanto il grafico della funzione f ( ) è il seguente: Pagina di 3

11 Maturità Scientifica 8 Sessione Ordinaria Problema N ( ) ( ) ( ) ( ) f se f > cioè se < < > 8 = f ( ) = f se f < cioè se < < 8 dom f ( ) = ] ; + [ {,8} in quando risulta lim f ( ) lim f ( ) e lim f ( ) lim f ( ) + come risulta dai rispettivi grafici. Il grafico richiesto è quello indicato in figura = f ( ) ( ; ) A con A = A A = A B ; 4 B = B B = B C 3; con C = C C = C E 7; 4 con E E = E = E G ; 4 con G G = A = A se f ( ) f ( ) > > ( ) lim ( ) ± f se f ( ) f < < =+ = asintoto verticale completo Pagina di 3

12 Maturità Scientifica 8 Sessione Ordinaria Problema N lim ( ) ± 8 f ( ) =± = 8 asintoto verticale completo lim = = Asintoto orizzontale destro + f Nell intervallo ] ; [ B ; 4 è l immagine geometrica di un punto di minimo relativo Nell intervallo ] ;8 [ E 7; 4 è l immagine geometrica di un punto di massimo relativo Per 8 l espressione analitica della funzione = f diventa ( ) = -6 Si tratta di una parte dell iperbole equilatera i cui assi hanno, rispettivamente, equazioni = e = 8. Il grafico della funzione richiesta è il seguente: Pagina di 3

13 Maturità Scientifica 8 Sessione Ordinaria Problema N Per calcolare il valore medio della funzione = f ( ) nell intervallo [ ; ] ab bisogna applicare la formula m = b a f ( ) d b a Il valore medio della funzione = f ( ) nell intervallo [ ;8 ] è il seguente: m 8 8 ( ) ( ) ( ) f d f t dt+ f t dt = = = = = =, Il valore medio della funzione = f ( ) nell intervallo [ ;8 ] è il seguente: m 8 8 ( ) ( ) ( ) f d f t dt+ f t dt + 3 = = = = = =, Pagina 3 di 3

14 Maturità Scientifica 8 Sessione Ordinaria Problema N Il valore medio della funzione = f ( ) nell intervallo [ ] ; 7 è il seguente: 3 4 = = = = f ( ) d f ( 7) f ( ) 4 9 ( 7) f = ordinata del punto 3 E 7; 4 f ( ) = ordinata del punto B ( ; 4) Il valore medio della funzione = F( ) 6+ 4 nell intervallo [ ] ( ) 9 3 m 9 9; è il seguente: d 37 = = = ; è: La retta tangente al grafico della funzione = F( ) nel punto ( ) ( ) = F = = La retta tangente al grafico della funzione = F( ) nel punto ( 8;) F ( 8;) è l immagine geometrica di un punto di minimo relativo. F è = in quanto il punto Pagina 4 di 3

15 E noto che + Quesito N e d= π. Stabilire se il numero reale u, tale che u e d= è positivo oppure negativo. Determinare inoltre i valori dei seguenti integrali, motivando le risposte: La funzione ( ) u 7 A= e d u u B= e d u + C= e d f = e è pari, positiva ed il suo grafico, simmetrico rispetto all asse delle ordinate, è quello indicato in figura. + e d= π è uguale all area della superficie compresa tra il grafico di ( ) delle ascisse. f = e e l asse + e d= π + e d= e d + π e d= e d=,88 < e d,88 < seguente grafico. u e d= solo se u è maggiore di zero, come si deduce osservando il f ( ) = e S=,88 O u u 7 in quanto la funzione ( ) u A= e d= 7 g = e è dispari ed il suo grafico è simmetrico rispetto all origine degli assi cartesiani. Ciò ci consente di dedurre che: u u 7 7 e d= e d. Pagina di 3

16 u u u π B= e d= e d= e d e d = = u π Per calcolare l integrale d= d + C= e d introduco l incognita ausiliare = d= d + + π C= e d= e d= = Quesito N Data una parabola di equazione = a, con a > si vogliono inscrivere dei rettangoli, con un lato sull asse, nel segmento parabolico delimitato dall asse. Determinare a in modo che il rettangolo di area massima sia anche rettangolo di perimetro minimo. π La parabola ha equazione = a. Sia ABPQ un rettangolo inscritto nella parabola con il lato AB sull asse delle ascisse. V (,) vertice della parabola la quale incontra l asse delle ascisse nei punti, a e, a. Sia P(, a ) un punto della parabola appartenente al primo quadrante. ( ) ( ) ( ) S ABPQ OB BP a S = S ( ) = = = S ( ) ( 3a ) = ( a ) a 3 = = ± 3a = punto di massimo assoluto 3a Pagina 6 di 3

17 a _ 3a + O 3a O _ a S'() ( ) = ( ) = 4 + = ( + ) = ( + ) = ( + + ) p ABPQ p OB BP OB BP a a ( ) = 4 ( ) p ( ) = ( a) p a 4 = = punto di massimo assoluto a a a + O _ a p'() = a = 3 Per a = 3 il rettangolo ABPQ, inscritto nella parabola di equazione a 3a ha perimetro ed area massima. = a Quesito 3 Il volume occupato dal liquido nel recipiente corrisponde al volume della calotta sferica ottenuta dalla rotazione completa dell arco AB attorno all asse. B(;h-r) B h-r P + = r è l equazione della circonferenza di centro O e raggio r h A(;-r) + = r = g( ) = r è l equazione dell arco AB h r h r h r V= π g ( ) d= π ( r ) d= π r = π r ( h r) ( h r) + r r r r r Pagina 7 di 3

18 V=π rh r h + r + h r hr + r r = π hr h 3 Quesito 4 Un test è costituito da domande a risposta multipla, con 4 possibili risposte di cui una sola è esatta. Per superare il test occorre rispondere esattamente almeno a 8 domande. Qual è la probabilità di superare il test rispondendo a caso alle domande? Indichiamo con X la variabile aleatoria definita come il numero di domande tra le proposte alle quali si risponde correttamente. la variabile aleatoria X come il numero di successi su prove ciascuna delle quali ha probabilità di successo p = =, e probabilità di insuccesso 4 3 q= p =. k = 8,9, pnk, ( X 8) = p,8 + p,9 + p, 4 Si tratta di una distribuzione binomiale con n =, p = = probabilità di avere un successo, cioè 4 probabilità di rispondere correttamente ad una domanda; 3 q= p = = probabilità di ottenere un insuccesso, cioè probabilità di non rispondere 4 correttamente ad una domanda p( X 8) = p,8 + p,9 + p, =, = = Quesito N Una sfera, il cui centro è il punto K (,, ), è tangente al piano Π avente equazione + z 9=. Qual è il punto di tangenza? Qual è il raggio della n= a i+ b j+ c k= abc,, è un vettore perpendicolare al piano α di sfera?noi sappiamo che ( ) equazione a + b + cz + d =. Questo ci consente di affermare che i parametri direttori di una retta perpendicolare al piano Π di equazione z 9,,. + = [ ] sono i numeri ( ) Le equazioni parametriche della retta s passante per il punto e perpendicolare al Π sono: = + λ = λ z = + λ [ ] Pagina 8 di 3

19 Risolvendo il sistema tra l equazione del piano Π e le equazioni parametriche della retta s troviamo le coordinate del punto di tangenza T. Per fare ciò basta sostituire le [ ] nell equazione [ ]. ( + λ) ( λ) + ( + λ) = λ= T(,-3,3 ) ( ) ( ) ( ) r = KT = = 3 ak + bk + czk r = d( K, Π ) = = = = 3 a + b + c Quesito 6 ( ; ) = ( ) cos è la distanza tra i punti A P ; ( ) e B( ;cos ) d AB P retta parallela all asse delle ascisse. Il quesito proposto chiede se è possibile stabilire che la distanza d( AB ; ) può essere La risposta è negativa in quanto risulta lim P( ) Quesito 7 situati sopra una generica = e limcos = quantità finita 3 k Indichiamo con O la posizione iniziale della pedina. Dobbiamo calcolare la probabilità che la pedina, partendo dalla posizione O, arrivi in A passando per la posizione B. f = numero dei casi favorevoli n = numero dei casi possibili Per andare dalla posizione O alla posizione A debbo spostare la pedina 7 volte verso destra e 7 verso l alto. 4 4! n= C4;7 = = = !7! Pagina 9 di 3

20 che corrispondono a come si possono posizionare le 7 mosse verso destra rispetto alle 4 mosse richieste dal problema. Per andare dalla posizione O alla posizione B debbo spostare la pedina 3 volte verso destra e 8 8! volte verso l alto e quindi debbo effettuare 8 mosse. I casi possibili sono: C8;3 = = = 6 3 3!! Per andare dalla posizione B alla posizione A debbo spostare la pedina 4 volte verso destra e 6 6! volte verso l alto e quindi debbo effettuare 6 mosse. I casi possibili sono: C6;4 = = = 4 4!! Per andare dalla posizione O alla posizione A passando per la posizione B posso scegliere uno qualsiasi dei percorsi che vanno dalla posizione O alla posizione B ed uno qualunque dei percorsi che vanno dalla posizione B alla posizione A. Il numero di questi percorsi è uguale a: C8;3 C6;4 = 6 = 84 f C C p n C 8;3 6;4 = = = = 7; Altra risoluzione Il numero dei casi possibili per andare dalla posizione O alla posizione A coincide con le permutazioni con ripetizione di 4 mosse delle quali 7 verso destra e 7 verso l alto. 7;7 4! n= P4 = = 343 7!7! ;3 8! P 8 = = 6 casi possibili per andare dalla posizione iniziale O alla posizione B ; 3 mosse verso!3! destra e mosse verso l alto 4; 6! P 6 = = casi possibili per andare dalla posizione iniziale B alla posizione A ; 4 mosse verso 4!! destra e 3 mosse verso l alto f = P P = = casi favorevoli all evento richiesto dal problema ;3 4; f P P 84 3 P = = = = n P ;3 4; 8 6 7;7 4 Pagina di 3

21 Data la funzione ( ) Quesito 8 f definita in, f ( ) e ( ) di f ( ) il cui grafico passa per il punto (, e ). = +, individuare una primitiva ( + ) = ( + ) = ( + ) ( + ) = ( + ) ( + ) e d de e e d e de ( + ) = ( + ) ( + ) = ( + ) ( + ) + e d e de e e e d ( + ) e d = ( + ) e ( + ) e + e + C = ( ) F( ) e C + + ( ( ) + ) e + C = e + C = + insieme di tutte le primitive della funzione ( ) = ( + ) f e La primitiva passante per il punto (, e ) si ottiene ponendo nella funzione ( ) e = F( ) = e Otteniamo: e= e+ C C= e ( ) = t Datele rette r: = t z = t Quesito N z 3= s : = l equazione del piano passante per (,, ) F = e + e. ed il punto (,, ) P e parallelo alle due rette. F = e + C = P determinare I parametri direttori della retta r sono: (,,) = v I parametri direttori della retta s si ottengono scrivendola in forma parametrica. Nella seconda = λ equazione poniamo =λ. Otteniamo; = λ z = 3 3λ,, 3 = w I parametri direttori della retta s sono: ( ) a + b + cz + d = è l equazione di un piano α i cui parametri direttori sono ( abc,, ). Questi parametri direttori sono le componenti di un vettore n= ( abc,, ) = a i + b j+ c k perpendicolare al piano α. La condizione di parallelismo tra il piano α a + b + cz + d = e la retta individuata dal vettore u =, mn, è data dalla seguente relazione: a + bm+ cn=. ( ) Pagina di 3

22 r α a+ b+ c= s α a+ b 3c= Otteniamo: c = a = b a( ) + b( ) + c( z z) = è l equazione del piano passante per il punto (,, ) avente parametri direttori ( abc,, ). Nel caso nostro otteniamo: ( ) ( ) ( ) b + b + + = b ( ) + b ( ) Altra risoluzione = = v w,,,, 3 L equazione vettoriale del piano richiesto è: P P = h + k = h( ) + k( ) P z ed = h+ k = h + k z + = h 3k = h+ k = ( h + k) z + = h 3k = h+ k = ( ) z + = h 3k = h+ k = z + = h 3k Eliminando i parametri hk, otteniamo l equazione del piano richiesto, cioè: = Altra risoluzione z z m n = m n è l equazione cartesiana del piano passante per il punto (,, ) parallelo alle rette r di parametri direttori (, mn, ) ed s di parametri direttori (, m, n ) P z e Utilizzando i dati del problema otteniamo: + + = 3 3 ( ) ( z ) z+ = 3 ( ) = = I vettori complanari (,,) = v e ( ),, 3 = w individuano rispettivamente le direzioni delle rette r ed s. Il piano parallelo alle rette r ed s ha come parametri direttori le componenti del vettore n perpendicolare ai vettori (,,) = v e ( ),, 3 = w. Risulta: i j k v vz v v v v z n = v w= v v vz = i j + k w wz w w w w z w w w z n 3 i = 3 j + k = ( 8,4,) Pagina di 3

23 L equazione del piano richiesto è: ( ) = = Quesito Sia f la funzione così definita nell intervallo ], + [ : ( ) t f = dt. Scrivere ln t l equazione della retta tangente al grafico di f nel suo punto di ascissa e. β ( ) Per calcolare la derivata della funzione ( ) = = ( ) t f dt g t dt ln t fondamentale del calcolo integrale utilizzando la formula: ( ) applico il teorema a e 3 f = = ln ln e L equazione della retta tangente al grafico della funzione = f ( ) nel punto di tangenza T( ; ) è la seguente: = f ( ) ( ) T T T T T ( e ) e t t = T f ( e) = dt dt ln t = ln t = ( ) (,) e e T e punto di tangenza 3 3 t t ln ln ln ln ln e t= ( ) = = = f = D d t = D = = = t t Equazione della retta tangente: ( )( ) e e e e f e e e ln e ln e T = T T = e e( e) = e e e Pagina 3 di 3