II Prova - Matematica Classe V Sez. Unica

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1 Liceo Scientifico Paritario R. Bruni Padova, loc. Ponte di Brenta, 23/6/26 II Prova - Matematica Classe V Sez. Unica Soluzione Problemi. Risolvi uno dei due problemi: Problema. L amministratore di un piccolo condominio deve installare un nuovo serbatoio per il gasolio da riscaldamento. Non essendo soddisfatto dei modelli esistenti in commercio, ti incarica di progettarne uno che risponda alle esigenze del condominio. Figura. Figura 2. Allo scopo di darti le necessarie informazioni, l amministratore ti fornisce il disegno in Figura, aggiungendo le seguenti indicazioni: la lunghezza L del serbatoio deve essere pari a otto metri; la larghezza l del serbatoio deve essere pari a due metri; l altezza h del serbatoio deve essere pari a un metro; il profilo laterale (Figura 2) deve avere un punto angoloso alla sommità, per evitare l accumulo di ghiaccio durante i mesi invernali, con un angolo θ ; la capacità del serbatoio deve essere pari ad almeno 3 m 3, in modo da garantire al condominio il riscaldamento per tutto l inverno effettuando solo due rifornimenti di gasolio; al centro della parete laterale del serbatoio, lungo l asse di simmetria (segmento AB in Figura 2) deve essere installato un indicatore graduato che riporti la percentuale di riempimento V del volume del serbatoio in corrispondenza del livello z raggiunto in altezza dal gasolio. di 6

2 i. Considerando come origine degli assi cartesiani il punto A in Figura 2, individua tra le seguenti famiglie di funzioni quella che meglio può descrivere il profilo laterale del serbatoio per ;, k intero positivo, motivando opportunamente la tua scelta: ( ) = ( ) = k f f f ( ) k ( ) = cos π 2 k ii. iii. Determina il valore di k che consente di soddisfare i requisiti richiesti relativamente all angolo θ e al volume del serbatoio. Al fine di realizzare l indicatore graduato, determina l espressione della funzione V ( z ) che associa al livello z del gasolio (in metri) la percentuale di riempimento V del volume da riportare sull indicatore stesso. Quando consegni il tuo progetto, l amministratore obietta che essendo il serbatoio alto un metro, il valore z del livello di gasolio, espresso in centimetri, deve corrispondere alla percentuale di riempimento: cioè, ad esempio, se il gasolio raggiunge un livello z pari a 5 cm vuol dire che il serbatoio è pieno al 5%; invece il tuo indicatore riporta, in corrispondenza del livello 5 cm, una percentuale di riempimento 59,7%. iv. Illustra gli argomenti che puoi usare per spiegare all amministratore che il suo ragionamento è sbagliato; mostra anche qual è, in termini assoluti, il massimo errore che si commette usando il livello z come indicatore della percentuale di riempimento, come da lui suggerito, e qual è il valore di z in corrispondenza del quale esso si verifica. Risoluzione. i. Considerando come origine degli assi cartesiani il punto A in Figura 2, individua tra le seguenti famiglie di funzioni quella che meglio può descrivere il profilo laterale del serbatoio per ;, k intero positivo, motivando opportunamente la tua scelta: ( ) = ( ) = k f f f ( ) k ( ) = cos π 2 k Immaginiamo che l asse passi per A e sia perpendicolare al segmento AB. Il grafico è rappresentato di seguito. 2 di 6

3 Non è la funzione f ( ) = cos π 2 k perché, contro le ipotesi, è derivabile in =. Non è la funzione f ( ) = k : poiché f ( ) =, si ha che 6+9k 4+ =, cioè k =. Per tale valore di k trovo che ( ) = + 4. Per ogni ; do- ( ) = (dal grafico si evince che la funzione vrei ottenere che dev essere decrescente in tale intervallo), però la disequazione è verificata per Ne segue che la famiglia di funzioni che descrive il profilo laterale del serbatoio è la prima. ii. Determina il valore di k che consente di soddisfare i requisiti richiesti relativamente all angolo θ e al volume del serbatoio. Poiché la funzione è pari k N, è sufficiente analizzare la parte relativa agli non negativi. requisito relativo all angolo: è richiesto che la pendenza della retta tangente al grafico, in un intorno sinistro di, sia maggiore di (equivalentemente, in un intorno destro di, sia minore di ); ricordando che il coefficiente angolare è la tangente dell angolo che la retta forma col semiasse positivo delle ascisse, si ha che m tan (rispettivamente, m tan ( ) = tan ). Ora, il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della ( ) (rispettivamente lim ( ) ). Poiché funzione in un intorno sinistro di è lim ( ) = k ( ) k, la condizione relativa all angolo è lim k (rispettivamente lim ( ) k tan k tan k k + tan 5,67 ( ) k tan k tan k 5,67 ). tan 3 di 6

4 requisito relativo al volume: è richiesto che il volume del serbatoio sia almeno 3 m 3. Il volume del serbatoio è la somma di tutti i parallelepipedi elementari di lunghezza L ( m), larghezza f ( ) e altezza infinitesima d, compresi nell intervallo ; ; la condizione risulta essere ( ) d ( ) k d ( ) k d ( ) k+ f =6 = 6 = 6 + k = 6 + k 3, dove nel secondo passaggio si è tenuto conto della parità della funzione (ovvero, se f continua in a; a e pari allora f Ottengo che a ( a )d = 2 f ( ) d ) e che in ; si ha =. a 6 + k 3 + k 6 3 k 3 3 k 3 3 4,33. Riassumendo, k N 4, k tan 5,67 k = 5. ( ) è iii. Al fine di realizzare l indicatore graduato, determina l espressione della funzione V ( z ) che associa al livello z del gasolio (in metri) la percentuale di riempimento V del volume da riportare sull indicatore stesso. Anche in questo punto sfrutto la parità della funzione e considero solamente l intervallo ;. f Fissato un livello z, il volume occupato dal gasolio sarà V +V 2 = 2 ( z ) zd +2 f ( ) d, co- f ( z ) me chiarito dalla seguente figura, con z = ( ) 5 z 5 = = f ( z ) = z 5. Quindi il volume occupato dal gasolio, quando si trova a un livello z sarà: z V ( z ) =6 5 zd ( ) 5 z 5 d =6 z 5 z ( 5 6 ) 6 5 =6 z z z6 = z 5 3 ( 6 z5) z. Il volume massimo che può occupare il gasolio coincide con il volume del serbatoio (trascuro lo spessore della struttura): V MAX =6 ( ) 5 d = 4 ( 3 ) 6 5 = di 6

5 La percentuale di riempimento risulterà essere V = V ( z ) ( 6 z5) = 3 z V MAX 4 3 =2z 2z 6 = 2( 6 z 5 ) z. iv. Illustra gli argomenti che puoi usare per spiegare all amministratore che il suo ragionamento è sbagliato; mostra anche qual è, in termini assoluti, il massimo errore che si commette usando il livello z come indicatore della percentuale di riempimento, come da lui suggerito, e qual è il valore di z in corrispondenza del quale esso si verifica. Effettivamente per z =,5 m ottengo V = 6 = 955 = 59,675% 59,7% Per l amministratore invece la percentuale di riempimento dovrebbe essere V a =z, da cui, per z =,5 m, ottengo V a = 2 = 5%. Ovviamente l affermazione dell amministratore è falsa in quanto risulterebbe vera solo se il profilo del serbatoio fosse di forma rettangolare. Per determinare il massimo errore considero la funzione ε ( z ) =V V a = 2( z z 6 ) e determino il suo massimo: poiché εʹ ( z ) = 2( 6z 5 ) per z 6 5, la funzione ammette massimo per z = 6 5,69 m. Quindi l errore massimo vale ε( ) = 5 ( 3 6 ),65%. Esso si ha in corrispondenza di un livello di circa 7 cm, come confermato dal seguente confronto tra grafici (dove è stato inserito anche il grafico di ε z ( ) ). 5 di 6

6 Problema 2. Nella Figura 3 è rappresentato il grafico Γ della funzione continua f : ; + R, derivabile in ; +, e sono indicate le coordinate di alcuni suoi punti. y Figura 3. È noto che Γ è tangente all asse y in A, che B ed E sono un punto di massimo e uno di minimo, che C è un punto di flesso con tangente di equazione 2 + y =. Nel punto D la retta tangente ha equazione +2y 5 = e per il grafico consiste in una semiretta passante per il punto G. Si sa inoltre che l area della regione delimitata dall arco ABCD, dall asse e dall asse y vale, mentre l area della regione delimitata dall arco DEF e dall asse vale. i. In base alle informazioni disponibili, rappresenta indicativamente i grafici delle funzioni: Quali sono i valori di 3 y = F ( ) ( ) = f t y = ( )dt ( ) e ( 5 )? Motiva la tua risposta. ii. Rappresenta, indicativamente, i grafici delle seguenti funzioni: y = ( ), y = f ( )ʹ, y = f ( ), specificando l insieme di definizione di ciascuna di esse. iii. iv. Determina i valori medi di y = f y = ( ) nell intervallo ; 7 ( ) e di y = f ( ) nell intervallo ; ( ) nell intervallo 9; e il valore medio di y = F, il valore medio di Scrivi le equazioni delle rette tangenti al grafico della funzione F ( ) nei suoi punti di ascisse e, motivando le risposte.. 6 di 6

7 Risoluzione. i. In base alle informazioni disponibili, rappresenta indicativamente i grafici delle funzioni: Quali sono i valori di 3 y = F ( ) ( ) = f t y = ( )dt ( ) e ( 5 )? Motiva la tua risposta. ( ). grafico di y = ( ) >. o o Per ; 7; + la funzione risulta essere crescente, quindi f ʹ o Per ; 7 la funzione risulta essere decrescente, quindi f ʹ( ) <. o Per ; 3 la funzione risulta essere concava, quindi f ʹ( ) risulta essere decrescente. o Per 3; la funzione risulta essere convessa, quindi f ʹ( ) risulta essere crescente. o Per ; + la funzione risulta essere né concava né convessa (infatti per il grafico consiste in una semiretta), quindi ( ) risulta essere costante. È possibile determi- ( ) e per G( ; 4), ( ) ( ) = 2 (e f ( ) = 2 per. ( ) = +, ovvero la fun- ( ) ammette un asintoto verticale di equazione =. ( ) = = ( 7 ). ( ) = 2. ( ) = 2. nare il valore di tale costante: poiché la semiretta passa per F ; l equazione della retta su cui giace tale semiretta ha coefficiente 4 ordinata all origine 6); quindi ʹ Γ è tangente all asse y in A (ed f è crescente) significa che lim + zione o B ed E sono un punto di massimo e uno di minimo significa che o C è un punto di flesso con tangente di equazione y = 2 + significa che 3 o Nel punto D la retta tangente ha equazione y = significa che 5 Tenuto conto di tutti questo dati, ottengo il seguente grafico: 7 di 6

8 ( ). grafico di y = F o F ( ) = f t o F ( 5 ) = e F ( )dt =. ( ) = (perché f ( ) d = ). 5 o Per ; 5 ; + la funzione risulta essere positiva, quindi F o Per 5; la funzione risulta essere negativa, quindi F o Per ; 7; + si ha f ʹ( ) >, quindi F ( ) è convessa. o Per ; 7 si ha f ʹ o Dai due punti precedenti si deduce che F ( ) è crescente. ( ) è decrescente. ( ) <, quindi F ( ) è concava. ( ) si ha che f ( ) = 2 6, F ( ) = f t o Poiché per ; + + f ( t)dt = F ( ) + ( 2t 6)dt =+t 2 6t = Tenuto conto di tutti questo dati, ottengo il seguente grafico: ammette un punto di flesso per =. ( )dt = f ( t)dt + ii. Rappresenta, indicativamente, i grafici delle seguenti funzioni: y = ( ), y = f ( )ʹ, y = f ( ), specificando l insieme di definizione di ciascuna di esse. Grafico di y = ( ). Basta tener conto dell effetto del valore assoluto, ovvero il grafico di ( ) quando ( ), altrimenti coincide con il ( ) (simmetrico del grafico di ( ) rispetto all asse ). tale funzione coincide con il grafico di grafico di Il suo dominio è D = ; + di 6

9 y f Grafico di y = f ( )ʹ. Poiché f ( )ʹ = f con il grafico di ( ) ( ) = sgn f ( ) ( ) ( ) ( ), tale grafico coinciderà ( ) quando f ( ) > (ovvero per ; 5 ; + ), altrimenti coinci- f ( ) quando f ( ) < (ovvero per 5; ). f ( ) \ { 5; }. derà con il grafico di ʹ Il suo dominio è D = { ; + }= ; + ( ). Semplicemente il grafico della funzione reciproca. Il grafico passa per ( ), ( ; 4), ( 3; 2), ( 7; 4 3) e ( ; 4) ; ammette due asintoti verticali ( ) = m e lim ( ) = ± ) di equazione = 5 e = e un asintoto orizzontale Grafico di y = f i punti ; ( lim f f 5 ± ± per + di equazione y =. Il suo dominio è D = ; + \ { 5; }. 9 di 6

10 iii. Determina i valori medi di y = f y = ( ) nell intervallo ; 7 ( ) e di y = f ( ) nell intervallo ; ( ) nell intervallo 9; e il valore medio di y = F, il valore medio di. Valore medio di y = f Valore medio di y = f = ( + ) = 2 = 3 2. Valore medio di y = = Valore medio di y = F = ( ) in ; ( ) in ; ( ) in ; 7 : f c ( ) = : f c : ( ) in 9; = = ( ) d f = F ( ) = ( c ) = 7 : F c ( ) d ( ) = = 5 4. ( ) d f = 5 f f 5 7 ( ) d = 6 f ( 7 ) f ( ) = ( ) d ( ( )) = ( ) d ( ) d = = F = = iv. Scrivi le equazioni delle rette tangenti al grafico della funzione F ( ) nei suoi punti di ascisse e, motivando le risposte. Equazione della retta tangente al grafico di F in : y F Equazione della retta tangente al grafico di F in : y F Si nota che Fʹ ( ) = f ( ). ( ) = f ( ) ( ) y =. ( ) = f ( ) ( ) y =. di 6

11 Questionario. Risolvi cinque dei dieci quesiti:. È noto che d = π. + e 2 Stabilire se, il numero reale u, tale che d =, u e 2 è positivo oppure negativo. Determinare inoltre i valori dei seguenti integrali, motivando le risposte: u A = 7 e 2 +u d ; B = e 2 + d ; C = e 52 d. u u Risposta. Noto che, essendo f Quindi d = π 2,6. e 2 + ( ) = e 2 una funzione pari, e 2 d = 2 e 2 + d = 2 e 2 d. Poiché la funzione f è positiva e π 2 <, il numero u deve essere necessariamente positivo. Essendo la funzione a ( ) = 7 e 2 dispari, 7 e 2 u d = 7 e 2 d, per cui A =. u u Poiché e 2 u d = e 2 d e 2 d = π 2 e, tenuto conto della parità di f, si ha +u B = e 2 u d = 2 e 2 d = 2 π,22. u + C = 2 e 52 d in quanto la funzione c ( ) = e 52 è pari. Posto t 2 = 5 2 = t 5 con t, ; +, si ha che d = dt 5 e C diventa C = 2 + e t2 dt = π 5 5,793. di 6

12 2. Data una parabola di equazione y = a 2 con a R >, si vogliono inscrivere dei rettangoli, con un lato sull asse, nel segmento parabolico delimitato dall asse. Determinare a in modo tale che il rettangolo di area massima sia anche il rettangolo di perimetro massimo. Risposta. Considero un modello della famiglia di parabole data: Tale parabola ha vertice in ( ; ) e interseca l asse in ( ± a ; ). Fisso un generico rettangolo ABCD iscritto al segmento parabolico da considerare: A ; B( ; a 2 ), C ( ; a2), D ( ; ), con a. La sua area è 2 di 6 ( ), A ( ) = AD AB = 2( a 2 ) = 2a3 +2. Determino i massimi dell area: ( ) = 6a a 3a, quindi l area è massima per = 3a. Aʹ Tale rettangolo deve avere perimetro massimo. Il suo perimetro è 2p ( ) ( ) = 2 AD + AB ( ) = 2a = a2 Si richiede di determinare a in modo tale che il rettangolo di area massima sia anche il rettangolo di perimetro massimo. Posso dare due interpretazioni del testo: a. Il perimetro di area massima è quello per cui = 3a. Devo quindi scegliere tra tutti i rettangoli di vertici A 3a ; ( ), B ( 3a ; 2 3 ) ( ), C 3a ; 2 3 ( ) quello di perimetro massimo. Ne consegue che 2p ( a ) = a = 4 +. Trovo i mas- 3 3 a simi del perimetro: 2pʹ ( a ) = 2, D 3a ; per nessun a R >. Quindi più a tende a zero (da a 3a destra) più il perimetro diventa grande. Evidentemente, non esiste un massimo. b. Determino i massimi del perimetro: 2pʹ ( ) = 4a + 4 a, per cui il perimetro è massimo per = a. Vedo ora se esiste un valore per il quale sia l area ( = il perimetro ( = a ) sono massimi: 3a = a> a a2 3a = a = a = 3 a = 3. 3a ) che

13 3. Un recipiente sferico con raggio interno r è riempito con un liquido fino all altezza h. Utilizzando il calcolo integrale, dimostrare che il volume del liquido è dato da: V = π rh 2 h3 3. Risposta. Considero la circonferenza con centro nell origine di un sistema di riferimento Oy avente raggio r: 2 + y 2 = r 2. Considero la funzione il cui grafico è la semicirconferenza delle ordinate positive: y = f ( ) = r 2 2. Determino il volume del solido di rotazione attorno all asse della parte di tale semicirconferenza interessata, ovvero quella che va da r a h r. h r ( ) d Quindi V = π r 2 2 r = π r = π r 2 h r 3 3 h3 +h 2 r hr r 3 +r 3 3 r 3 = π rh 2 h 3 3. h r r = π r 2 ( h r) 3 h r ( ) 3 r r 3 = 4. Un test è costituito da domande a risposta multipla, con 4 possibili risposte di cui solo una è esatta. Per superare il test occorre rispondere esattamente almeno a domande. Qual è la probabilità di superare il test rispondendo a caso alle domande? Risposta. La probabilità di rispondere esattamente a una delle n = domande è p = 4. Sono nelle condizioni di poter utilizzare la distribuzione bernoulliana. Il quesito chiede di determinare la probabilità di rispondere ad almeno domande, ovvero P( X ) = P( X = )+P( X = 9)+P( X =), dove X indica la distribuzione numero di risposte esatte. Ora, P X = ( ) = P X = ( ) = = 45, P X = 9 4 =. Quindi P X 4 ( ) = 436 ( ) = = ,4%. = 3 4 e 3 di 6

14 5. Una sfera, il cui centro è il punto K ( 2; ; 2), è tangente al piano Π avente equazione 2 2y + z 9 =. Qual è il punto di tangenza? Qual è il raggio della sfera? Risposta. Il punto di tangenza è il punto di intersezione tra Π e la retta s passante per K e perpendicolare a Π. Sia = +at s : y = y +bt z = z +ct l equazione della retta s. s Π a 2 = b 2 = c a = 2c b = 2c. ( ) = ( 2; ; 2) = 2 y = z = 2. K s ; y ; z Posto c = ottengo = 2+2t s : y = 2t. z = 2+t Determino il punto di intersezione di s con Π; sostituendo le coordinate di s nell equazione di Π trovo che 2( 2+2t) 2( 2t)+ ( 2+t) 9 = t =, quindi il punto di tangenza sarà T ( ; 3; 3) (basta sostituire il valore di t trovato nell equazione della retta s). Rimane da trovare il raggio della sfera; per note proprietà dei piani tangenti alla sfera, la distanza del piano da K è pari al raggio r della sfera: ( ) 2( )+2 9 r = dist Π; K ( ) = ( 2) 2 + = Si stabilisca se la seguente affermazione è vera o falsa, giustificando la risposta: Esiste un polinomio P ( ) tale che: P ( ) cos ( ) 3, R. Risposta. L affermazione è falsa perché la funzione cos mentre una funzione polinomiale non lo è mai ( lim P ± n del polinomio. Ora, P ( ) è limitata ( cos ( ) ;, R ) ( ) = ± ), indipendentemente dal grado ( ) cos ( ) 3 3 P ( ) cos ( ) 3 P ( ) 3 cos ( ) P ( ) + 3, quindi, applicando il Teorema del confronto ottengo ± = lim ( P ± ( ) ) 3 lim cos ± ( ) lim P ± contro l ipotesi di limitatezza della funzione coseno. ( ( ) + ) 3 = ± limcos ± ( ) = ±, 4 di 6

15 Se considero la funzione polinomiale di grado, P ( ) k + 3, ovvero cos ( ) k 3 ; k + 3 ( ) = k R, risulterebbe k 3 cos, R. Ciò è evidentemente impossibile visto che l intervallo k 3 ; k + 3 ha una larghezza pari a 2 3, minore della larghezza dell immagine di cos ( ) che è Una pedina è collocata nella casella in basso a sinistra di una scacchiera, come in figura. A ogni mossa, la pedina può essere spostata o nella casella alla sua destra o nella casella sopra di essa. Scelto casualmente un percorso di 4 mosse che porti la pedina nella casella d angolo opposta A, qual è la probabilità che essa passi per la casella indicata con B? Risposta. A ogni passo ho solo due possibilità se intendo raggiungere la casella A in 4 mosse: posso andare in alto (A) o a destra (D). Precisamente devo andare su per sette volte e a destra per altre sette volte. Ne segue che i possibili percorsi sono pari alla permutazione con ripetizione della sequenza AAAAAAA DDDDDDD I possibili percorsi sono quindi P 7,7 = 4! 4 7! 7! = volte 7 volte I percorsi che arrivano in B sono quelli per i quali bisogna salire di 5 posti e andare a destra di tre, ovvero la permutazione con ripetizione della sequenza 234 AAAAA DDD {. I possibili percorsi che arrivano in B sono quindi P 5,3 =! = 56. I possibili percorsi da B ad A si ottengono spostandosi due volte in su e quattro volte a destra, ovvero P 2,4 6 5! 3! = 6! =5 percorsi. 2! 4! I possibili percorsi fino ad A che passano per B sono quindi 56 5 = 4. Ne segue che la probabilità di passare per B nel raggiungere A è p = = ,4%. 5 volte 3 volte. Data la funzione f cui grafico passa per il punto ; 2e ( ) = f ( ) d ( ) definita in R, f ( ) = e ( ), individuare la primitiva di f ( ) il ( ). Risposta. Calcolo I = 2e d + 2 e d. Ora, 2 e d = 2 e 2e d +c (integrazione per parti). Quindi I = 2e d + 2 e 2e d +c = 2 e +c. ( ) = f ( ) d Determino la primitiva passante per il punto dato: poiché I ( ) = 2 e +e. I ( ) = 2e e+c = 2e c = e, ottengo 5 di 6

16 9. Date le rette: = t + y + z 3 = r : y = 2t, s : 2 y = z = t e il punto P( ; ; 2) determinare l equazione del piano passante per P e parallelo alle due rette. Risposta. Sia Γ:a +by +cz +d = l equazione del piano da ricercare. Γ/ /r a+2b+c = (i vettori direzionali sono tra loro perpendicolari). Determino l equazione parametrica di s: posto = t = t s : y = 2t. z = 3 3t Γ/ /s a+2b 3c = (i vettori direzionali sono tra loro perpendicolari). P Γ a 2c +d =. Mettendo le tre condizioni a sistema trovo: I II III a+2b+c = a+2b 3c = a 2c +d = I I II III a = 2b c a = 2b 4c = c =. d = a+2c d = 2b Quindi Γ: 2b +by +2b = b Γ:2 y 2 =.. Sia f la funzione così definita nell intervallo ; + : f ( ) = t 2 lnt dt. e Scrivere l equazione della retta tangente al grafico di f nel suo punto di ascissa e. Risposta. L equazione della retta tangente al grafico della funzione f nel punto di ascissa dato è y f ( e) = ( e )( e ). Ora, f ( e) = e t lnt dt =, mentre e e ( ) = 2 ln. ( )ʹ 2 2 = 23 = 2e e (ricordo che se ln 2 g ( ) ( ) = h t f ( )dt allora y = 2e e 2e 2. a ( ) gʹ ( ) = h g ( ) e e ( ) ). Quindi l equazione della retta richiesta è 6 di 6