Sistemi di Controllo Digitale

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1 Silvi Simani - Lezine1 1 lezine 1 Intrduzine

2 Silvi Simani - Lezine1 2 PROCESSO: Un insieme di perazini di trasfrmazini che devn avvenire in sequenza pprtuna in un impiant in un sistema fisic CONTROLLO DEI PROCESSI: Insieme di metdlgie, tecniche e tecnlgie rientate alla cnduzine autmatizzata di impianti industriali

3 Silvi Simani - Lezine1 3 SISTEMI DI CONTROLLO DIGITALE: Sistemi di cntrll in retrazine in cui è presente un calclatre digitale e quindi una elabrazine a temp discret della legge di cntrll

4 Silvi Simani - Lezine1 4 SCHEMA TIPICO DI UN SISTEMA DI CONTROLLO ANALOGICO Reglatre r e Rete crretrice m Sistema Amplificatre Attuatre c cntrllat y Trasduttre di misura

5 Silvi Simani - Lezine1 5 SCHEMI TIPICI DI UN SISTEMA DI CONTROLLO DIGITALE (1) Calcl. A/D digitale Clck (T) D/A Attuat. Prc. Trasduttre

6 Silvi Simani - Lezine1 6 SCHEMI TIPICI DI UN SISTEMA DI CONTROLLO DIGITALE (2) A/D Calcl. digitale D/A Attuat. Prc. temp discret A/D Trasduttre

7 Silvi Simani - Lezine1 7 CONTROLLO DIGITALE / CONTROLLO ANALOGICO : + Maggire capacità e precisine di elabrazine + Maggire flessibilità + Maggire affidabilità e ripetibilità + Maggire trasmissibilità dei segnali - Prgettazine più difficile e articlata - Stabilizzabilità più precaria - Pssibilità di arresti nn previsti - Necessità di utilizzare energia elettrica

8 Silvi Simani - Lezine1 8 SEGNALI DI INTERESSE a) Analgic di tip cntinu; b) Temp-cntinu quantizzat; c) A dati campinati; d) Digitale x(t) x(t) (a) (b) 0 t 0 t x(t) x(t) (c) 0 t (d) 0 t

9 Silvi Simani - Lezine1 9 DISPOSITIVI DI INTERFACCIA A/D, cnvertitre Analgic/Digitale x(t) A/D x(kt) x(t) x(kt) Cn campinament mdellat ad impulsi di Dirac: x(t) A/D x(kt) x(t) δ T x(kt)δ(t kt)

10 Silvi Simani - Lezine1 10 D/A, cnvertitre Digitale/Analgic x(kt) D/A x r (t) x(kt) H Mdell: x(kt) x(kt)δ(t kt) x r (t) G r (s) Cas dell Hld: G r (s) = 1 e st s

11 Silvi Simani - Lezine1 11 ANELLO DI CONTROLLO DIGITALE Parte temp cntinua: prcess/impiant Parte temp discreta: sistema di cntrll Campinament reglare di perid T Trasfrmata Zeta

12 Silvi Simani - Lezine2 12 lezine 2 Mdelli per Sistemi a Temp Discret

13 Silvi Simani - Lezine2 13 Equazine alle differenze: Se f( ) è lineare: u k = f(e 0, e 1,...,e k ; u 0, u 1,...,u k 1 ) u k = a 1 u k 1... a n u k n + b 0 e k b m e k m Esempi: u k = a 1 u k 1 a 2 u k 2 + b 0 e k u k = u k u k 1 = u k u k u k 2 = u k 2 u k + 2 u k a 2 2 u k (a 1 + 2a 2 ) u k +(a 2 + a 1 + 1)u k = b 0 e k

14 Silvi Simani - Lezine2 14 Sluzine di equazini alle differenze a cefficienti cstanti u 0 = u 1 = 1. u k = u k 1 + u k 2 k u(k)

15 Silvi Simani - Lezine2 15 Sluzine elementare tip z k : cz k = cz k 1 + cz k 2 z 2 z 1 = 0 z 1,2 =(1 ± 5)/2 quindi in generale vale: u k = c 1 z k 1 + c 2z k 2 cn c 1, c 2 determinate dalle cndizini iniziali per k = 0, 1. Infine si ha u k = ! k ! k Andament divergente, dunque sistema instabile.

16 Silvi Simani - Lezine2 16 Se almen una delle radici della equazine caratteristica ha mdul maggire di un, la crrispndente equazine alle differenze è instabile, ciè la sua sluzine divergerà al crescere del temp per cndizine iniziale finita Se tutte le radici dell equazine caratteristica sn entr in cerchi unitari, allra la crrispndente equazine alle differenze è stabile, ciè la sua sluzine cnvergerà a zer al crescere del temp per gni cndizine iniziale finita

17 Silvi Simani - Lezine2 17 Sia data una sequenza di valri x k R, definita per k = 0, 1, 2,... e nulla per k < 0. La Z-trasfrmata (unilatera) della sequenza x k è la funzine di variabile cmplessa z definita cme X(z) =Z[x k ] = x 0 + x 1 z x k z k + = P k=0 x kz k Nel cas in cui la sequenza di valri x k sia ttenuta campinand unifrmemente cn perid T un segnale cntinu descritt dalla funzine x(t), t 0, si avrà chex k = x(kt): X(z) = X x(k)z k k=0

18 Silvi Simani - Lezine2 18 L espressine estesa X(z) =x(0) +x(t) z 1 + x(2t) z x(kt) z k + implica la specificazine del parametr perid di campinament T, da cui dipendn i valri dei campini della sequenza, ciè i cefficienti della serie. Si usa: intendend: X(z) =Z[X(s)] hn X(z) =Z L 1 [X(s)] t=kt i

19 Silvi Simani - Lezine2 19 Nelle applicazini ingegneristiche la funzine X(z) assume in generale una espressine razinale fratta del tip X(z) = b 0 z m + b 1 z m b m z n + a 1 z n a n che si può esprimere anche in ptenze di z 1 : X(z) = zn (b 0 z (n m) + b 1 z (n m+1) + + b m z n ) z n (1 + a 1 z a n z n ) = b 0 z (n m) + b 1 z (n m+1) + + b m z n 1 + a 1 z a n z n Esempi: X(z) = z(z + 0.5) (z + 1)(z + 2) = z 1 (1 + z 1 )(1 + 2z 1 )

20 Silvi Simani - Lezine2 20 Impuls discret unitari, detta anche funzine di Krnecker δ 0 (t): x(t) = j 1 t = 0 0 t 0 da cui: X(z) = Z[x(t)] = X x(kt)z k k=0 = 1 + 0z 1 + 0z 2 + 0z 3 + = 1

21 Silvi Simani - Lezine2 21 Gradin unitari: Sia data la funzine gradin unitari x(t) =h(t) = j 1 t 0 0 t < 0 La funzine h(k) definita cme h(k) = j 1 k = 0, 1, 2,... 0 k < 0 è detta sequenza unitaria. Sihache H(z) = Z[h(t)] = X h(kt)z k = k=0 = 1 + z 1 + z 2 + z = 1 z = z 1 z 1 X k=0 z k La serie è cnvergente per z > 1.

22 Silvi Simani - Lezine2 22 Rampa unitaria. Si cnsideri la funzine rampa unitaria: x(t) = j t t 0 0 t < 0 Pichè x(kt) =kt, k = 0, 1, 2,...,laZ-trasfrmata è X(z) = Z[t] = X x(kt)z k = T k=0 X k=0 kz k = T(z 1 + 2z 2 + 3z 3 + ) = Tz 1 (1 + 2z 1 + 3z 2 + ) = T z 1 (1 z 1 ) 2 = T z (z 1) 2 cnvergente per z > 1.

23 Silvi Simani - Lezine2 23 Funzine ptenza a k. Sia data la funzine x(k) = j a k k = 0, 1, 2,... 0 k < 0 cn a cstante reale cmplessa. Dalla definizine di Z-trasfrmata si ha che h X(z) = Z a ki = X x(k)z k = k=0 X a k z k k=0 = 1 + az 1 + a 2 z 2 + a 3 z 3 + = 1 1 az = z 1 z a Questa serie gemetrica cnverge per z > a.

24 Silvi Simani - Lezine2 24 Funzine espnenziale. Sia data la funzine x(t) = j e at t 0 0 t < 0 dve a è una cstante reale cmplessa. Pichè x(kt) =e akt, k = 0, 1, 2,...,siha h X(z) = Z e ati = X e akt z k k=0 = 1 + e at z 1 + e 2aT z 2 + e 3aT z 3 + = 1 1 e at z = z 1 z e at che cnverge per z > e Re(a)T. Si nti che per a = 0 si ha il gradin unitari.

25 Silvi Simani - Lezine2 25 Funzine sinusidale. Sia data la sinuside x(t) = j sin ωt t 0 0 t < 0 Dalle frmule di Euler è nt che sin ωt = 1 2j (ejωt e jωt ) X(z) = Z[sin ωt] = 1 2j = 1 (e jωt e jωt )z 1 2j 1 (e jωt + e jωt )z 1 + z 2 = cnvergente per z > 1. «1 1 e jωt z e jωt z 1 z 1 sin ωt 1 2z 1 cs ωt + z = z sin ωt 2 z 2 2z cs ωt + 1

26 Silvi Simani - Lezine2 26 Funzine csinusidale. Sia data la funzine x(t) = j cs ωt t 0 0 t < 0 X(z) = Z[cs ωt] = 1 2 «1 1 e jωt z e jωt z 1 = 1 2 (e jωt + e jωt )z (e jωt + e jωt )z 1 + z 2 = = 1 z 1 cs ωt 1 2z 1 cs ωt + z 2 z(z cs ωt) z 2 2z cs ωt + 1 z > 1

27 Silvi Simani - Lezine2 27 Funzine csinusidale smrzata. Sia dat il segnale x(t) = j e at cs ωt t 0 0 t < 0 h i X(z) = Z e at cs ωt = 1 h i 2 Z (e at e jωt + e at e jωt ) = 1 2 «1 1 e (a jω)t z e (a+jω)t z 1 = 1 2 (e jωt + e jωt )e at z (e jωt + e jωt )e at z 1 + e 2aT z 2 = 1 e at z 1 cs ωt 1 2e at z 1 cs ωt + e 2aT z 2 = z(z e at cs ωt) z 2 2e at z cs ωt + e 2aT z > e at

28 Silvi Simani - Lezine2 28

29 Silvi Simani - Lezine2 29 Funzine sinusidale smrzata x(t) = j e at sin ωt t 0 0 t < 0 si ttiene h i X(z) = Z e at sin ωt = = e at z 1 sin ωt 1 2e at z 1 cs ωt + e 2aT z 2 e at z sin ωt z 2 2e at z cs ωt + e 2aT z > e at Le trasfrmate delle funzini di maggir interesse sn slitamente riprtate in tabelle

30 Silvi Simani - Lezine3 30 lezine 3 Trasfrmata Z

31 Silvi Simani - Lezine3 31 Esempi: X(s) = 1 s(s+1) Prima tecnica: x(t) =1 e t h X(z) = Z 1 e ti = = 1 1 z e T z 1 (1 e T )z 1 (1 z 1 )(1 e T z 1 ) = (1 e T )z (z 1)(z e T ) Secnda tecnica: 1 X(s) = s(s + 1) = 1 s s 1 X(z) = 1 z e T z 1

32 Silvi Simani - Lezine3 32 La Z trasfrmata X(z) e la sua sequenza crrispndente x(k) sn legate da una crrispndenza biunivca Quest nn avviene in genere tra la Z-trasfrmata X(z) e la sua inversa x(t) Data una X(z) si pssn in genere avere mlte x(t) Questa ambiguità nn sussiste se sn verificate le cndizini restrittive su T dettate dal Terema di Shannn

33 Silvi Simani - Lezine3 33 Diverse funzini temp cntinu pssn avere gli stessi valri x(k) y0, y t (s)

34 Silvi Simani - Lezine3 34 PROPRIETÀ E TEOREMI DELLA Z-TRASFORMATA Linearità: x(k) =af(k) +bg(k) X(z) =af(z) +bg(z) Mltiplicazine per a k.siax(z) la Z-trasfrmata di x(t), a una cstante. h i Z a k x(k) = X(a 1 z) h i Z a k x(k) = X a k x(k)z k = X x(k)(a 1 z) k k=0 k=0 = X(a 1 z)

35 Silvi Simani - Lezine3 35 Terema della traslazine nel temp. n = 1, 2,..., allra Se x(t) = 0, t < 0, X(z) = Z[x(t)], e Z[x(t + nt)] = z n "X(z) Z[x(t nt)] = z n X(z) Xn 1 k=0 x(kt)z k # (ritard) ( anticip) Operativamente: ecsì via. z 1 x(k) =x(k 1) z 2 x(k) =x(k 2) zx(k) =x(k + 1)

36 Silvi Simani - Lezine3 36 Cas di ritard: Z[x(t nt)] = X x(kt nt)z k k=0 X = z n x(kt nt)z (k n) k=0 da cui, pnend m = k n, Z[x(t nt)] = z n X m= n Pichè x(mt) =0 per m < 0, allra si può scrivere che Z[x(t nt)] = z n X m=0 x(mt)z m x(mt)z m = z n X(z)

37 Silvi Simani - Lezine3 37 Cas dell anticip: Z[x(t + nt)] = = X x(kt + nt)z k = z n k=0 X k=0 x(kt + nt)z (k+n) " X = z n x(kt + nt)z (k+n) + k=0 Xn 1 k=0 x(kt)z k # " X = z n x(kt)z k k=0 = z n "X(z) Xn 1 k=0 Xn 1 k=0 x(kt)z k # Xn 1 k=0 x(kt)z k # x(kt)z k

38 Silvi Simani - Lezine3 38 Terema del valre iniziale. Se X(z) èlaz-trasfrmata di x(t) e se esiste il lim z X(z), allra il valre iniziale x(0) di x(t) è dat da: x(0) = lim z X(z) Infatti, si nti che X(z) = X x(k)z k = x(0) +x(1)z 1 + x(2)z 2 + k=0

39 Silvi Simani - Lezine3 39 Terema del valre finale. Sian tutti i pli di X(z) all intern del cerchi unitari, cn al più un pl semplice per z = 1. Infatti X x(k)z k k=0 h i lim x(k) = lim (1 z 1 )X(z) k z 1 X x(k 1)z k = X(z) z 1 X(z) k=0 lim z 1 ˆP k=0 x(k)z k P k=0 x(k 1)z k = = X [x(k) x(k 1)] k=0 = [x(0) x( 1)] + [x(1) x(0)] + [x(2) x(1)] + = lim k x(k)

40 Silvi Simani - Lezine3 40 Esempi: Si cnsideri il segnale descritt da X(z) = Tz(z + 1) 2(z 0.5)(z 1) Il valre finale della sequenza x(kt) è quindi dat da lim x(kt) = lim (1 Tz(z + 1) k z 1 z 1 ) 2(z 0.5)(z 1) = lim z 1 T(z + 1) 2(z 0.5) = 2T

41 Silvi Simani - Lezine3 41 Differenziazine cmplessa: Z[kx(k)] = z d dz X(z) Zˆk m x(k) = z d «m X(z) dz

42 Silvi Simani - Lezine3 42 Esempi: È nt che la Z-trasfrmata del gradin unitari è Z[h(k)] = 1 1 z 1 Per ttenere la trasfrmata del segnale rampa unitaria x(k) =kt, k = 0, 1, 2,... Z[kT h(k)] = Tz d dz 1 1 z 1 «z 1 = T (1 z 1 ) 2

43 Silvi Simani - Lezine3 43 Integrazine cmplessa. Si cnsideri la sequenza g(k) = x(k) k dve x(k)/k èfinitperk = 0, esiaz[x(k)] = X(z). LaZ-trasfrmata di x(k)/k è data da» Z x(k) X(ζ) x(k) Z = dζ + lim k ζ k 0 k z

44 Silvi Simani - Lezine3 44 Terema della cnvluzine reale. Sian date due funzini x 1 (t) e x 2 (t), cnx 1 (t) = x 2 (t) =0, t < 0 e Z-trasfrmate X 1 (z), X 2 (z). Allra " kx # X 1 (z)x 2 (z) =Z x 1 (ht)x 2 (kt ht) h=0 Per la dimstrazine, si nti che " kx # Z x 1 (h)x 2 (k h) = X kx x 1 (h)x 2 (k h)z k h=0 k=0 h=0 = X X x 1 (h)x 2 (k h)z k k=0 h=0 pichè x 2 (k h) =0, h > k. Definend m = k h si ha " kx # X Z x 1 (h)x 2 (k h) = x 1 (h)z h X h=0 h=0 m=0 x 2 (m)z m

45 Silvi Simani - Lezine3 45 Terema della cnvluzine cmplessa. Sian date due successini x 1 (k), x 2 (k) nulle per k < 0. Inltre sian X 1 (z) e X 2 (z) le trasfrmate delle due successini e sian R 1, R 2 i rispettivi raggi di cnvergenza. Allra la Z-trasfrmata del prdtt x 1 (k)x 2 (k) è data da: Z[x 1 (k)x 2 (k)] = 1 2πj I C ζ 1 X 2 (ζ)x 1 (ζ 1 z)dζ

46 Silvi Simani - Lezine3 46 Terema di Parseval. Sian date due sequenze x 1 (k), x 2 (k) nulle per k < 0. Inltre sian X 1 (z) e X 2 (z) le trasfrmate delle due successini. [Z[x 1 (k)x 2 (k)]] z =1 = Per x 1 (k) =x 2 (k) =x(k), si ttiene X k=0 X x 1 (k)x 2 (k) k=0 = 1 2πj x 2 (k) = 1 2πj = 1 2πj I I C C I C ζ 1 X 2 (ζ)x 1 (ζ 1 z)dζ ζ 1 X(ζ)X(ζ 1 )dζ z 1 X(z)X(z 1 )dz

47 Silvi Simani - Lezine3 47 Trasfrmazine di funzini peridiche. Sia data una successine x p (k) peridica di perid pt e x(k) la successine dei campini del prim perid e nulla per k > p x(k) = j xp (k) k = 0,...,p 0 k > p Se X(z) è la Z-trasfrmata di x(k) allra vale Z[x p (k)] = zp z p 1 X(z) = 1 1 z px(z)

48 Silvi Simani - Lezine4 48 Lezine 4 Antitrasfrmata Z

49 Silvi Simani - Lezine4 49 LA ANTITRASFORMATA Z Permette di passare da una Z-trasfrmata X(z) alla crrispndente sequenza x k e pssibilmente alla funzine cntinua x(t) cui crrispnde per campinament la sequenza x k. X(z) x(k) x(t) biunivca nn biunivca Se è sddisfatt il Terema di Shannn sul campinament, la funzine cntinua x(t) può essere univcamente determinata a partire dalla sequenza x k.

50 Silvi Simani - Lezine4 50 Diversi metdi per antitrasfrmare una funzine X(z): 1) Metd della lunga divisine; 2) Metd cmputazinale; 3) Metd della scmpsizine in fratti semplici; 4) Metd dell integrale di inversine.

51 Silvi Simani - Lezine4 51 Metd della scmpsizine in fratti semplici Cas 1. Se tutti i pli sn semplici, si pne X(z) = b 0z m + b 1 z m b m 1 z + b m (z p 1 )(z p 2 ) (z p n ) X(z) = c 1 z p 1 + c 2 z p c n z p n = nx i=1 c i z p i dve i cefficienti c i, detti residui, sn parametri che vengn calclati cme: c i =[(z p i )X(z)] z=pi

52 Silvi Simani - Lezine4 52 Se nella espressine di X(z) cmpare almen un zer nell rigine, si utilizza la funzine X(z)/z e quindi X(z) z = c 1 z p c n z p n c i =» (z p i ) X(z) z z=p i Quand sn presenti pli cmplessi cniugati, i cefficienti c i sn anch essi cmplessi. In quest cas si ricrre alle frmule di Euler per ttenere funzini trignmetriche. L espressine finale cercata è quindi nx x(k) = c i p k i i=1

53 Silvi Simani - Lezine4 53 Cas 2. SeX(z), X(z)/z, hapli multipli allra si può prre X(z) = B(z) A(z) = b 0z m + b 1 z m b m 1 z + b m (z p 1 ) r 1(z p 2 ) r 2 (z p h ) r h X(z) = hx i=1 r i X k=1 c ik (z p i ) r i k+1 dve i residui si calclan cme " # 1 d k 1 c ik = (k 1)! dz k 1(z p i) r i X(z) i = 1,...,h; k = 1,...,r i z=p i

54 Silvi Simani - Lezine4 54 Esempi. Antitrasfrmare la funzine X(z) = 1 z 4 + 6z z z + 4 = 1 (z + 2) 2 (z + 1) 2 Si ha che X(z) = c 11 (z + 2) 2 + c 12 (z + 2) + c 21 (z + 1) 2 + c 22 (z + 1) c 11 = [(z + 2) 2 X(z)] z= 2 = 1» d c 12 = dz (z + 2)2 X(z) = 2 c 21 = c 22 = h i (z + 1) 2 X(z) z= 1» d dz (z + 1)2 X(z) z= 2 = 1 z= 1 = 2

55 Silvi Simani - Lezine5 55 Lezine 5 Il Prblema del Campinament

56 Silvi Simani - Lezine5 56 I sistemi in retrazine cn cntrll digitale sn caratterizzati da una parte cntinua (il prcess da cntrllare) e una parte discreta (il cntrllre digitale) Sn quindi presenti sia variabili a temp discret sia variabili a temp cntinu I dispsitivi di interfaccia sn il campinatre e il ricstruttre

57 Silvi Simani - Lezine5 57 e(t) e(kt) x(kt) x r (t) Cntrllre Ricstruttre T Ricstruttre di rdine zer: x r (t) = X x(kt)[h(t kt) h(t (k + 1)T)] k=0 X r (s) = P k=0 x(kt) h i e kts e (k+1)ts s = 1 e Ts s P k=0 x(kt)e kts

58 Silvi Simani - Lezine5 58 H 0 (s) = 1 e Ts s x (t) =L 1ˆX (s) = X (s) = X x(kt)e kts k=0 X x(kt)δ(t kt) k=0 δ T (t) = X δ(t kt) k=0 δ T (t) 1 0 T 2T 3T 4T 5T t x(t) X(s) δ T (t) x (t) X (s) x(t) X(s) δ T (t) x (t) X (s)

59 Silvi Simani - Lezine5 59 Il campinatre impulsiv è un mdell ideale del campinatre reale (cnvertitre A/D) cnsiderat adeguat alle esigenze di analisi e prgett dei cntrlli digitali L uscita del ricstruttre di rdine zer vale: X r (s) =H 0 (s) X (s) = 1 e Ts s X (s) x(t) x(kt) x r (t) Hld T δ T x(t) x (t) x r (t) 1 e Ts s

60 Silvi Simani - Lezine5 60 X (s) = X x(kt)e kts k=0 z = e st s = 1 T ln z X (s) s= 1 = X x(kt) z k ln z T La trasfrmata zeta della sequenza x(kt) anzichè la trasfrmata di Laplace del segnale x (t) permette di perare cn funzini razinali fratte. k=0

61 Silvi Simani - Lezine5 61 x (t) = x(t) δ T (t) =x(t) P n= δ(t nt) δ T (t) = P n= c n e jnω st ne segue c n = 1 T R T 0 δ T(t) e jnω st dt = 1 T x (t) = x(t) 1 T P n= ejnω st = 1 T P n= x(t) ejnω st

62 Silvi Simani - Lezine5 62 X (s) = 1 T X n= h i L x(t) e jnω st = 1 T X n= X(s jnω s ) A men della cstante mltiplicativa 1/T, la trasfrmata di Laplace X (s) del segnale campinat si ttiene dalla smma degli infiniti termini, X(s jnω s ), ciascun dei quali si ttiene dalla X(s) mediante traslazine di jnω s nel camp cmpless. L andament spettrale del segnale campinat vale: X (jω) = 1 T X n= X(jω jnω s )

63 Silvi Simani - Lezine5 63 X(jω) ω c 0 ω c ω X (jω) 1 3ω s 2 1 T ω s ωs 3ωs ω s ω s 0 ω c ω s 2ω s La cndizine ω s > 2ω c mantiene distint l spettr riginari dalle cmpnenti cmplementari per cui, mediante filtraggi, è pssibile ricstruire cmpletamente il segnale x(t) ω

64 Silvi Simani - Lezine5 64 Nel cas in cui la cndizine ω s > 2ω c nn è rispettata: X (jω) 0 2ω s ω s ω s 2ω s 1 T L spettr riginari è parzialmente svrappst alle cmpnenti cmplementari cntigue per cui mediante filtraggi nn è più pssibile ricavare il segnale riginari a partire dal segnale campinat

65 Silvi Simani - Lezine5 65 Terema di Shannn Sia ω s = 2π T la pulsazine di campinament (T è il perid di campinament), e sia ω c la più alta cmpnente spettrale del segnale temp-cntinu x(t). Il segnale x(t) è cmpletamente ricstruibile a partire dal segnale campinat x (t) se e sl se la pulsazine ω s è maggire del dppi della pulsazine ω c : ω s > 2ω c Ricstruzine mediante filtr ideale G I (jω) G I (jω) = ( T ωs 2 ω ω s 2 0 altrve T ω s 2 0 ωs 2

66 Silvi Simani - Lezine5 66 Il filtr ideale G I (jω) nn è fisicamente realizzabile. La sua rispsta all impuls vale: g I (t) = sin(ω st/2) ω s t/2 1-4T -3T -2T -T 0 T 2T 3T 4T

67 Silvi Simani - Lezine5 67 Frmula di ricstruzine di Shannn x(t) = R x (τ) g I (t τ) dτ = P k= x(kt) R δ(τ kt)sin(ω s(t τ)/2) ωs(t τ)/2 = P k= x(kt)sin(ω s(t kt)/2) ωs(t kt)/2 Occrrn tutti i campini x(kt) passati e futuri Si usan ricstruttri causali e facilmente realizzabili dτ

68 Silvi Simani - Lezine5 68 Aliasing: Cn il termine aliasing si indica quel fenmen per il quale, mediante campinament, si generan delle nuve cmpnenti spettrali (armniche) alla stessa frequenza della cmpnente spettrale di partenza che impediscn la crretta ricstruzine del segnale di partenza. Si può avere aliasing sl nel cas in cui la cndizine ω s > 2ω c del terema di Shannn nn sia verificata

69 Silvi Simani - Lezine5 69 Esempi: j x(t) = sin(ω2 t + θ) y(t) = sin((ω 2 + nω s )t + θ) aventi stessa fase θ e pulsazine che differisce di un multipl inter di ω s. Se i due segnali vengn campinati 8 x(kt) = sin(ω 2 kt + θ) >< y(kt) = sin((ω 2 + nω s )kt + θ) = sin(ω 2 kt + 2kπn + θ) >: = sin(ω 2 kt + θ) I valri campinati cincidn: x(kt) =y(kt)

70 Silvi Simani - Lezine5 70 Esempi: ω 2 + ω 1 = nω s Pst ω 1 = 1 8 ω s e ω 2 = ω s ω 1 = 7 8 ω s 8 < : x(t) = sin(ω 1 t)=sin(ω s t/8) y(t) = sin(ω 2 t)=sin(7ω s t/8 + π) Campinand si ha 8 >< >: x(kt) = sin(ω s kt/8) =sin(2kπ/8) = sin(kπ/4) y(kt) = sin(7ω s kt/8 + π) =sin(7kπ/4 + π) = sin(kπ/4)

71 Silvi Simani - Lezine5 71 Per evitare fenmeni di aliasing si deve prvvedere ad intrdurre un pprtun filtraggi passa-bass prima del campinatre.

72 Silvi Simani - Lezine5 72 Campinament della rispsta all impuls di un sistema del secnd rdine G(s) = 25 s 2 + 6s+ 25 Il sistema G(s) ha un guadagn static unitari, ha due pli cmplessi cniugati p 1,2 = 3±j4, pulsazine naturale ω n = 5rad/s e cefficiente di smrzament δ = 3/5 G(s) = 25 (s + 3)

73 Silvi Simani - Lezine5 73 Diagramma delle ampiezze di G(jω): scala lgaritmica 0 G(jw) (db) scala lineare G(jw) Per ω>10ω n = 50 rad/s = ω, l ampiezza di G(jω) è inferire ad un centesim (-40 db) del guadagn static

74 Silvi Simani - Lezine5 74 L spettr, pur essend a banda tericamente illimitata, risulta essere praticamente trascurabile per pulsazini maggiri di ω = 50 rad/s Applicand la Z-trasfrmata si ha La rispsta spettrale è data da G(z) = 25 4 e 3T sin(4t) z z 2 2e 3T cs(4t) z + e 6T G (jω) =G(z) z=e jωt 0 ω π T

75 Silvi Simani - Lezine5 75 Andament spettrale di G (jω) quand T = π 50 e T = π

76 Silvi Simani - Lezine6 76 Lezine 6 Ricstruttri di Segnale - Relazine tra Pian s e Pian z

77 Silvi Simani - Lezine6 77 Tipici ricstruttri di segnale x(kt) Ricstruttre x r (t) x(t) =x(kt)+ dx(t) dt (t kt)+ t=kt + d2 x(t) dt 2 t=kt (t kt) 2 2! + dx(t) dt t=kt x(kt) x((k 1)T) T...

78 Silvi Simani - Lezine6 78 Ricstruttre di rdine zer x 0 (t) =x(kt) kt t < (k + 1)T g 0 (t) 1 H 0 (s) = 1 e st s 0 T

79 Silvi Simani - Lezine6 79 La rispsta frequenziale del ricstruttre di rdine zer: H 0 (jω)= 1 e jωt jω = 2e jωt/2 ω e jωt/2 e jωt/2 2j = T sin(ωt/2) ωt/2 e jωt/2 Mdul Fase H 0 (jω) = T sin(ωt/2) ωt/2 Arg [H 0 (jω)] = Arg» sin ωt 2 ωt 2

80 Silvi Simani - Lezine6 80 Ricstruttre di rdine zer Scala lineare 0 Scala lgaritmica 1 H(jW) /T 0.5 H(jW) /T (db) W/Ws W/Ws 0 0 Fase (deg) Fase (deg) W/Ws W/Ws

81 Silvi Simani - Lezine H 0 (jω) Te jωt/2

82 Silvi Simani - Lezine6 82 Crrispndenza tra pian s e pian z X (s) =X(z) z=e st Le variabili cmplesse s e z sn legate dalla relazine Pst s = σ + jω si ha z = e st z = e T(σ+jω) = e Tσ e jtω = e Tσ e jt(ω+2kπ T ) Ogni punt del pian z è in crrispndenza cn infiniti punti del pian s

83 Silvi Simani - Lezine6 83 I punti del pian s a parte reale negativa (σ <0) sn in crrispndenza cn i punti del pian z all intern del cerchi unitari: z = e Tσ < 1 I punti sull asse immaginari (σ = 0) vengn mappati sul cerchi unitari ( z = 1), mentre quelli a parte reale psitiva (σ > 0) vengn mappati all estern del cerchi unitari ( z > 1). La striscia di pian s delimitata dalle rette rizzntali s = jω s /2 e s = jω s /2 prende il nme di striscia primaria

84 Silvi Simani - Lezine7 84 Lezine 7 Funzini di Trasferiment Discrete

85 Silvi Simani - Lezine7 85 Striscia primaria e Strisce cmplementari Striscia cmplementare Striscia cmplementare Striscia primaria Striscia cmplementare Striscia cmplementare jω j ω s 2 j 3ω s 2 j ω s 2 j 3ω s 2 j 5ω s 2 pian s Im 1 0 σ 0 1 Re j ω s 2 1 pian z

86 Silvi Simani - Lezine7 86 Le variabili cmplesse s e z sn legate dalla relazine z = e st Pst s = σ + jω si ha dve z = e T(σ+jω) = e Tσ e jtω 0 ω ω s 2 = π T

87 Silvi Simani - Lezine7 87 Mapping tra striscia primaria e pian z 4 5 Striscia primaria jω pian s j ω s 2 j ω s 4 j ω s Im σ 0 Re j ω s 4 7 pian z

88 Silvi Simani - Lezine7 88 Lughi a decadiment espnenziale cstante jω pian s Im pian z 0 σ σ 1 σ 2 e +σ 2 T 1 e σ 1 T Re

89 Silvi Simani - Lezine7 89 Lughi a pulsazine cstante jω pian s Im z = e T(σ+jω 2 ) pian z j ω s 2 j ω s 2 jω 2 jω 1 0 σ jω 1 1 ω 1 T ω 1 T z = e T(σ+jω 1 ) 1 Re z = e T(σ jω 1 )

90 Silvi Simani - Lezine7 90 Un esempi di crrispndenza fra due regini del pian s e del pian z jω pian s Im pian z σ = σ 2 σ = σ 1 j ω s 2 jω 1 0 σ jω 2 j ω s 2 z = e T(σ+jω 1 ) 1 e σ 1 T e σ 2 T 1 Re z = e T(σ jω 2 )

91 Silvi Simani - Lezine7 91 Lug dei punti a cefficiente di smrzament cstante δ = δ 1 δ s = ω tan β + jω = ω + jω 1 δ 2 β = arcsin δ 1 jws/2 pian s pian z jws/2 z = e st = e ( ω tan β+jω)t = e ϕ tan β e jϕ ϕ = ωt

92 Silvi Simani - Lezine7 92 Lughi a cefficiente di smrzament δ cstante jws/2 pian z pian s -1 1 jws/2

93 Silvi Simani - Lezine7 93 Lughi a pulsazine naturale ω n cstante jws/2 pian z pian s -1 1 jws/2

94 Silvi Simani - Lezine7 94 Lughi del pian z a δ e ω n cstanti W=0.6 W=0.4 W=0.8 W=0.2 W=0.1 d= z=0 z=1

95 Silvi Simani - Lezine7 95 I punti del pian s e del pian z, psti in crrispndenza per mezz della relazine z = e st, pssn essere cnsiderati cme pli crrispndenti di trasfrmate F(s) ed F(z), cn F(z) calclata campinand F(s) j ω s 2 j ω s 2 jω pian s σ jω pian z σ

96 Silvi Simani - Lezine7 96

97 Silvi Simani - Lezine8 97 Lezine 8 Cmpsizine di Schemi a Blcchi

98 Silvi Simani - Lezine8 98 Funzine di trasferiment discreta y(kt) = X g(kt ht)x(ht) h=0 X(z) G(z) Y(z) X(z) =Z[x(kT)] = 1 Y(z) =G(z)

99 Silvi Simani - Lezine8 99 Funzine di Rispsta Armnica Discreta G(e jωt ), 0 ω π T G(e j(ω+kωs)t )=G(e jωt ), G(e j( ω)t )=G (e jωt ) La rispsta di un sistema G(z) asintticamente stabile ad un ingress sinusidale sin(ωkt) di ampiezza unitaria è, a regime, una sinuside A sin(ωkt + ϕ) la cui ampiezza A è data dal mdul del vettre G(e jωt ), e la cui fase ϕ è data dalla fase del vettre G(e jωt ): A = G(e jωt ) ϕ = Arg[G(e jωt )]

100 Silvi Simani - Lezine8 100 z sin ωt X(z) = Z[sin(ωt)] = = 1 2j z z e jωt z 2 (2 cs ωt)z+1 z z e jωt Y(z) = G(z) X(z) = Y 0 (z) + G(ejωT ) 2j e j(ωt+ϕ) z z e jωt e j(ωt+ϕ) z z e jωt smma di un termine transitri Y 0 (z) che si annulla asintticamante, crrispndente ai pli stabili di G(z), e un termine sinusidale di ampiezza G(e jωt ) e fase ϕ = Arg[G(e jωt )].

101 Silvi Simani - Lezine9 101 Lezine 9 Stabilità per Sistemi a Temp Discret

102 Silvi Simani - Lezine9 102 Stabilità dei sistemi discreti Y(z) U(z) = G(z) =B(z) A(z) Stabilità semplice Stabilità asinttica Stabilità ingress limitat - uscita limitata

103 Silvi Simani - Lezine9 103 Il cmprtament dinamic di un sistema G(z) = B(z) A(z) dipende dai pli di G(z), ciè dalle radici del plinmi A(z). Esempi G(z) = 4z az = 4 1 z + a in rispsta a u(0) =1, u(k) =0, k > 0; in crrispndenza ai valri a = 0.75, a = 0.75, a = 1.25, a = 1.25, a = 1, a = 1

104 Silvi Simani - Lezine9 104 Y(z)(1 + az 1 )=4z 1 U(z) y(k) = ay(k 1) +4u(k 1) y(0) = 0 y(1) = 4u(0) =4 y(2) = ay(1) +4u(1) = 4a y(3) = ay(2) +4u(2) =4a 2 y(4) = ay(3) +4u(3) = 4a 3 y(5) = ay(4) +4u(4) =4a 4... y(k) = ay(k 1) +4u(k 1) =4( a) k 1

105 Silvi Simani - Lezine9 (a) Pl in pl in z=0.75 (b) Pl in pl in z=-0.75

106 Silvi Simani - Lezine9 (c) Pl in pl in z=1.25 (d) Pl in pl in z=-1.25

107 Silvi Simani - Lezine9 (e) Pl in pl in z=1 (f) Pl in -1 pl in z=-1

108 Silvi Simani - Lezine9 108 R(z) G(z) C(z) (a) R(s) R(z) G(z) D(z) SH G(s) T - T T C(s) C(z) (b) G 0 (z) = D(z)G(z) 1 + D(z)G(z)

109 Silvi Simani - Lezine9 109 Sia dat un sistema descritt da G(z) = B(z) A(z) ppure G 0(z) = D(z)G(z) 1 + D(z)G(z) Il sistema è asintticamente stabile se e sl se tutte le radici del plinmi A(z) ( del plinmi 1 + D(z)G(z)), ciè i pli del sistema, sn entr il cerchi di raggi unitari cn centr nell rigine del pian z ssia p i < 1, i. Il sistema è stabile se tutti i pli a mdul unitari p i = 1 sn pli semplici (la lr mlteplicità è 1), mentre tutti i rimanenti pli sn entr il cerchi unitari.

110 Silvi Simani - Lezine Lezine 10 Errri a Regime

111 Silvi Simani - Lezine Specifiche di prgett di sistemi di cntrll Specifiche che il sistema deve sddisfare, in cndizini statiche ( di regime) e durante i transitri: - Precisine a regime: ci si riferisce cn questa alla capacità di un sistema di seguire alcuni segnali di riferiment cn il minim errre - Rispsta nel transitri: ci si riferisce all andament per tempi finiti dell uscita del sistema in retrazine in rispsta a segnali tipici in ingress

112 Silvi Simani - Lezine Stabilità relativa: ci si riferisce ai margini di stabilità - Sensitività parametrica: ci si riferisce al fatt che le prestazini del sistema nn vengan alterate dalle variazini di certi parametri - Reiezine di disturbi: ciè la capacità del sistema cntrllat di ridurre al minim l influenza sull uscita di eventuali disturbi che entran nell anell di cntrll - Sfrz di cntrll: ci si riferisce all ampiezza massima della variabile maniplabile v(t), sull energia entrante nel sistema

113 Silvi Simani - Lezine Errri a regime (cas cntinu) R(s) E(s) D(s) G(s) C(s) G(s) = K(1 + q 1s)(1 + q 2 s)...(1 + q m s) s N (1 + p 1 s)(1 + p 2 s)...(1 + p p s)

114 Silvi Simani - Lezine Errri a regime (cas discret) Nel cas discret la crrispndente definizine di tip si riferisce al numer di pli nel punt z = 1 HP(z) R(z) E(z) C(z) D(z) Hld P(s) -» P(s) G(z) =D(z)HP(z) =D(z)(1 z 1 )Z s 1 E(z) = 1 + G(z) R(z)

115 Silvi Simani - Lezine Assumend che il sistema sia stabile, l errre a regime può essere calclat mediante il terema del valre finale: e reg = lim k e(k) = lim z 1 ˆ(1 z 1 )E(z) = lim z 1 h(1 z 1 ) 1 1+G(z) R(z) i = lim z 1 h z 1 z i 1 1+G(z) R(z)

116 Silvi Simani - Lezine Errre di psizine R(z) = r 0» 1 z 1 e p = lim (1 z 1 1 r 0 ) z G(z) 1 z 1 Definend k p = lim z 1 G(z) cstante di psizine» r 0 = lim z G(z) e p = r k p

117 Silvi Simani - Lezine Errre di velcità R(z) = Tz 1 r 0 (1 z 1 ) 2 e v = lim z 1»(1 z 1 ) 1 = lim z 1 h Definend k v = lim z 1 (1 z 1 )G(z) T Tr 0 (1 z 1 )G(z) Tz 1 r 0 1+G(z) (1 z 1 ) 2 i cstante di velcità e v = r 0 k v

118 Silvi Simani - Lezine Errre di accelerazine R(z) = T2 z 1 (1 + z 1 )r 0 2(1 z 1 ) 3 e a = lim z 1»(1 z 1 1 T ) 2 z 1 (1+z 1 )r 0 1+G(z) 2(1 z 1 ) 3 = lim z 1» T 2 r 0 (1 z 1 ) 2 G(z) Definend k a = lim z 1 (1 z 1 ) 2 G(z) T 2 cstante di accelerazine e a = r 0 k a

119 Silvi Simani - Lezine Esempi cn T = 0.25 s G(z) = z z 1 k p = lim z 1 G(z) =2 e p = = k v = lim z 1 (1 z 1 )G(z) T = 0 e v = 1 0 = k a = lim z 1 (1 z 1 ) 2 G(z) T 2 = 0 e a = 1 0 =

120 Silvi Simani - Lezine Errre di psizine 1.2 Sistema di tip 0 cn ingress a gradin 1 Errre y

121 Silvi Simani - Lezine Errre di velcità 4 Sistema di tip 0 cn ingress a rampa 2 Errre y

122 Silvi Simani - Lezine Errre di accelerazine 8 Sistema di tip 0 cn ingress a parabla 4 Errre y s s

123 Silvi Simani - Lezine Esempi 0.3z 2 G(z) = 1 1.2z z = 0.3z 2 2 (1 z 1 )(1 0.2z 1 ) cn T = 1s. Il sistema èraditip1 k p = lim z 1 G(z) = e p = 0 k v = lim z 1 (1 z 1 )G(z) T = 0.75 e v = k a = lim z 1 (1 z 1 ) 2 G(z) T 2 = 0 e a =

124 Silvi Simani - Lezine Errre di psizine 1.2 Sistema di tip 1 cn ingress a gradin 2 Errre y

125 Silvi Simani - Lezine Errre di velcità 10 Sistema di tip 1 cn ingress a rampa 2 Errre y

126 Silvi Simani - Lezine Errre di accelerazine Sistema di tip 1 cn ingress a parabla Errre y s s

127 Silvi Simani - Lezine Esempi G(z) = 0.3(1 1.2z z 2 ) (1 z 1 ) 2 (1 0.6z 1 ) cn T = 1s. Il sistema èditip2 k p = lim z 1 G(z) = e p = 0 k v = lim z 1 (1 z 1 )G(z) T = e v = 0 k a = lim z 1 (1 z 1 ) 2 G(z) T 2 = e a = 7.843

128 Silvi Simani - Lezine Errre di psizine 2 Sistema di tip 2 cn ingress a gradin 2 Errre y

129 Silvi Simani - Lezine Errre di velcità 60 Sistema di tip 2 cn ingress a rampa 3 Errre y

130 Silvi Simani - Lezine Errre di accelerazine 1800 Sistema di tip 2 cn ingress a parabla 12 Errre y s s

131 Silvi Simani - Lezine Errri a regime in funzine del tip di sistema Tip di sistema Errre a regime in rispsta a: gradin rampa parabla Tip kp Tip kv Tip ka

132 Silvi Simani - Lezine Lezine 11 Specifiche nel Transitri: Specifiche Frequenziali

133 Silvi Simani - Lezine Specifiche sul transitri Nel cas temp-cntinu, si definiscn le seguenti caratteristiche temprali della rispsta a gradin: Temp di salita T s Temp di assestament T a Temp di ritard T r Massim srpass massima svraelngazine S Istante di massima svraelngazine T m

134 Silvi Simani - Lezine Rispsta di un sistema di secnd rdine S c(t) Ts Tr Tm Ta t

135 Silvi Simani - Lezine G(s) = ω 2 n s 2 +2δωns+ω 2 n jω δω n α ω n jω n 1 δ 2 0 σ Temp da 0 al 100% del V.F.: T 1 = π arccs δ Istante di massim srpass: T m = Temp di assestament: T a = 3 δωn ωn 1 δ 2 π ωn 1 δ 2 (al 5 %), T a = 4 δωn (al 2 %)

136 Silvi Simani - Lezine Massim srpass percentuale: S = 100[c(T m ) 1] =100 e δπ 1 δ S % delta

137 Silvi Simani - Lezine Psizine dei pli

138 Silvi Simani - Lezine Specifiche frequenziali Margine di fase M F : dett φ l argment di G(e jωt ) in crrispndenza della pulsazine ω 0 per la quale G(e jω 0 T ) = 1, il margine di fase M F è il cmplement a π di φ, ciè Tipici valri di specifica sn M F = π φ

139 Silvi Simani - Lezine Margine di ampiezza M A : è l invers del guadagn di anell alla pulsazine ω a cui crrispnde la fase π: dve arg{g(e jω T )} = π M A = 1 G(e jω T ) Valri usuali di specifica per quest parametr sn 4-6 (12-16 db)

140 Silvi Simani - Lezine Lezine 12 Prgett per Discretizzazine del Cntrllre Analgic - I

141 Silvi Simani - Lezine Tre classi di tecniche prgettuali 1. Metd indirett per discretizzazine di un prgett analgic 2. Metd dirett ssia nel dmini discret: - prgett nel pian w (Bde) - prgett cn il lug delle radici - prgett cn metdi analitici 3. Reglatri a struttura fissa (tip PID)

142 Silvi Simani - Lezine Metd indirett x(t) e(t) u a (t) y a (t) D(s) G(s) x(t) e(t) (a) u b (t) y b (t) D(z) H(s) G(s) T il più piccl pssibile!? (b)

143 Silvi Simani - Lezine Tre passi cncettuali 1. Definizine di T e verifica dei margini di stabilità del sistema H 0 (s) = 1 e st s T T 2 s + 1 H 0 (s) e st/2

144 Silvi Simani - Lezine x(t) e(t) D(s) 1 T 2 s+1 u a G(s) 2. Discretizzazine della D(s) 3. Verifica a psteriri (simulativa e sperimentale) del cmprtament dinamic

145 Silvi Simani - Lezine Tecniche di discretizzazine: 1. Metd delle differenze all indietr (Euler all Indietr, EI) 2. Metd delle differenze in avanti (Euler in Avanti, EA) 3. Trasfrmazine bilineare (Tustin, TU) 4. Metd della Z-trasfrmata cn ricstruttre di rdine 0

146 Silvi Simani - Lezine Metd delle differenze all indietr (EI) D(z) =D(s) s= 1 z 1 T Esempi: dy(t) dt + ay(t) =ax(t) Z t 0 dy(t) dt = a dt Z t 0 y(t)dt + a Z t 0 x(t)dt calcland per t = kt, pert =(k 1)T e sttraend si ha y(kt) y((k 1)T) = a R kt (k 1)T y(t)dt +a R kt (k 1)T x(t)dt at [y(kt) x(kt)]

147 Silvi Simani - Lezine Y(z) =z 1 Y(z) at [Y(z) X(z)] Y(z) X(z) = G(z) = at 1 z 1 + at = a 1 z 1 T + a Integrazine all indietr t y(t)

148 Silvi Simani - Lezine Metd delle differenze in avanti (EA) D(z) =D(s) s= z 1 T Esempi Z kt (k 1)T Z kt (k 1)T y(t)dt Ty((k 1)T) x(t)dt Tx((k 1)T) y(kt) =y((k 1)T) at [y((k 1)T) x((k 1)T)] Y(z) X(z) = G(z) = atz 1 1 (1 at)z = a 1 1 z 1 Tz 1 + a

149 Silvi Simani - Lezine Trasfrmazine bilineare (TU) D(z) =D(s) s= 2 T 1 z 1 1+z 1 detta anche integrazine trapezidale ( di di Tustin) Z kt (k 1)T y(t)dt [y(kt) +y((k 1)T)]T 2 Z kt (k 1)T x(t)dt [x(kt) +x((k 1)T)]T 2

150 Silvi Simani - Lezine Relazine frequenziale tra il pian w, ilpianz ed il pian s Pian w jω z = 1+wT/2 1 wt/2 Pian z Im s = 1 T ln z Pian s jω ωs 2 Σ w = 2 z 1 T z Re z = e st ω s 2 σ

151 Silvi Simani - Lezine Metd della Z-trasfrmata h i D(z) =Z L 1 [D(s)] Invarianza della rispsta all impuls Pssibilità di aliasing Da D(s) stabili a D(z) stabili

152 Silvi Simani - Lezine Lezine 13 Prgett per Discretizzazine del Cntrllre Analgic - II

153 Silvi Simani - Lezine Metd della Z-trasfrmata cn ricstruttre di rdine 0 dell invarianza alla rispsta al gradin» Z»D(z) 1 1 = L 1 D(s) 1 1 z 1 s t=kt» D(s) D(z) =(1 z 1 )Z s Pssibilità di aliasing Da D(s) stabili a D(z) stabili " # 1 e st = Z D(s) s

154 Silvi Simani - Lezine Prgett nel pian w Us dei diagrammi di Bde, di Nyquist e di Nichls Definizine di reglatri cn struttura mlt semplice, tipicamente reti crrettrici a ritard e/ anticip Trasfrmazine bilineare Antitrasfrmazine nel pian z cn z = 1 + wt/2 1 wt/2 w = 2 1 z 1 T 1 + z = 2 z 1 1 T z + 1

155 Silvi Simani - Lezine I passi lgici del prgett sn: 1. fissare un perid di campinament T 2. ricavare la funzine di trasferiment G(z) 3. trasfrmare la G(z) csì ttenuta in una G(w) 4. applicare, utilizzand la G(w), una delle tecniche frequenziali nte 5. antitrasfrmare la D(w) csì ttenuta nella D(z) 6. verificare le prestazini ttenute

156 Silvi Simani - Lezine Pian w jω z = 1+wT/2 1 wt/2 Pian z Im s = 1 T ln z Pian s jω ωs 2 Σ w = 2 z 1 T z Re z = e st ω s 2 σ Ω = 2 T tan ωt 2

157 Silvi Simani - Lezine Us dei diagrammi di Bde Si cnsideri per esempi il filtr passa bass G c (s) = 100 s Il crrispndente filtr discret cn T = 0.01 s e cn un ricstruttre di rdine 0 èdatda h i G d (z) = Z H0 100 s+100 h =(1 z 1 )Z 100 s(s+100) i = z

158 Silvi Simani - Lezine Passand al pian w G d (w) = G d (z) z= w w quindi lim G c(jω) = lim ω 0 ω 0 = w 200 w jω = 1 = lim G d(jω) Ω 0 lim G c(jω) = 0 lim G d (jω) = ω Ω Il filtr G d (w) presenta anche un zer al finit in w = 2/T

159 Silvi Simani - Lezine Ampiezze G(jw), G(jW) (db) 0-5 Gd(w) -10 Gc(s) w (W) (rad/s) 0 Fasi -50 Gc(s) gradi -100 Gd(w) w (W) (rad/s) Si nti che cn la trasfrmazine bilineare pssn essere intrdtti zeri a parte reale psitiva

160 Silvi Simani - Lezine Prgett di reglatri che vengn trasfrmati in Si nti che D(z) = 1+wτ 0 1+wτp D(z) = k d(z z 0 ) z z p D(w) = 1 + wτ wτ p w= 2(z 1) T(z+1) T 2τ 0 T+2τ 0 D(z) = T + 2τ z + 0 T + 2τ p z + T 2τ p T+2τp k d = T + 2τ 0 T + 2τ p, z 0 = 2τ 0 T 2τ 0 + T, z p = 2τ p T 2τ p + T

161 Silvi Simani - Lezine Prgett di rete ritardatrice D(w) = 1 + wτ wτ p 1 τ p < 1 τ 0 10 Ampiezze 0 G (db) w (rad/s) 0 Fasi -20 gradi -40 τ 0 = 0.01 s, τ p = 0.1 s w (rad/s)

162 Silvi Simani - Lezine Alle alte frequenze, il valre del guadagn è dat da L sfasament massim (in ritard) è dat da α = τ 0 τ p < 1 Φ m = arcsin 1 α 1 + α e si ttiene per la pulsazine Ω m = 1 = 1 τ0 τ p τ p α Attenuazine alle alte frequenze (effett psitiv), sfasament in ritard (effett negativ)

163 Silvi Simani - Lezine Lezine 14 Prgett di Reti Cmpensatrici - I

164 Silvi Simani - Lezine Prgett di rete ritardatrice D(w) = 1 + wτ wτ p 1 τ p < 1 τ 0 10 Ampiezze 0 G (db) w (rad/s) 0 Fasi -20 gradi -40 τ 0 = 0.01 s, τ p = 0.1 s w (rad/s)

165 Silvi Simani - Lezine Il prgett si articla nei seguenti passi: 1. Dai diagrammi di Bde del sistema G(w), cn guadagn mdificat per sddisfare eventuali specifiche sull errre a regime, si calcla la pulsazine Ω a cui crrispnde un margine di fase pari a quell desiderat (M F ) aumentat di 5 per cmpensare le apprssimazini intrdtte nel prcediment: Ω : Arg[G(jΩ )] = M F Pichè la rete deve far sì che a questa pulsazine il guadagn di anell diventi unitari, si impne che il fattre di attenuazine intrdtt dalla rete crretrice sia τ 0 τ p = α = 1 G(jΩ )

166 Silvi Simani - Lezine Si fissa 1 = 0.1 Ω τ 0 al fine di assicurarsi, cme si è dett, che l sfasament in ritard della rete nn influisca in md apprezzabile alla pulsazine di attraversament 4. Si ricava τ p = τ 0 α

167 Silvi Simani - Lezine Esempi T D(z) 1 e st s G(s) 2 G(s) = s(s + 1)(s + 2) Prgettare una rete digitale ritardatrice D(z) che garantisca al sistema in retrazine un margine di fase M F = 55 T = 0.1 s

168 Silvi Simani - Lezine Effettuand la discretizzazine della G(s), si ttiene h i 2 G(z) = Z H0s(s+1)(s+2) = (z )(z ) (z 1)(z )(z ) e applicand la trasfrmazine bilineare z =( w)/(1 0.05w) si ha G(w) = (w 20)(w )(w 36.23) w(w )(w )

169 Silvi Simani - Lezine Diagrammi di Bde di G(w) (a), di D(w) (b) e del guadagn di anell D(w)G(w) (c) 40 Ampiezze G (db) 20 0 (b) (c) (a) W (rad/s) 0 Fasi gradi (b) (a) (c) W (rad/s)

170 Silvi Simani - Lezine La pulsazine cui crrispnde una fase di = 120 è Ω rad/s a cui crrispnde un guadagn di 1/α = = 8.64db da cui τ 0 = = τ p = = Ω 0 = Ω p =

171 Silvi Simani - Lezine Effettuand l antitrasfrmata D(z) = 0.37(z ) (z ) = 0.37z (z ) Rispsta a gradin del prcess in retrazine e relative variabili di cntrll cn e senza trncament numeric a 3 cifre dei parametri del reglatre 1.6 y ya c u ua (secndi)

172 Silvi Simani - Lezine Nte: Il pl e l zer della rete ritardatrice sn mlt prssimi tra lr ed entrambi nelle vicinanze del punt z = 1 + j0 Il fenmen è peraltr accentuat per T piccl Il reglatre digitale deve essere realizzat cn una ntevle precisine numerica

173 Silvi Simani - Lezine Prgett di rete anticipatrice D(w) = 1 + wτ wτ p 1 τ 0 < 1 τ p 30 Ampiezze 20 G (db) w (rad/sec) 60 Fasi 40 gradi 20 τ p = 0.01 s, w (rad/sec) τ 0 = 0.1 s

174 Silvi Simani - Lezine Il guadagn della rete per alte frequenze è L sfasament massim in anticip è 1 α = τ 0 τ p > 1 Φ m = arcsin 1 α 1 + α ttenut alla pulsazine Ω m = 1 = 1 τ0 τ p τ 0 α Sfasament in anticip (effett psitiv), aument di guadagn (effett negativ)

175 Silvi Simani - Lezine Prgett cn specifica di margine di fase M F : 1. Dai diagrammi di Bde della G(w), nella quale si è cnsiderat il guadagn pprtun per sddisfare le specifiche sull errre a regime, si individua il margine di fase del sistema 2. Si calcla l anticip di fase Φ m necessari per avere un margine di fase pari a quell M F desiderat, maggirat di 5 10 per cmpensare le apprssimazini di prgett 3. Una vlta nt Φ m, si calcla α = 1 sin Φ m 1 +sinφ m

176 Silvi Simani - Lezine Si determina la pulsazine Ω per la quale l ampiezza di G(w) vale α/2. Pichèlarete aumenta il guadagn del sistema alle alte frequenze, si fa crrispndere la nuva pulsazine Ω alla Ω m della rete anticipatrice 5. Dalle due relazini α = τ p, Ω = Ω m = 1 τ 0 τ 0 α si ricavan le due cstanti di temp τ 0,τ p 6. Se le prestazini risultanti nn sn quelle desiderate, si ripete il prcediment fissand Φ m ad un valre superire. Può risultare cnveniente cnsiderare cme valri di Ω m per la rete una pulsazine diversa (slitamente inferire)

177 Silvi Simani - Lezine Esempi T D(z) 1 e st s G(s) 2 G(s) = s(s + 1)(s + 2) Prgettare una rete anticipatrice digitale D(z) che garantisca al sistema in retrazine un margine di fase M F = 55 T = 0.1 s

178 Silvi Simani - Lezine Diagrammi di Bde di G(w) (a), di D(w) (b) e del guadagn di anell D(w)G(w) (c) Ampiezze 20 (b) G (db) 0 20 (c) 40 (a) w (rad/s) Fasi 0 (b) gradi 100 (a) (c) w (rad/s) Margine di fase pari a circa 30, per una pulsazine di 0.75 rad/s

179 Silvi Simani - Lezine Prim tentativ: si prgetta una rete che intrduce un sfasament Φ m = 35. Si ttiene α = 0.271, Ω = 2.16 rad/s τ p = s, τ 0 = s Il margine di fase di D(w)G(w) èdi49 Anche variand Ω m nn si riesce ad ttenere la specifica di fase Si ricmincia cn Φ m = 45 e si ttiene α = , Ω = 2.61 rad/s τ p = s, e un margine di fase cmplessiv di 53 τ 0 = s

180 Silvi Simani - Lezine Ridefinend Ω =2.2 rad/s si ttiene D(w) = w w che frnisce il margine prescritt M F = 55 Antitrasfrmand (z ) D(z) = z Si nta che nel cas della rete anticipatrice nn ci sn prblemi numerici sulla precisine dei parametri

181 Silvi Simani - Lezine Rispsta a gradin del prcess in retrazine e relativa variabile di cntrll 1.6 c y 0 5 u (secnds) 30

182 Silvi Simani - Lezine Prgett cn specifica sul margine di fase: 1. Si cerca la pulsazine Ω + per la quale il sistema nn cmpensat presenta il margine di fase desiderat M F 2. Si calcla l attenuazine che ccrre intrdurre affinchè Ω + diventi la pulsazine di attraversament per il sistema cmpensat 3. Si impne quindi Ω m = 1 τ1 τ 2 = Ω + τ 1 + τ 2 (τ 2 /α + ατ 1 ) = 1 G(jΩ + ) 4. Il grad di libertà residu viene fissat cme prima sulla base di ulteriri specifiche

183 Silvi Simani - Lezine Si pne 1 τ1 τ 2 = Ω m, τ 1 + τ 2 (τ 2 /α + ατ 1 ) = k e si ricavan s τ 2 = 1 α α 2 k Ω m k α, τ 1 = 1 Ω 2 m τ 2 in funzine del terz parametr α

184 Silvi Simani - Lezine Lezine 15 Prgett di Reti Cmpensatrici - I

185 Silvi Simani - Lezine Prgett mediante il lug delle radici Equazine caratteristica del sistema in anell chius 1 + k G 0 (z) =0 k è il parametr di interesse che si fa variare tra 0 e + Slitamente k rappresenta il guadagn

186 Silvi Simani - Lezine Prgett 1 Nell anell digitale sia 0.1 G(s) = s(s + 0.1) cn T = 1s. Per cui z G(z) = (z 1)(z ) Le specifiche di prgett sul sistema in catena chiusa sn: S% 16, T a 6s, k v = 1

187 Silvi Simani - Lezine Dalla specifica sul srpass si ha δ = 0.5. Assumend D(z) = k, l equazine caratteristica diventa z k (z 1)(z ) = 0 Lug delle radici x x x + x

188 Silvi Simani - Lezine Nel cas temp cntinu, le specifiche su S% e T a implican che la cppia di pli dminanti del sistema in anell chius sia s = 0.5 ± j0.867 (δ = 0.5, ω n = 1) e nel cas temp discret effettuand la trasfrmazine z = e st z = ± j0.462 Nel pian z i pli del sistema in retrazine devn essere: - interni al cerchi di raggi r = e δωn = entr la zna delimitata dal lug a spirale lgaritmica per δ = 0.5 Nn sn sddisfatte le specifiche su S% esut a Per K > 2 il sistema è instabile

189 Silvi Simani - Lezine Si intrduce un reglatre dinamic D(z) =k z z 0 z z p Prim tentativ: z 0 cancella il pl z = e si fissa il pl del reglatre a sinistra, per Lug delle radici esempi z p = x 0 x x x x (a)

190 Silvi Simani - Lezine I pli si psizinan in z = ± j per cui δ = 0.21 e quindi nn è sddisfatta la specifica sul transitri

191 Silvi Simani - Lezine Nuv tentativ: z 0 = 0.88 in md che in questa zna l svilupp del lug delle radici all estern dell asse reale sia mdest, e il pl in z = 0.5 Lug delle radici x 0 x + x x x (b)

192 Silvi Simani - Lezine Se si sceglie k =13per cui z = ± j0.3035, z = Il reglatre finale è D(z) =13 z 0.88 z + 0.5

193 Silvi Simani - Lezine Verifica simulativa 1.2 y r 0 1 u (secndi) 15

194 Silvi Simani - Lezine Lezine 16 Reglatri Standard PID Digitali - I

195 Silvi Simani - Lezine Reglatri standard Struttura fissa tip PID Tuning dei parametri Scelta del perid di campinament T Discretizzazine algritmi analgici ed inltre... Tuning autmatic dei parametri

196 Silvi Simani - Lezine Discretizzazine del classic reglatre PID analgic U(s) =K p «T i s + T ds E(s) Usand l integrazine rettanglare - Frma di psizine: u n = K p " e n + T T i nx k=0 e k + T d T (e n e n 1 ) # + M R - Frma di velcità: [ Δu n = K p e n e n 1 + T e n + T ] d T i T (e n 2e n 1 + e n 2 )

197 Silvi Simani - Lezine Una frma di algritm particlarmente utilizzata in pratica Termine derivativ: T d s 1 + T d s/n Parte integrale: differenza in avanti Parte derivativa: differenza all indietr D PID (z) = K p h1 + T T i (z 1) + + T d T+T d /N N tra 3 e 10 i z 1 [z T d /(NT+T d )]

198 Silvi Simani - Lezine Tuning dei parametri Due categrie di criteri a) Quelli che utilizzan alcuni punti caratteristici della rispsta y(t) per imprre l andament transitri desiderat. b) Criteri di tip integrale ISE = R 0 [e(t)]2 dt IAE = R 0 e(t) dt ITAE = R 0 t e(t) dt

199 Silvi Simani - Lezine Nel cas analgic Cntrllre Ziegler-Nichls Chen-Cn 3C P KK p =(θ/τ) 1 KK p =(θ/τ) KK p =1.208(θ/τ) PI KK p =0.9(θ/τ) 1 KK p =0.9(θ/τ) KK p =0.928(θ/τ) T i /τ =3.33(θ/τ) T i /τ = 3.33(θ/τ)[1+(θ/τ)/11] 1+2.2(θ/τ) T i /τ =0.928(θ/τ) PID KK p =1.2(θ/τ) 1 KK p =1.35(θ/τ) KK p =1.37(θ/τ) 0.95 T i /τ =2(θ/τ) T i /τ = 2.5(θ/τ)[1+(θ/τ)/5] 1+0.6(θ/τ) T i /τ =0.74(θ/τ) T d /τ =0.5(θ/τ) T d /τ = 0.37(θ/τ) 1+0.2(θ/τ) T d /τ =0.365(θ/τ) 0.95

200 Silvi Simani - Lezine Mdell del sistema G p (s) =K e θs 1 + τs Apprssimazine del campinatre e del ricstruttre di rdine zer cn un ritard pari a T/2 KK p θ = θ + T 2 θ τ T i τ T d τ e quindi si ricavan K p, T i e T d

201 Silvi Simani - Lezine Esempi. Sistema da cntrllare: G(s) = 1 (0.5s+ 1)(s + 1) 2 (2s+ 1) Mdell (K = 1, θ = 1.46 s, τ = 3.34 s) G m (s) = e 1.46s s Prgettare un reglatre PID in crrispndenza a δ = 0.25 Sia T = 0.3s

202 Silvi Simani - Lezine θ = θ + T/2 = = 1.61 θ /τ = Dalla tabella di Ziegler-Nichls si ha KK p = da cui si ttengn i parametri T i τ = T d τ = K p = T i = τ = 3.22 T d = 0.241τ = 0.805

203 Silvi Simani - Lezine Mediante discretizzazine rettanglare D PID (z) =K p»1 + T T i (1 z 1 ) + T d T (1 z 1 ) 1.4 y(t) v(t) 0 3 u(t) -1 0 (secndi) 20

204 Silvi Simani - Lezine Lezine 17 Reglatri Standard PID Digitali - II

205 Silvi Simani - Lezine Tuning autmatic Un semplice metd è quell basat sulla stima del guadagn critic K c scillazine critica P c = 2π ωc e del perid di 1/Kc Wc

206 Silvi Simani - Lezine Stimati K c e P c, si usa la tabella di Ziegler Nichls Tip K p T i T d P 0.5K c 0 PI 0.45K c P c /1.2 0 PID 0.6K c 0.5P c 0.125P c

207 Silvi Simani - Lezine Schema per il tuning autmatic PID v e a y b Plant Dalla teria della funzine descrittiva, segue K c = 4d πa cn d ampiezza della funzine a relè, e A ampiezza dell uscita sinusidale y

208 Silvi Simani - Lezine Lezine 18 Cnsiderazini Cnclusive

209 Silvi Simani - Lezine Cnsiderazini riassuntive sulla scelta del perid di campinament C P T C: Cst P: Prestazine T: Temp di campinament

210 Silvi Simani - Lezine Prestazini - reiezine dei disturbi - inseguiment del set-pint - energia di cntrll - ritardi e stabilità - rbustezza alle variazini parametriche Cst - sfruttament della capacità elabrativa - velcità di cnversine - velcità di elabrazine - precisine nella memrizzazine dei parametri e delle variabili

211 Silvi Simani - Lezine Gli effetti di T sulle prestazini - gli effetti di destabilizzazine crescn al crescere di T; - la perdita di infrmazine sui segnali cresce al crescere di T; - l accuratezza dell algritm, ttenut per discretizzazine, cresce al diminuire di T; - gli effetti di quantizzazine crescn al diminuire di T. La miglir scelta è il valre di T più elevat che garantisca tutte le specifiche prestazinali fissate