Sistemi di Controllo Digitale

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1 Silvi Simani - Lezine lezine Intrduzine Silvi Simani - Lezine 2 PROCESSO: Un insieme di perazini di trasfrmazini che devn avvenire in sequenza pprtuna in un impiant in un sistema fisic CONTROLLO DEI PROCESSI: Insieme di metdlgie, tecniche e tecnlgie rientate alla cnduzine autmatizzata di impianti industriali

2 Silvi Simani - Lezine 3 SISTEMI DI CONTROLLO DIGITALE: Sistemi di cntrll in retrazine in cui è presente un calclatre digitale e quindi una elabrazine a temp discret della legge di cntrll Silvi Simani - Lezine 4 SCHEMA TIPICO DI UN SISTEMA DI CONTROLLO ANALOGICO Reglatre r e Rete crretrice m Sistema Amplificatre Attuatre c cntrllat y Trasduttre di misura

3 Silvi Simani - Lezine 5 SCHEMI TIPICI DI UN SISTEMA DI CONTROLLO DIGITALE () Calcl. A/D temp discret digitale Clck (T) D/A Attuat. Prc. Trasduttre Silvi Simani - Lezine 7 CONTROLLO DIGITALE / CONTROLLO ANALOGICO : + Maggire capacità e precisine di elabrazine + Maggire flessibilità + Maggire affidabilità e ripetibilità + Maggire trasmissibilità deisegnali - Prgettazine più difficile e articlata - Stabilizzabilità più precaria - Pssibilità di arresti nn previsti - Necessità di utilizzare energia elettrica

4 Silvi Simani - Lezine 8 DISPOSITIVI DI INTERFACCIA A/D, cnvertitre Analgic/Digitale x(t) A/D x(kt) x(t) x(kt) Cn campinament mdellat ad impulsi di Dirac: x(t) A/D x(kt) x(t) δ T x(kt)δ(t kt) Silvi Simani - Lezine 9 D/A, cnvertitre Digitale/Analgic x(kt) D/A x r (t) Mdell: x(kt) x(kt)δ(t kt) x r (t) G r (s) Cas dell Hld: G r (s) = e st s

5 Silvi Simani - Lezine ANELLO DI CONTROLLO DIGITALE Parte temp cntinua: prcess/impiant Parte temp discreta: sistema di cntrll Campinament reglare di perid T Trasfrmata Zeta Silvi Simani - Lezine2 lezine 2 Mdelli per Sistemi a Temp Discret

6 Silvi Simani - Lezine2 2 Equazine alle differenze: Se f( ) è lineare: u k = f(e, e,...,e k ; u, u,...,u k ) u k = a u k... a n u k n + b e k b m e k m Esempi: u k = a u k a 2 u k 2 + b e k Silvi Simani - Lezine2 3 Sluzine di equazini alle differenze a cefficienti cstanti u = u =. u k = u k + u k 2 k u(k)

7 Z-trasfrmata- Intrduzine Silvi Simani - Lezine2 6 Sia data una sequenza di valri x k R, definita per k =,, 2,... e nulla per k <. La Z-trasfrmata (unilatera) della sequenza x k è la funzine di variabile cmplessa z definita cme X(z) =Z[x k ] = x + x z + + x k z k + = P k= x kz k Nel cas in cui la sequenza di valri x k sia ttenuta campinand unifrmemente cn perid T un segnale cntinu descritt dalla funzine x(t), t, siavràchex k = x(kt): X(z) = X x(k)z k k=

8 Silvi Simani - Lezine2 7 L espressine estesa X(z) =x() +x(t) z + x(2t) z x(kt) z k + implica la specificazine del parametr perid di campinament T, da cui dipendn i valri dei campini della sequenza, ciè i cefficienti della serie. Si usa: intendend: X(z) =Z[X(s)] hn X(z) =Z L [X(s)] t=kt i Silvi Simani - Lezine2 8 Nelle applicazini ingegneristiche la funzine X(z) assume in generale una espressine razinale fratta del tip X(z) = b z m + b z m + + b m z n + a z n + + a n che si può esprimere anche in ptenze di z : X(z) = zn (b z (n m) + b z (n m+) + + b m z n ) z n ( + a z + + a n z n ) = b z (n m) + b z (n m+) + + b m z n + a z + + a n z n Esempi: X(z) = z(z +.5) (z + )(z + 2) = +.5z ( + z )( + 2z )

9 Silvi Simani - Lezine2 9 Impuls discret unitari, detta anche funzine di Krnecker δ (t): da cui: x(t) = j t = t X(z) = Z[x(t)] = X x(kt)z k k= = + z + z 2 + z 3 + = Silvi Simani - Lezine2 2 Gradin unitari: Sia data la funzine gradin unitari x(t) =h(t) = j t t < La funzine h(k) definita cme j k =,, 2,... h(k) = k < è detta sequenza unitaria. Si ha che H(z) = Z[h(t)] = X h(kt)z k = k= = + z + z 2 + z 3 + = z = z z X k= z k La serie è cnvergente per z >.

10 Silvi Simani - Lezine2 2 Rampa unitaria. Si cnsideri la funzine rampa unitaria: x(t) = j t t t < Pichè x(kt) =kt, k =,, 2,...,laZ-trasfrmata è cnvergente per z >. X(z) = Z[t] = X x(kt)z k = T k= X k= = T(z + 2z 2 + 3z 3 + ) = Tz ( + 2z + 3z 2 + ) = T z ( z ) 2 = T z (z ) 2 kz k Silvi Simani - Lezine2 22 Funzine ptenza a k. Sia data la funzine j a k k =,, 2,... x(k) = k < cn a cstante reale cmplessa. Dalla definizine di Z-trasfrmata si ha che h X(z) = Z a ki = X x(k)z k = k= X a k z k k= = + az + a 2 z 2 + a 3 z 3 + = az = z z a Questa serie gemetrica cnverge per z > a.

11 Silvi Simani - Lezine2 23 Funzine espnenziale. Sia data la funzine j e at t x(t) = t < dve a è una cstante reale cmplessa. Pichè x(kt) =e akt, k =,, 2,...,siha h X(z) = Z e ati = X e akt z k k= = + e at z + e 2aT z 2 + e 3aT z 3 + = e at z = z z e at che cnverge per z > e Re(a)T.Sintichepera = si ha il gradin unitari. Silvi Simani - Lezine3 24 lezine 3 Trasfrmata Z

12 Silvi Simani - Lezine3 25 Esempi: X(s) = s(s+) Calclare X(z) =Z[X(s)] Prima tecnica: x(t) = e t h X(z) = Z e ti = = z e T z ( e T )z ( z )( e T z ) = ( e T )z (z )(z e T ) Secnda tecnica: X(s) = s(s + ) = s + s X(z) = z e T z Silvi Simani - Lezine3 26 La Z trasfrmata X(z) e la sua sequenza crrispndente x(k) sn legate da una crrispndenza univca Quest nn avviene in genere tra la Z-trasfrmata X(z) e la sua inversa x(t) Data una X(z) si pssn in genere avere mlte x(t) Questa ambiguità nn sussiste se sn verificate le cndizini restrittive su T dettate dal Terema di Shannn

13 Silvi Simani - Lezine3 27 Diverse funzini temp cntinu pssn avere gli stessi valri x(k) y, y t (s) Silvi Simani - Lezine3 28 PROPRIETÀ E TEOREMI DELLA Z-TRASFORMATA Linearità: x(k) =af(k) +bg(k) X(z) =af(z) +bg(z) Mltiplicazine per a k.siax(z) la Z-trasfrmata di x(t), a una cstante. h i Z a k x(k) = X(a z) h i Z a k x(k) X = a k x(k)z k = k= = X(a z) X x(k)(a z) k k=

14 Silvi Simani - Lezine3 29 Terema della traslazine nel temp. n =, 2,..., allra Se x(t) =, t <, X(z) = Z[x(t)], e Z[x(t nt)] = z n X(z) # Xn Z[x(t + nt)] = z "X(z) n x(kt)z k k= (ritard) ( anticip) Operativamente: ecsìvia. z x(k) =x(k ) z 2 x(k) =x(k 2) zx(k) =x(k + ) Silvi Simani - Lezine3 3 Cas di ritard: Z[x(t nt)] = X x(kt nt)z k k= X = z n x(kt nt)z (k n) k= da cui, pnend m = k n, Z[x(t nt)] = z n X m= n Pichè x(mt) = per m <, allra si può scrivere che Z[x(t nt)] = z n X m= x(mt)z m x(mt)z m = z n X(z)

15 Silvi Simani - Lezine3 3 Cas dell anticip: Z[x(t + nt)] = = X x(kt + nt)z k = z n X k= k= x(kt + nt)z (k+n) " X Xn = z n x(kt + nt)z (k+n) + x(kt)z k k= k= # Xn x(kt)z k k= " # X Xn = z n x(kt)z k x(kt)z k k= k= # Xn = z "X(z) n x(kt)z k k= Silvi Simani - Lezine3 32 Terema del valre iniziale. Se X(z) èlaz-trasfrmata di x(t) eseesisteillim z X(z), allra il valre iniziale x() di x(t) è dat da: x() = lim z X(z) Infatti,sintiche X(z) = X x(k)z k = x() +x()z + x(2)z 2 + k=

16 Silvi Simani - Lezine3 33 Terema del valre finale. Sian tutti i pli di X(z) all intern del cerchi unitari, cn al più un pl semplice per z =. Infatti lim k X x(k)z k k= h i x(k) = lim ( z )X(z) z X x(k )z k = X(z) z X(z) k= lim z ˆP k= x(k)z k P k= x(k )z k = = X [x(k) x(k )] k= = [x() x( )] + [x() x()] + [x(2) x()] + = lim k x(k) Silvi Simani - Lezine3 34 Esempi: Si cnsideri il segnale descritt da X(z) = Tz(z + ) 2(z.5)(z ) Il valre finale della sequenza x(kt) è quindi dat da lim x(kt) = lim ( Tz(z + ) k z z ) 2(z.5)(z ) = lim z T(z + ) 2(z.5) = 2T

17 Silvi Simani - Lezine4 36 Lezine 4 Antitrasfrmata Z Silvi Simani - Lezine4 37 L ANTITRASFORMATA Z Permette di passare da una Z-trasfrmata X(z) alla crrispndente sequenza x k e pssibilmente alla funzine cntinua x(t) cui crrispnde per campinament la sequenza x k. X(z) x(k) x(t) biunivca nn biunivca Se è sddisfatt il Terema di Shannn sul campinament, la funzine cntinua x(t) può essere univcamente determinata a partire dalla sequenza x k.

18 Silvi Simani - Lezine4 38 Diversi metdi per antitrasfrmare una funzine X(z): ) Metd della lunga divisine; 2) Metd cmputazinale; 3) Metd della scmpsizine in fratti semplici; 4) Metd dell integrale di inversine. Silvi Simani - Lezine4 39 Metd della scmpsizine in fratti semplici Cas. Se tutti i pli sn semplici, si pne X(z) = b z m + b z m + + b m z + b m (z p )(z p 2 ) (z p n ) X(z) = c + c c n = z p z p 2 z p n nx i= c i z p i dve i cefficienti c i, detti residui, sn parametri che vengn calclati cme: c i =[(z p i )X(z)] z=pi

19 Silvi Simani - Lezine4 4 Se nella espressine di X(z) cmpare almen un zer nell rigine, si utilizza la funzine X(z)/z e quindi X(z) z = c + + c» n c i = (z p i ) X(z) z p z p n z z=p i Quand sn presenti pli cmplessi cniugati, i cefficienti c i sn anch essi cmplessi. In quest cas si ricrre alle frmule di Euler per ttenere funzini trignmetriche. L espressine finale cercata è quindi nx x(k) = c i p k i i= Silvi Simani - Lezine5 43 Lezine 5 Il Prblema del Campinament

20 Silvi Simani - Lezine5 44 I sistemi in retrazine cn cntrll digitale sn caratterizzati da una parte cntinua (il prcess da cntrllare) e una parte discreta (il cntrllre digitale) Sn quindi presenti sia variabili a temp discret sia variabili a temp cntinu I dispsitivi di interfaccia sn il campinatre e il ricstruttre Silvi Simani - Lezine5 45 e(t) e(kt) x(kt) x r (t) Cntrllre Ricstruttre T Ricstruttre di rdine zer: x r (t) = X x(kt)[h(t kt) h(t (k + )T)] k= X r (s) = P k= x(kt) h i e kts e (k+)ts s = e Ts s P k= x(kt)e kts

21 Silvi Simani - Lezine5 46 H (s) = e Ts s x (t) =L ˆX (s) = X (s) = X x(kt)e kts k= X x(kt)δ(t kt) k= δ T (t) = X δ(t kt) k= δ T (t) T 2T 3T 4T 5T t x(t) X(s) δ T (t) x (t) X (s) x(t) X(s) δ T (t) x (t) X (s) Silvi Simani - Lezine5 47 Il campinatre impulsiv è un mdell ideale del campinatre reale (cnvertitre A/D) cnsiderat adeguat alle esigenze di analisi e prgett dei cntrlli digitali L uscita del ricstruttre di rdine zer vale: X r (s) =H (s) X (s) = e Ts s X (s) x(t) x(kt) x r (t) Hld T δ T x(t) x (t) x r (t) e Ts s

22 Silvi Simani - Lezine5 48 X (s) = X x(kt)e kts k= z = e st s = T ln z X (s) s= = X x(kt) z k ln z T La trasfrmata zeta della sequenza x(kt) anzichè la trasfrmata di Laplace del segnale x (t) permette di perare cn funzini razinali fratte. k= Silvi Simani - Lezine5 49 x (t) = x(t) δ T (t) =x(t) P n= δ(t nt) δ T (t) = P n= c n e jnω st ne segue c n = T R T δ T(t) e jnω st dt = T x (t) = x(t) T P n= ejnω st = T P n= x(t) ejnω st

23 Silvi Simani - Lezine5 5 X (s) = X h i L x(t) e jnω st = X X(s jnω s ) T T n= n= A men della cstante mltiplicativa /T, la trasfrmata di Laplace X (s) del segnale campinat si ttiene dalla smma degli infiniti termini, X(s jnω s ), ciascun dei quali si ttiene dalla X(s) mediante traslazine di jnω s nel camp cmpless. L andament spettrale del segnale campinat vale: X (jω) = T X n= X(jω jnω s ) Silvi Simani - Lezine5 5 3ωs 2 X(jω) ω c ω c ω X (jω) T ω s ωs 3ωs ωs ω s ω c ω s 2ωs La cndizine ω s > 2ω c mantiene distint l spettr riginari dalle cmpnenti cmplementari per cui, mediante filtraggi, è pssibile ricstruire cmpletamente il segnale x(t) ω

24 Silvi Simani - Lezine5 52 Nel cas in cui la cndizine ω s > 2ω c nn è rispettata: X (jω) 2ω s ω s ω s 2ωs T L spettr riginari è parzialmente svrappst alle cmpnenti cmplementari cntigue per cui mediante filtraggi nn è più pssibile ricavare il segnale riginari a partire dal segnale campinat Silvi Simani - Lezine5 53 Terema di Shannn Sia ω s = 2π T la pulsazine di campinament (T è il perid di campinament), e sia ω c la più alta cmpnente spettrale del segnale temp-cntinu x(t). Ilsegnalex(t) è cmpletamente ricstruibile a partire dal segnale campinat x (t) seeslselapulsazineω s è maggire del dppi della pulsazine ω c : ω s > 2ω c Ricstruzine mediante filtr ideale G I (jω) G I (jω) = ( T ωs 2 ω ω s 2 altrve T ω s 2 ωs 2

25 Silvi Simani - Lezine5 54 Aliasing: Cn il termine aliasing si indica quel fenmen per il quale, mediante campinament, si generan delle nuve cmpnenti spettrali (armniche) alla stessa frequenza della cmpnente spettrale di partenza che impediscn la crretta ricstruzine del segnale di partenza. Si può avere aliasing sl nel cas in cui la cndizine ω s > 2ω c del terema di Shannn nn sia verificata Silvi Simani - Lezine5 55 Per evitare fenmeni di aliasing si deve prvvedere ad intrdurre un pprtun filtraggi passa-bass prima del campinatre.

26 Silvi Simani - Lezine6 56 Lezine 6 Ricstruttri di Segnale - Relazine tra Pian s e Pian z Silvi Simani - Lezine6 58 Ricstruttre di rdine zer x (t) =x(kt) kt t < (k + )T g (t) H (s) = e st s T

27 Silvi Simani - Lezine6 59 La rispsta frequenziale del ricstruttre di rdine zer: H (jω)= e jωt jω = 2e jωt/2 ω e jωt/2 e jωt/2 2j = T sin(ωt/2) ωt/2 e jωt/2 Mdul Fase H (jω) = T sin(ωt/2) ωt/2 Arg [H (jω)] = Arg» sin ωt 2 ωt 2 Silvi Simani - Lezine6 6 Ricstruttre di rdine zer Scala lineare Scala lgaritmica H(jW) /T.5 H(jW) /T (db) -2-4 Fase (deg) W/Ws W/Ws Fase (deg) -6 - W/Ws W/Ws

28 Silvi Simani - Lezine H (jω) Te jωt/2 Cmprtament in Frequenza del Ricstruttre Reale Spettr del segnale campinat Spettr del segnale a temp cntinu Spettr del segnale campinat cn ricstruttre ideale r(t) + _ Impiant Spettr del ricstruttre ideale Spettri del ricstruttre reale Si sservi che il ricstruttre reale quand inserit in un sistema in retrazine prvchi un ritard nel segnale retrazinat pari a T/2, vver un sfasament di T/2. Tale ritard (sfasament) può peggirare il margine di fase M f, e prtare all instabilità del sistema.

29 Silvi Simani - Lezine6 62 Crrispndenza tra pian s e pian z X (s) =X(z) z=e st Le variabili cmplesse s e z sn legate dalla relazine Pst s = σ + jω si ha z = e st z = e T(σ+jω) = e Tσ e jtω = e Tσ e jt(ω+2kπ T ) Ogni punt del pian z è in crrispndenza cn infiniti punti del pian s Silvi Simani - Lezine6 63 I punti del pian s a parte reale negativa (σ <) sn in crrispndenza cn i punti del pian z all intern del cerchi unitari: z = e Tσ < I punti sull asse immaginari (σ = ) vengn mappati sul cerchi unitari ( z = ), mentre quelli a parte reale psitiva (σ > ) vengn mappati all estern del cerchi unitari ( z > ). La striscia di pian s delimitata dalle rette rizzntali s = jω s /2 e s = jω s /2 prende il nme di striscia primaria

30 Silvi Simani - Lezine7 66 Le variabili cmplesse s e z sn legate dalla relazine z = e st Pst s = σ + jω si ha dve z = e T(σ+jω) = e Tσ e jtω ω ω s 2 = π T

31 j( s ) In generale, la relazine tra s e z è una trasfrmazine nn biunivca ( più a ) j( s ) j j( s ) j( s ) j( s ) j( s ) Se la relazine viene ristretta alla fascia primaria, diventa una trasfrmazine biunivca (-) j j( s ) j( s ) Una unica e sla funzine temp cntinua crrispnde ai valri di x(k)

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33 Silvi Simani - Lezine7 69 Lug dei punti a cefficiente di smrzament cstante δ = δ δ s = ω tan β + jω = ω + jω δ 2 β =arcsinδ jws/2 pian s pian z - -jws/2 z = e st = e ( ω tan β+jω)t = e ϕ tan β e jϕ ϕ = ωt Silvi Simani - Lezine7 7 Lughi a cefficiente di smrzament δ cstante jws/2 pian z pian s - jws/2

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35 Silvi Simani - Lezine8 74 Funzine di trasferiment discreta y(kt) = X g(kt ht)x(ht) h= X(z) G(z) Y(z) X(z) =Z[x(kT)] = Y(z) =G(z) Silvi Simani - Lezine8 75 Funzine di Rispsta Armnica Discreta G(e jωt ), ω π T G(e j(ω+kωs)t )=G(e jωt ), G(e j( ω)t )=G (e jωt ) La rispsta di un sistema G(z) asintticamente stabile ad un ingress sinusidale sin(ωkt) di ampiezza unitaria è, a regime, una sinuside A sin(ωkt + ϕ) la cui ampiezza A è data dal mdul del vettre G(e jωt ), e la cui fase ϕ è data dalla fase del vettre G(e jωt ): A = G(e jωt ) ϕ = Arg[G(e jωt )]

36 Silvi Simani - Lezine8 76 z sin ωt X(z) = Z[sin(ωt)] = = 2j z z e jωt z 2 (2 cs ωt)z+ z z e jωt Y(z) = G(z) X(z) = Y (z) + G(ejωT ) 2j e j(ωt+ϕ) z z e jωt e j(ωt+ϕ) z z e jωt smma di un termine transitri Y (z) che si annulla asintticamante, crrispndente ai pli stabili di G(z), e un termine sinusidale di ampiezza G(e jωt ) efaseϕ = Arg[G(e jωt )]. Silvi Simani - Lezine9 77 Lezine 9 Stabilità per Sistemi a Temp Discret

37 Silvi Simani - Lezine9 78 Stabilità dei sistemi discreti Y(z) U(z) = G(z) =B(z) A(z) Stabilità semplice Stabilità asinttica Stabilità ingress limitat - uscita limitata Silvi Simani - Lezine9 79 Il cmprtament dinamic di un sistema G(z) = B(z) A(z) dipende dai pli di G(z), ciè dalle radici del plinmi A(z). Esempi G(z) = 4z + az = 4 z + a in rispsta a u() =, u(k) =, k > ; in crrispndenza ai valri a =.75, a =.75, a =.25, a =.25, a =, a =

38 Silvi Simani - Lezine9 8 Y(z)( + az )=4z U(z) y(k) = ay(k ) +4u(k ) y() = y() = 4u() =4 y(2) = ay() +4u() = 4a y(3) = ay(2) +4u(2) =4a 2 y(4) = ay(3) +4u(3) = 4a 3 y(5) = ay(4) +4u(4) =4a 4... y(k) = ay(k ) +4u(k ) =4( a) k Silvi Simani - Lezine9 (a) Pl in.75 8 pl in z=.75 (b) Pl in -.75 pl in z=-.75

39 Silvi Simani - Lezine9 (c) Pl in pl in z=.25 (d) Pl in -.25 pl in z=-.25 Silvi Simani - Lezine9 (e) Pl in 83 pl in z= (f) Pl in - pl in z=-

40 Silvi Simani - Lezine9 84 R(z) G(z) C(z) (a) R(s) R(z) G(z) D(z) SH G(s) T - T T C(s) C(z) (b) G (z) = D(z)G(z) + D(z)G(z) /bis R(s) G (s) C(s) G (s)

41 /ter R(z) G (z) C(z) G (z) Silvi Simani - Lezine9 85 Sia dat un sistema descritt da G(z) = B(z) A(z) ppure G (z) = D(z)G(z) + D(z)G(z) Il sistema è asintticamente stabile se e sl se tutte le radici del plinmi A(z) ( del plinmi + D(z)G(z)), ciè i pli del sistema, sn entr il cerchi di raggi unitari cn centr nell rigine del pian z ssia p i <, i. Il sistema è stabile se tutti i pli a mdul unitari p i = sn pli semplici (la lr mlteplicità è ), mentre tutti i rimanenti pli sn entr il cerchi unitari.

42 Silvi Simani - Lezine 86 Lezine Stabilità - Lug delle radici Silvi Simani - Lezine 87 Il Criteri di Nyquist permette di decidere circa la stabilità di sistemi in retrazine analizzand il cmprtament frequenziale della rispsta armnica di anell in rapprt al punt critic ( + j) G(e jωt ), π T ω π T

43 Silvi Simani - Lezine 88 Se la G(z) è di tip, allra il diagramma relativ è una curva chiusa; se è di tip 2, allra si ha una curva aperta, che viene chiusa cn una circnferenza semicircnferenza all infinit percrsa in sens rari 2 Diagramma di Nyquist 2 Diagramma di Nyquist Im Im Re Re Silvi Simani - Lezine 89 Criteri di Nyquist I Sia data una funzine di guadagn d anell G(z) cn tutti i pli stabili (a mdul minre di un), cn l eventuale eccezine di un pl semplice dppi in z =. Cndizine necessaria e sufficiente perchè il sistema in retrazine sia asintticamente stabile è che il diagramma plare cmplet della funzine G(e jωt ) tracciat per π/t ω π/t nn circndi nè tcchi il punt critic + j

44 Silvi Simani - Lezine 9 Esempi: G(z) = z (z )(z.5) Diagramma di Nyquist 4 3 k =.3 k G(z) Im 2 k = Re Si ha stabilità per il sistema in retrazine cn k =.3 ed instabilità cnk = 5.4 Silvi Simani - Lezine 9 Esempi G(s) = 2 s(s + 2).2 Diagramma di Nyquist G(s) G(s) Im Re Il sistema è stabile

45 Silvi Simani - Lezine 92 Si desidera ra studiare la stabilità del sistema in retrazine cn campinament di perid T e ricstruttre di rdine zer i h e G(z) = Z[H (s)g(s)] = Z st = (2T +e 2T )z+( e 2T 2Te 2T ) 2(z )(z e 2T ) s 2 s(s+2) Diagramma di Nyquist.5 H G(s) Im -.5 T = 2 G(s) - T = -.5 T = Re Silvi Simani - Lezine 94 Lug delle radici È il lug descritt dagli zeri di una funzine F(s) = + kg(s) = + k B(s) A(s) al variare del parametr k nell intervall [, + ] Per il tracciament del lug valgn le stesse regle del cas cntinu Cambia l interpretazine dei risultati che si ttengn

46 Silvi Simani - Lezine 95 Esempi. Dat il seguente sistema in catena aperta cn due pli in z,2 =.5 ± j.6: z +.6 G(z) =k z 2 z +.6 Per il sistema in retrazine unitaria 2.5 k = x -.5 x Silvi Simani - Lezine 96 Lezine Errri a Regime

47 Silvi Simani - Lezine 97 Specifiche di prgett di sistemi di cntrll Specifiche che il sistema deve sddisfare, in cndizini statiche ( di regime) e durante i transitri: - Precisine a regime: ci si riferisce cn questa alla capacità di un sistema di seguire alcuni segnali di riferiment cn il minim errre - Rispsta nel transitri: ci si riferisce all andament per tempi finiti dell uscita del sistema in retrazine in rispsta a segnali tipici in ingress Silvi Simani - Lezine 98 - Stabilità relativa: ci si riferisce ai margini di stabilità - Sensitività parametrica: ci si riferisce al fatt che le prestazini del sistema nn vengan alterate dalle variazini di certi parametri - Reiezine di disturbi: ciè la capacità del sistema cntrllat di ridurre al minim l influenza sull uscita di eventuali disturbi che entran nell anell di cntrll - Sfrz di cntrll: ci si riferisce all ampiezza massima della variabile maniplabile v(t), sull energia entrante nel sistema

48 Silvi Simani - Lezine 99 Errri a regime (cas cntinu) R(s) E(s) D(s) G(s) C(s) G(s) = K( + q s)( + q 2 s)...( + q m s) s N ( + p s)( + p 2 s)...( + p p s) Silvi Simani - Lezine Errri a regime (cas discret) Nel cas discret la crrispndente definizine di tip si riferisce al numer di pli nel punt z = HP(z) R(z) E(z) C(z) D(z) Hld P(s) -» P(s) G(z) =D(z)HP(z) =D(z)( z )Z s E(z) = + G(z) R(z)

49 Silvi Simani - Lezine Assumend che il sistema sia stabile, l errre a regime può essere calclat mediante il terema del valre finale: e reg = lim k e(k) = lim z ˆ( z )E(z) = lim z h( z ) +G(z) R(z) i = lim z h z z i +G(z) R(z) Silvi Simani - Lezine2 7 Lezine 2 Specifiche nel Transitri: Specifiche Frequenziali

50 Silvi Simani - Lezine2 8 Specifiche sul transitri Nel cas temp-cntinu, si definiscn le seguenti caratteristiche temprali della rispsta a gradin: Temp di salita T s Temp di assestament T a Temp di ritard T r Massim srpass massima svraelngazine S Istante di massima svraelngazine T m Silvi Simani - Lezine2 9 Rispsta di un sistema di secnd rdine S.5 c(t) Ts Tr Tm Ta t

51 Silvi Simani - Lezine2 G(s) = ω 2 n s 2 +2δωns+ω 2 n δω n jω α ω n jω n δ 2 σ Temp da al % del V.F.: T = π arccs δ Istante di massim srpass: T m = Temp di assestament: T a = 3 δωn ωn δ 2 π ωn δ 2 (al 5 %), T a = 4 δωn (al 2 %) Silvi Simani - Lezine2 Massim srpass percentuale: S = [c(t m ) ] = e δπ δ S % delta

52 Silvi Simani - Lezine2 2 Specifiche frequenziali Margine di fase M F : dett φ l argment di G(e jωt ) in crrispndenza della pulsazine ω per la quale G(e jω T ) =, il margine di fase M F è il cmplement a π di φ, ciè Tipici valri di specifica sn 45 6 M F = π φ Silvi Simani - Lezine2 3 Margine di ampiezza M A : è l invers del guadagn di anell alla pulsazine ω a cui crrispnde la fase π: M A = G(e jω T ) dve arg{g(e jω T )} = π Valri usuali di specifica per quest parametr sn 4-6 (2-6 db)

53 Silvi Simani - Lezine3 4 Lezine 3 Prgett per Discretizzazine del Cntrllre Analgic - I Silvi Simani - Lezine3 5 Tre classi di tecniche prgettuali. Metd indirett per discretizzazine di un prgett analgic 2. Metd dirett ssia nel dmini discret: - prgett cn il lug delle radici 3. Reglatri a struttura fissa (tip PID industriale)

54 Silvi Simani - Lezine3 6 Metd indirett x(t) e(t) u a (t) y a (t) D(s) G(s) x(t) (a) u b (t) e(t) y D(z) b (t) H(s) G(s) T il più piccl pssibile!? (b) Silvi Simani - Lezine3 7 Tre passi cncettuali. Definizine di T e verifica dei margini di stabilità del sistema H (s) = e st s T T 2 s + H (s) e st/2

55 Silvi Simani - Lezine3 8 x(t) e(t) D(s) T 2 s+ u a G(s) 2. Discretizzazine della D(s) 3. Verifica a psteriri (simulativa e sperimentale) del cmprtament dinamic Silvi Simani - Lezine3 9 Tecniche di discretizzazine:. Metd delle differenze all indietr (Euler all Indietr, EI) 2. Metd delle differenze in avanti (Euler in Avanti, EA) 3. Trasfrmazine bilineare (Tustin, TU) 4. Metd della Z-trasfrmata cn ricstruttre di rdine

56 Silvi Simani - Lezine3 2 Metd delle differenze all indietr (EI) D(z) =D(s) s= z T Esempi: dy(t) dt + ay(t) =ax(t) Z t dy(t) dt dt = a Z t y(t)dt + a Z t x(t)dt calcland per t = kt, pert =(k )T e sttraend si ha y(kt) y((k )T) = a R kt (k )T y(t)dt +a R kt (k )T x(t)dt at [y(kt) x(kt)] Silvi Simani - Lezine3 2 Y(z) =z Y(z) at [Y(z) X(z)] Y(z) X(z) = G(z) = at z + at = a z T + a Integrazine all indietr t y(t)

57 Silvi Simani - Lezine Metd delle differenze in avanti (EA) D(z) =D(s) s= z T Esempi Z kt (k )T Z kt (k )T y(t)dt Ty((k )T) x(t)dt Tx((k )T) y(kt) =y((k )T) at [y((k )T) x((k )T)] Y(z) X(z) = G(z) = atz ( at)z = a z Tz + a Silvi Simani - Lezine Trasfrmazine bilineare (TU) D(z) =D(s) s= 2 T z +z detta anche integrazine trapezidale ( di di Tustin) Z kt (k )T y(t)dt [y(kt) +y((k )T)]T 2 Z kt (k )T x(t)dt [x(kt) +x((k )T)]T 2

58 Silvi Simani - Lezine4 24 Lezine 4 Prgett per Discretizzazine del Cntrllre Analgic - II Silvi Simani - Lezine Metd della Z-trasfrmata cn ricstruttre di rdine dell invarianza alla rispsta al gradin» Z»D(z) = L D(s) z s t=kt» " # D(s) e D(z) =( z st )Z = Z D(s) s s Pssibilità di aliasing Da D(s) stabili a D(z) stabili

59 Silvi Simani - Lezine4 27 Prgett di rete ritardatrice D(w) = + s τ + s τ p τ p < τ Ampiezze G (db) w (rad/s) Fasi -2 gradi -4 τ =. s, τ p =. s w (rad/s) Silvi Simani - Lezine4 28 Alle alte frequenze, il valre del guadagn è dat da L sfasament massim (in ritard) è dat da α = τ τ p < Φ m = arcsin α + α e si ttiene per la pulsazine Ω m = = τ τ p τ p α Attenuazine alle alte frequenze (effett psitiv), sfasament in ritard (effett negativ)

60 Silvi Simani - Lezine5 38 Prgett di Rete Anticipatrice D(s) = + s τ + s τ p τ < τ p 3 Ampiezze 2 G (db) w (rad/sec) 6 Fasi 4 gradi 2 τ p =. s, w (rad/sec) τ =. s Silvi Simani - Lezine5 39 Il guadagn della rete per alte frequenze è L sfasament massim in anticip è α = τ τ p > Φ m =arcsin α + α ttenut alla pulsazine Ω m = τ τ p = τ α Sfasament in anticip (effett psitiv), aument di guadagn (effett negativ)

61 Silvi Simani - Lezine6 47 Lezine 6 Prgett di Reti Cmpensatrici - II Silvi Simani - Lezine6 48 Prgett mediante il lug delle radici Equazine caratteristica del sistema in anell chius + k G (z) = k è il parametr di interesse che si fa variare tra e + Slitamente k rappresenta il guadagn

62 Silvi Simani - Lezine6 49 Esempi di Prgett Nell anell digitale sia cn T = s. Per cui G(s) =. s(s +.) z G(z) =.484 (z )(z.948) Le specifiche di prgett sul sistema in catena chiusa sn: S% 6, T a 6s Silvi Simani - Lezine6 5 Dalla specifica sul srpass si ha δ =.5. Assumend D(z) = k, l equazine caratteristica diventa z k (z )(z.948) = Lug delle radici x x x + x

63 Silvi Simani - Lezine6 5 Nel cas temp cntinu, le specifiche su S% e T a implican che la cppia di pli dminanti del sistema in anell chius sia s =.5 ± j.867 (δ =.5, ω n = ) e nel cas temp discret effettuand la trasfrmazine z = e st z =.393 ± j.462 Nel pian z i pli del sistema in retrazine devn essere: - interni al cerchi di raggi r = e δωn = entr la zna delimitata dal lug a spirale lgaritmica per δ =.5 Nn sn sddisfatte le specifiche su S% esut a Per K > 2 il sistema è instabile Silvi Simani - Lezine6 52 Si intrduce un reglatre dinamic D(z) =k z z z z p Prim tentativ: z cancella il pl z =.948 e si fissa il pl del reglatre a sinistra, per Lug delle radici esempi z p = x x x x x (a)

64 Silvi Simani - Lezine6 53 I pli si psizinan in z =.5476 ± j.6284 per cui δ =.2 e quindi nn è sddisfatta la specifica sul transitri Silvi Simani - Lezine6 54 Nuv tentativ: z =.88 in md che in questa zna l svilupp del lug delle radici all estern dell asse reale sia mdest, e il pl in z =.5 Lug delle radici x x + x x x (b)

65 Silvi Simani - Lezine6 55 Se si sceglie k =3per cui z =.4986 ± j.335, z =.8757 Il reglatre finale è D(z) =3 z.88 z +.5 Silvi Simani - Lezine6 56 Verifica simulativa.2 y r u -.2 (secndi) 5

66 Silvi Simani - Lezine7 57 Lezine 7 Reglatri Standard PID Digitali - I Silvi Simani - Lezine7 58 Reglatri standard Struttura fissa tip PID Tuning dei parametri Scelta del perid di campinament T Discretizzazine algritmi analgici ed inltre... Tuning autmatic dei parametri

67 Silvi Simani - Lezine7 59 Discretizzazine del classic reglatre PID analgic U(s) =K p + «T i s + T ds E(s) Usand l integrazine rettanglare - Frma di psizine: u n = K p " e n + T T i nx k= e k + T # d T (e n e n ) + M R Silvi Simani - Lezine7 6 Una frma di algritm particlarmente utilizzata in pratica Termine derivativ: T d s + T d s/n N tra3e Parte integrale: differenza in avanti Parte derivativa: differenza all indietr D PID (z) = K p h + T T i (z ) + + T d T+T d /N i z [z T d /(NT+T d )]

68 Silvi Simani - Lezine7 6 Tuning dei parametri Due categrie di criteri a) Quelli che utilizzan alcuni punti caratteristici della rispsta y(t) per imprre l andament transitri desiderat. b) Criteri di tip integrale ISE = R [e(t)]2 dt IAE = R e(t) dt ITAE = R t e(t) dt Silvi Simani - Lezine8 68 Tuning autmatic Un semplice metd è quell basat sulla stima del guadagn critic K c scillazine critica P c = 2π ωc e del perid di /Kc Wc

69 Silvi Simani - Lezine8 69 Stimati K c e P c, si usa la tabella di Ziegler Nichls Tip K p T i T d P.5K c PI.45K c P c /.2 PID.6K c.5p c.25p c Silvi Simani - Lezine9 74 Regle pratiche per la scelta di T: a) b) T τ dm T << T a T = T a