Sistemi di controllo digitale

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1 Silvi Simani - Lez0.tex 1 Sistemi di cntrll digitale Sistemi di cntrll in retrazine in cui è presente un sistema digitale per l elabrazine a temp discret della legge di cntrll Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

2 Silvi Simani - Lez0.tex 2 Perchè il cntrll digitale? Flessibilità del sistema di cntrll. Prestazini del sistema di cntrll. Cllqui cn sistemi di supervisine. Cmplessità di prgett Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

3 Silvi Simani - Lez0.tex 3 Schema tipic di un cntrll digitale A/D Calcl. digitale Clck (T) D/A Attuat. Prc. Trasduttre Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

4 Silvi Simani - Lez0.tex 4 Schema tipic di un cntrll digitale A/D Calcl. digitale D/A Attuat. Prc. A/D Trasduttre temp discret Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

5 Silvi Simani - Lez0.tex 5 Segnali cntinui, campinati e quantizzati Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

6 Silvi Simani - Lez0.tex 6 (a) Segnale analgic (b) segnale campinat (c) Segnale quantizzat Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

7 Silvi Simani - Lez0.tex 7 Dispsitivi di interfaccia A/D, cnvertitre Analgic/Digitale x(t) A/D x(kt) x(t) x(kt) D/A, cnvertitre Digitale/Analgic x(kt) D/A x r (t) x(kt) H Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

8 Silvi Simani - Lez0.tex 8 Iptesi di lavr. 1. Il temp di elabrazine è trascurabile rispett al temp di campinament. 2. L errre di quantizzazine è trascurabile (lunghezza di parla ALU del calclatre grande). Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

9 Silvi Simani - Lez0.tex 9 Caratteristiche del cntrll digitale Il mdell del sistema cmplessiv ha due caratteristiche: Il prcess/impiant: mdell a temp cntinu Il cntrllre: legge di cntrll a temp discret Il segnale digitale ha le prprietà di essere: Campinat definit agli istanti kt, k =0, 1,... Quantizzat rappresentat da un numer finit di bits. Strument matematic per il trattament dei segnali digitali: Equazini alle differenze e Trafrmata Zeta Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

10 Silvi Simani - Lez0.tex 10 Equazini alle differenze. Permettn di rappresentare sistemi la cui relazine ingress-uscita dipende dal temp, valutat ad istanti discreti. Esempi: Dat un capitale y(kt ) valutat nel perid kt, un tass di interesse a ed un versament u(kt ) effettuat sempre nell stess perid kt, calclare il capitale nel perid successiv y((k +1)T ). sluzine: y((k +1)T )=ay(kt )+u(kt ) Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

11 Silvi Simani - Lez0.tex 11 Equazine alle differenze lineare rdinaria di rdine n. In generale un sistema dinamic definit a temp discret può essere rappresentat da una equazine alle differenze del tip: y((k + n)t )+a n 1 y((k + n 1)T )+ + a 1 y((k +1)T )+a 0 y(kt )= b m u((k + m)t )+b m 1 u((k + m 1)T )+ + b 1 u((k +1)T )+b 0 u(kt ) dve i cefficienti a n 1,...,a 1,a 0 e b m 1,...,b 1,b 0 sn cstanti. Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

12 Silvi Simani - Lez0.tex 12 L equazine alle differenze rappresenta la struttura del sistema, mentre i cefficienti a n 1,...,a 1,a 0 e b m 1,...,b 1,b 0 sn i parametri del mdell. u((k + m)t )+ + u((k +1)T ) u(kt ) y(kt ) Sistema y((k + n)t )+ + y((k +1)T ) Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

13 Silvi Simani - Lez0.tex 13 A csa serve l equazine alle differenze? Predizine: Rislvendla, cnscend il valre dell ingress u(kt ) in un cert intervall k [k 0,k n ] ed una cndizine iniziale y(k 0 T ), pss predire il valre dell uscita y(kt ) nell stess intervall. Analisi: Mediante una semplice analisi dei cefficienti a n 1,..., pss determinare alcune caratteristiche del sistema, valide in generale qualunque sia il particlare ingress applicat. Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

14 Silvi Simani - Lez0.tex 13 Esempi in Matlab: Nte sul lucid 13 COnsider un capitale inziale di , a cui aggiung il prim ann , il secnd ed il terz , cn un interesse del 10 %, qual è il capitale all inizi del quart ann? Nta: l interesse del 10% si traduce in un cefficiente a =1.1. Csa accadrebbe se il cefficiente fsse di a =0.5? Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

15 Silvi Simani - Lez0.tex 14 Strumenti matematici La Trasfrmata Zeta è una funzine cmplessa di variabile cmplessa, utilizzata per analizzare i mdelli matematici (equazini alle differenze) dei sistemi fisici definiti a temp discret. Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

16 Silvi Simani - Lez0.tex 15 Z-Trasfrmata Sia data una sequenza di valri x k R, definita per k = 0, 1, 2,... e nulla per k < 0. La Z-trasfrmata (unilatera) della sequenza x k è la funzine di variabile cmplessa z definita cme X(z) =Z[x k ] = x 0 + x 1 z x k z k + = k=0 x kz k Nel cas in cui la sequenza di valri x k sia ttenuta campinand unifrmemente cn perid T un segnale cntinu descritt dalla funzine x(t), t 0, si avrà che x k = x(kt). Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

17 Silvi Simani - Lez0.tex 16 L espressine estesa X(z) =x(0) +x(t) z 1 + x(2t) z x(kt) z k + implica la specificazine del parametr perid di campinament T, da cui dipendn i valri dei campini della sequenza, ciè i cefficienti della serie. Si usa: intendend: [{ X(z) =Z X(z) =Z[X(s)] }] L 1 [X(s)] t=kt Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

18 Silvi Simani - Lez0.tex 17 Trasfrmata Z dell impuls unitari. Impuls discret unitari. x(kt) = { 1 kt = 0 0 kt 0 da cui: X(z) = Z[x(t)] = k=0 x(kt)z k = 1 + 0z 1 + 0z 2 + 0z 3 + = 1 Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

19 Silvi Simani - Lez0.tex 18 Trasfrmata Z del gradin unitari. Gradin unitari: Sia data la funzine gradin unitari: x(kt) =h(kt) = { 1 kt 0 0 kt < 0 La trasfrmata Z vale: H(z) = Z[h(kT)] = = k=0 1 1 z = z 1 z 1 La serie è cnvergente per z > 1. h(kt)z k = k=0 z k = 1 + z 1 + z 2 + z 3 + Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

20 Silvi Simani - Lez0.tex 19 Trasfrmata Z della Rampa unitaria. Rampa unitaria. Si cnsideri la funzine rampa unitaria: x(kt) = { kt kt 0 0 kt < 0 La Z-trasfrmata è X(z) = Z[kT] = k=0 x(kt)z k = T k=0 = Tz 1 (1 + 2z 1 + 3z 2 + )=T cnvergente per z > 1. kz k = T(z 1 + 2z 2 + 3z 3 + ) z 1 (1 z 1 ) 2 = T z (z 1) 2 Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

21 Silvi Simani - Lez0.tex 20 Prprietà della trasfrmata Z (1). Linearità: Z[k 1 f 1 (kt) +k 2 f 2 (kt)] = k 1 Z[f 1 (kt)] + k 2 Z[f 2 (kt)] Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

22 Silvi Simani - Lez0.tex 21 Prprietà della trasfrmata Z (2). Terema della traslazine nel temp. SiaX(z) =Z[x(kT)], en = 1, 2,..., allra Z[x(kT + nt)] = z n [X(z) Z[x(kT nt)] = z n X(z) n 1 k=0 x(kt)z k ] (ritard) ( anticip) Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

23 Silvi Simani - Lez0.tex 22 In md imprecis ma perativ: ecsì via. z 1 x(kt) =x((k 1)T) z 2 x(kt) =x((k 2)T) zx(kt) =x((k + 1)T) Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

24 Silvi Simani - Lez0.tex 23 Funzine di trasferiment discret di un sistema. La Funzine di Trasferiment discret di un sistema è una funzine a variabile cmplessa G(z) che caratterizza cmpletamante il sistema fisic in esame. La rispsta del sistema a qualunque segnale di ingress può essere determinata attravers la funzine di trasferiment: Y (z) =G(z)U(z) dve U(z) e Y (z) sn le trasfrmate dei segnali di ingress e di uscita del sistema. Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

25 Silvi Simani - Lez0.tex 24 La funzine di trasferiment di un sistema può essere determinata dalla equazine differenziale del sistema, applicand le prprietà della trasfrmata Zeta: s n Y (z) +a n 1 z n 1 Y (z) +...a 1 zy (z) +a 0 Y (z) = b m z m U(z) +b m 1 z m 1 U(z) b 1 zu(z) +b 0 U(z) da cui: G(z) = Y (z) U(z) = b mz m + b m 1 z m b 1 z + b 0 z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

26 Silvi Simani - Lez0.tex 25 Se utilizziam cme ingress il segnale impulsiv U(z) =1: G(z) = Y (z) 1 tteniam che la funzine di trasferiment discret del sistema è uguale alla Z-trasfrmata del segnale di uscita del sistema. Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

27 Silvi Simani - Lez0.tex 26 Equazine caratteristica. L equazine caratteristica di un sistema si ttiene prendend il denminatre della funzine di trasferiment ed uguagliandl a zer. z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 =0 Le sluzini di tale equazine algebrica vengn dette pli del sistema. Ipli di un sistema descrivn cmpletamente il su cmprtamant dinamic. Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

28 Silvi Simani - Lez0.tex 27 Stabilità di un sistema a temp discret. Se almen una delle radici della equazine caratteristica ha mdul maggire di un, la crrispndente equazine alle differenze è instabile, ciè la sua sluzine divergerà al crescere del temp per cndizine iniziale finita. Se tutte le radici dell equazine caratteristica sn entr in cerchi unitari, allra la crrispndente equazine alle differenze è stabile, ciè la sua sluzine cnvergerà a zer al crescere del temp per gni cndizine iniziale finita Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

29 Silvi Simani - Lez0.tex 28 Il campinament di segnali cntinui. Nella autmazine industriale i sistemi di interesse (attuatri elettrici, sistemi meccanici,...) hann un cmprtament intrinsecamente a temp cntinu. La necessità di perare a temp discret nasce dall utilizz dei calclatri. Occrre definire un metd per tradurre i segnali a temp cntinu in segnali a temp in md da minimizzare la perdita di cntenut infrmativ. Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

30 Silvi Simani - Lez1.tex 29 lezine 1 Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

31 Silvi Simani - Lez1.tex 30 PROCESSO: Un insieme di perazini di trasfrmazini che devn avvenire in sequenza pprtuna in un impiant in un sistema fisic CONTROLLO DEIPROCESSI: Insieme di metdlgie, tecniche e tecnlgie rientate alla cnduzine autmatizzata di impianti industriali Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

32 Silvi Simani - Lez1.tex 31 SISTEMI DI CONTROLLO DIGITALE: Sistemi di cntrll in retrazine in cui è presente un calclatre digitale e quindi una elabrazine a temp discret della legge di cntrll Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

33 Silvi Simani - Lez1.tex 32 SCHEMA TIPICO DI UN SISTEMA DI CONTROLLO ANALOGICO Reglatre r e Rete crretrice m Sistema Amplificatre Attuatre c cntrllat y Trasduttre di misura Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

34 Silvi Simani - Lez1.tex 33 SCHEMI TIPICI DI UN SISTEMA DI CONTROLLO DIGITALE (1) Calcl. A/D digitale Clck (T) D/A Attuat. Prc. Trasduttre Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

35 Silvi Simani - Lez1.tex 34 SCHEMI TIPICI DI UN SISTEMA DI CONTROLLO DIGITALE (2) A/D Calcl. digitale D/A Attuat. Prc. temp discret A/D Trasduttre Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

36 Silvi Simani - Lez1.tex 35 CONTROLLO DIGITALE / CONTROLLO ANALOGICO : + Maggire capacità e precisine di elabrazine + Maggire flessibilità + Maggire affidabilità e ripetibilità + Maggire trasmissibilità dei segnali - Prgettazine più difficile e articlata - Stabilizzabilità più precaria - Pssibilità di arresti nn previsti - Necessità di utilizzare energia elettrica Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

37 Silvi Simani - Lez1.tex 36 SEGNALI DI INTERESSE a) Analgic di tip cntinu; b) Temp-cntinu quantizzat; c) A dati campinati; d) Digitale x(t) x(t) (a) (b) 0 t 0 t x(t) x(t) (c) 0 t (d) 0 t Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

38 Silvi Simani - Lez1.tex 37 DISPOSITIVI DI INTERFACCIA A/D, cnvertitre Analgic/Digitale x(t) A/D x(kt) x(t) x(kt) Cn campinament mdellat ad impulsi di Dirac: x(t) A/D x(kt) x(t) δ T x(kt)δ(t kt) Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

39 Silvi Simani - Lez1.tex 38 D/A, cnvertitre Digitale/Analgic x(kt) D/A x r (t) x(kt) H Mdell: x(kt) x(kt)δ(t kt) x r (t) G r (s) Cas dell Hld: G r (s) = 1 e st s Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

40 Silvi Simani - Lez1.tex 39 ANELLO DI CONTROLLO DIGITALE Parte temp cntinua: prcess/impiant Parte temp discreta: sistema di cntrll Campinament reglare di perid T Trasfrmata Zeta Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

42 Silvi Simani - Lez2.tex 41 Equazine alle differenze: Se f( ) è lineare: u k = f(e 0, e 1,...,e k ; u 0, u 1,...,u k 1 ) u k = a 1 u k 1... a n u k n + b 0 e k b m e k m Esempi: u k = a 1 u k 1 a 2 u k 2 + b 0 e k u k = u k u k 1 = u k u k u k 2 = u k 2 u k + 2 u k a 2 2 u k (a 1 + 2a 2 ) u k +(a 2 + a 1 + 1)u k = b 0 e k Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

43 Silvi Simani - Lez2.tex 42 Sluzine di equazini alle differenze a cefficienti cstanti u 0 = u 1 = 1. u k = u k 1 + u k 2 k u(k) Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

44 Silvi Simani - Lez2.tex 43 Sluzine elementare tip z k : cz k = cz k 1 + cz k 2 z 2 z 1 = 0 z 1,2 =(1 ± 5)/2 quindi in generale vale: u k = c 1 z k 1 + c 2z k 2 cn c 1, c 2 determinate dalle cndizini iniziali per k = 0, 1. Infine si ha u k = ( ) k ( ) k Andament divergente, dunque sistema instabile. Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

45 Silvi Simani - Lez2.tex 44 Se almen una delle radici della equazine caratteristica ha mdul maggire di un, la crrispndente equazine alle differenze è instabile, ciè la sua sluzine divergerà al crescere del temp per cndizine iniziale finita Se tutte le radici dell equazine caratteristica sn entr in cerchi unitari, allra la crrispndente equazine alle differenze è stabile, ciè la sua sluzine cnvergerà a zer al crescere del temp per gni cndizine iniziale finita Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

46 Silvi Simani - Lez2.tex 45 Sia data una sequenza di valri x k R, definita per k = 0, 1, 2,... e nulla per k < 0. La Z-trasfrmata (unilatera) della sequenza x k è la funzine di variabile cmplessa z definita cme X(z) =Z[x k ] = x 0 + x 1 z x k z k + = k=0 x kz k Nel cas in cui la sequenza di valri x k sia ttenuta campinand unifrmemente cn perid T un segnale cntinu descritt dalla funzine x(t), t 0, si avrà che x k = x(kt): X(z) = k=0 x(k)z k Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

47 Silvi Simani - Lez2.tex 46 L espressine estesa X(z) =x(0) +x(t) z 1 + x(2t) z x(kt) z k + implica la specificazine del parametr perid di campinament T, da cui dipendn i valri dei campini della sequenza, ciè i cefficienti della serie. Si usa: intendend: [{ X(z) =Z X(z) =Z[X(s)] }] L 1 [X(s)] t=kt Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

48 Silvi Simani - Lez2.tex 47 Nelle applicazini ingegneristiche la funzine X(z) assume in generale una espressine razinale fratta del tip X(z) = b 0 z m + b 1 z m b m z n + a 1 z n a n che si può esprimere anche in ptenze di z 1 : X(z) = zn (b 0 z (n m) + b 1 z (n m+1) + + b m z n ) z n (1 + a 1 z a n z n ) = b 0 z (n m) + b 1 z (n m+1) + + b m z n 1 + a 1 z a n z n Esempi: X(z) = z(z + 0.5) (z + 1)(z + 2) = z 1 (1 + z 1 )(1 + 2z 1 ) Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

49 Silvi Simani - Lez2.tex 48 Impuls discret unitari, detta anche funzine di Krnecker δ 0 (t): x(t) = { 1 t = 0 0 t 0 da cui: X(z) = Z[x(t)] = k=0 x(kt)z k = 1 + 0z 1 + 0z 2 + 0z 3 + = 1 Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

50 Silvi Simani - Lez2.tex 49 Gradin unitari: Sia data la funzine gradin unitari x(t) =h(t) = { 1 t 0 0 t < 0 La funzine h(k) definita cme h(k) = { 1 k = 0, 1, 2,... 0 k < 0 è detta sequenza unitaria. Sihache H(z) = Z[h(t)] = La serie è cnvergente per z > 1. k=0 h(kt)z k = = 1 + z 1 + z 2 + z = 1 z = z 1 z 1 k=0 z k Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

51 Silvi Simani - Lez2.tex 50 Rampa unitaria. Si cnsideri la funzine rampa unitaria: x(t) = { t t 0 0 t < 0 Pichè x(kt) =kt, k = 0, 1, 2,...,laZ-trasfrmata è X(z) = Z[t] = x(kt)z k = T kz k k=0 k=0 = T(z 1 + 2z 2 + 3z 3 + ) = Tz 1 (1 + 2z 1 + 3z 2 + ) = T z 1 (1 z 1 ) 2 = T z (z 1) 2 cnvergente per z > 1. Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

52 Silvi Simani - Lez2.tex 51 Funzine ptenza a k. Sia data la funzine x(k) = { a k k = 0, 1, 2,... 0 k < 0 cn a cstante reale cmplessa. Dalla definizine di Z-trasfrmata si ha che [ X(z) = Z a k] = x(k)z k = a k z k k=0 k=0 = 1 + az 1 + a 2 z 2 + a 3 z 3 + = 1 1 az = z 1 z a Questa serie gemetrica cnverge per z > a. Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

53 Silvi Simani - Lez2.tex 52 Funzine espnenziale. Sia data la funzine x(t) = { e at t 0 0 t < 0 dve a è una cstante reale cmplessa. Pichè x(kt) =e akt, k = 0, 1, 2,...,siha [ X(z) = Z e at] = k=0 e akt z k = 1 + e at z 1 + e 2aT z 2 + e 3aT z 3 + = 1 1 e at z = z 1 z e at che cnverge per z > e Re(a)T. Si nti che per a = 0 si ha il gradin unitari. Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

54 Silvi Simani - Lez2.tex 53 Funzine sinusidale. Sia data la sinuside x(t) = { sin ωt t 0 0 t < 0 Dalle frmule di Euler è nt che sin ωt = 1 2j (ejωt e jωt ) X(z) = Z[sin ωt] = 1 2j = 1 (e jωt e jωt )z 1 2j 1 (e jωt + e jωt )z 1 + z 2 = cnvergente per z > 1. ( ) 1 1 e jωt z e jωt z 1 z 1 sin ωt 1 2z 1 cs ωt + z = z sin ωt 2 z 2 2z cs ωt + 1 Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

55 Silvi Simani - Lez2.tex 54 Funzine csinusidale. Sia data la funzine x(t) = { cs ωt t 0 0 t < 0 X(z) = Z[cs ωt] = 1 2 ( ) 1 1 e jωt z e jωt z 1 = 1 2 (e jωt + e jωt )z (e jωt + e jωt )z 1 + z 2 = = 1 z 1 cs ωt 1 2z 1 cs ωt + z 2 z(z cs ωt) z 2 2z cs ωt + 1 z > 1 Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

56 Silvi Simani - Lez2.tex 55 Funzine csinusidale smrzata. Sia dat il segnale x(t) = { e at cs ωt t 0 0 t < 0 [ ] X(z) = Z e at cs ωt = 1 [ ] 2 Z (e at e jωt + e at e jωt ) = 1 2 ( ) 1 1 e (a jω)t z e (a+jω)t z 1 = 1 2 (e jωt + e jωt )e at z (e jωt + e jωt )e at z 1 + e 2aT z 2 = = 1 e at z 1 cs ωt 1 2e at z 1 cs ωt + e 2aT z 2 z(z e at cs ωt) z 2 2e at z cs ωt + e 2aT z > e at Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

57 Silvi Simani - Lez2.tex 56 Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

58 Silvi Simani - Lez2.tex 57 Funzine sinusidale smrzata x(t) = { e at sin ωt t 0 0 t < 0 si ttiene [ ] X(z) = Z e at sin ωt = = e at z 1 sin ωt 1 2e at z 1 cs ωt + e 2aT z 2 e at z sin ωt z 2 2e at z cs ωt + e 2aT z > e at Le trasfrmate delle funzini di maggir interesse sn slitamente riprtate in tabelle Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

60 Silvi Simani - Lez3.tex 59 Esempi: X(s) = 1 s(s+1) Prima tecnica: x(t) =1 e t [ X(z) = Z 1 e t] = = 1 1 z e T z 1 (1 e T )z 1 (1 z 1 )(1 e T z 1 ) = (1 e T )z (z 1)(z e T ) Secnda tecnica: 1 X(s) = s(s + 1) = 1 s s 1 X(z) = 1 z e T z 1 Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

61 Silvi Simani - Lez3.tex 60 La Z-trasfrmata X(z) e la sua sequenza crrispndente x(k) sn legate da una crrispndenza biunivca Quest nn avviene in genere tra la Z-trasfrmata X(z) e la sua inversa x(t) Data una X(z) si pssn in genere avere mlte x(t) Questa ambiguità nn sussiste se sn verificate le cndizini restrittive su T dettate dal Terema di Shannn Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

62 Silvi Simani - Lez3.tex 61 Diverse funzini temp cntinu pssn avere gli stessi valri x(k) y0, y t (s) Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

63 Silvi Simani - Lez3.tex 62 PROPRIETÀ E TEOREMI DELLA Z-TRASFORMATA Linearità: x(k) =af(k) +bg(k) X(z) =af(z) +bg(z) Mltiplicazine per a k.siax(z) la Z-trasfrmata di x(t), a una cstante. [ ] Z a k x(k) = X(a 1 z) [ ] Z a k x(k) = a k x(k)z k = x(k)(a 1 z) k k=0 k=0 = X(a 1 z) Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

64 Silvi Simani - Lez3.tex 63 Terema della traslazine nel temp. n = 1, 2,..., allra Se x(t) = 0, t < 0, X(z) = Z[x(t)], e Z[x(t + nt)] = z n [X(z) Z[x(t nt)] = z n X(z) n 1 k=0 x(kt)z k ] (ritard) ( anticip) Operativamente: ecsì via. z 1 x(k) =x(k 1) z 2 x(k) =x(k 2) zx(k) =x(k + 1) Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

65 Silvi Simani - Lez3.tex 64 Cas di ritard: Z[x(t nt)] = k=0 x(kt nt)z k = z n k=0 x(kt nt)z (k n) da cui, pnend m = k n, Z[x(t nt)] = z n m= n Pichè x(mt) =0 per m < 0, allra si può scrivere che Z[x(t nt)] = z n m=0 x(mt)z m x(mt)z m = z n X(z) Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

66 Silvi Simani - Lez3.tex 65 Cas dell anticip: Z[x(t + nt)] = = x(kt + nt)z k = z n x(kt + nt)z (k+n) k=0 k=0 = z n [ k=0 n 1 k=0 = z n [ k=0 = z n [X(z) x(kt + nt)z (k+n) + x(kt)z k ] x(kt)z k n 1 k=0 n 1 k=0 x(kt)z k ] n 1 k=0 x(kt)z k ] x(kt)z k Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

67 Silvi Simani - Lez3.tex 66 Terema del valre iniziale. Se X(z) èlaz-trasfrmata di x(t) e se esiste il lim z X(z), allra il valre iniziale x(0) di x(t) è dat da: x(0) = lim z X(z) Infatti, si nti che X(z) = k=0 x(k)z k = x(0) +x(1)z 1 + x(2)z 2 + Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

68 Silvi Simani - Lez3.tex 67 Terema del valre finale. Sian tutti i pli di X(z) all intern del cerchi unitari, cn al più un pl semplice per z = 1. Infatti k=0 [ ] lim x(k) = lim (1 z 1 )X(z) k z 1 x(k)z k k=0 lim z 1 [ k=0 x(k)z k k=0 x(k 1)z k] = x(k 1)z k = X(z) z 1 X(z) = k=0 [x(k) x(k 1)] = [x(0) x( 1)] + [x(1) x(0)] + [x(2) x(1)] + = lim k x(k) Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

69 Silvi Simani - Lez3.tex 68 Esempi: Si cnsideri il segnale descritt da X(z) = Tz(z + 1) 2(z 0.5)(z 1) Il valre finale della sequenza x(kt) è quindi dat da lim x(kt) = lim (1 Tz(z + 1) k z 1 z 1 ) 2(z 0.5)(z 1) = lim z 1 T(z + 1) 2(z 0.5) = 2T Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

70 Silvi Simani - Lez3.tex 69 Differenziazine cmplessa: Z[kx(k)] = z d dz X(z) Z [ k m x(k) ] = ( z d ) m X(z) dz Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

71 Silvi Simani - Lez3.tex 70 Esempi: È nt che la Z-trasfrmata del gradin unitari è Z[h(k)] = 1 1 z 1 Per ttenere la trasfrmata del segnale rampa unitaria x(k) =kt, k = 0, 1, 2,... Z[kT h(k)] = Tz d dz ( 1 1 z 1 ) z 1 = T (1 z 1 ) 2 Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

72 Silvi Simani - Lez3.tex 71 Integrazine cmplessa. Si cnsideri la sequenza g(k) = x(k) k dve x(k)/k èfinitperk = 0, esiaz[x(k)] = X(z). LaZ-trasfrmata di x(k)/k èdata da [ ] x(k) X(ζ) x(k) Z = dζ + lim k ζ k 0 k z Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

73 Silvi Simani - Lez3.tex 72 Terema della cnvluzine reale. Sian date due funzini x 1 (t) e x 2 (t), cnx 1 (t) = x 2 (t) =0, t < 0 e Z-trasfrmate X 1 (z), X 2 (z). Allra X 1 (z)x 2 (z) =Z [ k h=0 x 1 (ht)x 2 (kt ht) ] Per la dimstrazine, si nti che [ k Z ] x 1 (h)x 2 (k h) = k x 1 (h)x 2 (k h)z k h=0 k=0 h=0 = x 1 (h)x 2 (k h)z k k=0 h=0 pichè x 2 (k h) =0, h > k. Definend m = k h si ha [ k ] Z x 1 (h)x 2 (k h) = x 1 (h)z h h=0 h=0 m=0 x 2 (m)z m Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

74 Silvi Simani - Lez3.tex 73 Terema della cnvluzine cmplessa. Sian date due successini x 1 (k), x 2 (k) nulle per k < 0. Inltre sian X 1 (z) e X 2 (z) le trasfrmate delle due successini e sian R 1, R 2 i rispettivi raggi di cnvergenza. Allra la Z-trasfrmata del prdtt x 1 (k)x 2 (k) è data da: Z[x 1 (k)x 2 (k)] = 1 2πj C ζ 1 X 2 (ζ)x 1 (ζ 1 z)dζ Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

75 Silvi Simani - Lez3.tex 74 Terema di Parseval. Sian date due sequenze x 1 (k), x 2 (k) nulle per k < 0. Inltre sian X 1 (z) e X 2 (z) le trasfrmate delle due successini. [Z[x 1 (k)x 2 (k)]] z =1 = Per x 1 (k) =x 2 (k) =x(k), si ttiene k=0 = 1 2πj x 1 (k)x 2 (k) C ζ 1 X 2 (ζ)x 1 (ζ 1 z)dζ k=0 x 2 (k) = 1 2πj = 1 2πj C C ζ 1 X(ζ)X(ζ 1 )dζ z 1 X(z)X(z 1 )dz Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

76 Silvi Simani - Lez3.tex 75 Trasfrmazine di funzini peridiche. Sia data una successine x p (k) peridica di perid pt e x(k) la successine dei campini del prim perid e nulla per k > p x(k) = { xp (k) k = 0,...,p 0 k > p Se X(z) è la Z-trasfrmata di x(k) allra vale Z[x p (k)] = zp z p 1 X(z) = 1 1 z px(z) Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

77 Silvi Simani - Lez4.tex 76 Lezine 4 Antitrasfrmata zeta. Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

78 Silvi Simani - Lez4.tex 77 LA ANTITRASFORMATA Z Permette di passare da una Z-trasfrmata X(z) alla crrispndente sequenza x k e pssibilmente alla funzine cntinua x(t) cui crrispnde per campinament la sequenza x k. X(z) x(k) x(t) biunivca nn biunivca Se è sddisfatt il Terema di Shannn sul campinament, la funzine cntinua x(t) può essere univcamente determinata a partire dalla sequenza x k. Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

79 Silvi Simani - Lez4.tex 78 Diversi metdi per antitrasfrmare una funzine X(z): 1) Metd della lunga divisine; 2) Metd cmputazinale; 3) Metd della scmpsizine in fratti semplici; 4) Metd dell integrale di inversine. Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

80 Silvi Simani - Lez4.tex 79 Metd della lunga divisine X(z) = k=0 x(kt)z k = x(0) +x(t)z 1 + x(2t)z 2 + Si divide il plinmi a numeratre per il plinmi a denminatre cn la nta regla di Euler da cui si ricava che X(z) = b 0 + b 1 z + + b m z m a 0 + a 1 z + + a n z n = c 0 + c 1 z 1 + c 2 z 2 + x(0) =c 0, x(t) =c 1, x(2t)=c 2, Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

81 Silvi Simani - Lez4.tex 80 Esempi: Lunga divisine di: X(z) = 3 (1 z 1 ) 2 (1 0.5z 1 ) = 6 2 5z 1 + 4z 2 z 3 Da cui 6 D(z) 6 15z 1 +12z 2 3z 3 Q(z) +15z 1 12z 2 +3z 3 +15z z 2 +30z 3 7.5z z 2 27z z z z 3 +51z z z z z 5 X(z) = z z z 3 + x(0) =3, x(1) =7.5, x(2) =12.75, x(3) =18.375, Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

82 Silvi Simani - Lez4.tex 81 Metd cmputazinale. Esempi: X(z) = 3 0.5z 3 + 2z 2 2.5z X(z) = 0.5z 3 + 2z 2 2.5z U(z) ( X(z) 1 2.5z 1 + 2z 2 0.5z 3) = 3U(z) x(k) =2.5x(k 1) 2x(k 2) +0.5x(k 3) +3u(k) Per k = 0, u(0) = 1, x( 1) = x( 2) = x( 3) = 0: x(0) = 3 x(1) = 2.5x(0) =7.5 x(2) = 2.5x(1) 2x(0) =12.75 x(3) = 2.5x(2) 2x(1) +0.5x(0) = Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

83 Silvi Simani - Lez4.tex 82 Metd della scmpsizine in fratti semplici Cas 1. Se tutti i pli sn semplici, si pne X(z) = b 0z m + b 1 z m b m 1 z + b m (z p 1 )(z p 2 ) (z p n ) X(z) = c 1 z p 1 + c 2 z p c n z p n = n i=1 c i z p i dve i cefficienti c i, detti residui, sn parametri che vengn calclati cme: c i =[(z p i )X(z)] z=pi Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

84 Silvi Simani - Lez4.tex 83 Se nella espressine di X(z) cmpare almen un zer nell rigine, si utilizza la funzine X(z)/z e quindi X(z) z = c 1 z p c n z p n c i = [ (z p i ) X(z) ] z z=p i Quand sn presenti pli cmplessi cniugati, i cefficienti c i sn anch essi cmplessi. In quest cas si ricrre alle frmule di Euler per ttenere funzini trignmetriche. L espressine finale cercata è quindi n x(k) = c i p k i i=1 Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

85 Silvi Simani - Lez4.tex 84 Cas 2. SeX(z), X(z)/z, hapli multipli allra si può prre X(z) = B(z) A(z) = b 0z m + b 1 z m b m 1 z + b m (z p 1 ) r 1(z p 2 ) r 2 (z p h ) r h X(z) = h i=1 r i k=1 c ik (z p i ) r i k+1 dve i residui si calclan cme [ ] 1 d k 1 c ik = (k 1)! dz k 1(z p i) r i X(z) i = 1,...,h; k = 1,...,r i z=p i Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

86 Silvi Simani - Lez4.tex 85 Esempi. Antitrasfrmare la funzine X(z) = 1 z 4 + 6z z z + 4 = 1 (z + 2) 2 (z + 1) 2 Si ha che X(z) = c 11 (z + 2) 2 + c 12 (z + 2) + c 21 (z + 1) 2 + c 22 (z + 1) c 11 = [(z + 2) 2 X(z)] z= 2 = 1 [ ] d c 12 = dz (z + 2)2 X(z) = 2 c 21 = c 22 = [ ] (z + 1) 2 X(z) z= 1 [ ] d dz (z + 1)2 X(z) z= 2 = 1 z= 1 = 2 Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

87 Silvi Simani - Lez4.tex 86 Metd dell integrale di inversine x(kt) = 1 2πj Si può applicare il terema dei residui C X(z)z k 1 dz, k = 0, 1, 2, πj C X(z)z k 1 dz = m i=1 k i Per pli semplici [ k i = lim (z z i )X(z)z k 1] z zi Per pli di mlteplicità r i k i = 1 (r i 1)! lim z z i d ri 1 [ (z z dz r i 1 i ) r i X(z)z k 1] Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

88 Silvi Simani - Lez4.tex 87 Esempi. Calclare x(kt) da X(z) = z(1 e at ) (z 1)(z e at ) X(z)z k 1 = (1 e at )z k (z 1)(z e at ) 2 [ ] (1 e x(kt) = residu di at )z k (z 1)(z e at in z = z i ) i=1 dve i residui sn k 1 = [ ] (1 e at )z k lim (z 1) = 1 z 1 (z 1)(z e at ) k 2 = [ ] lim (z e at (1 e at )z k ) z e at (z 1)(z e at ) = e akt Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

89 Silvi Simani - Lez4.tex 88 Esempi: X(z) = z 2 (z 1) 2 (z e at ) X(z)z k 1 = z k+1 (z 1) 2 (z e at ) x(kt) = 2 i=1 [ ] z residu di k+1 (z 1) 2 (z e at in z = z i ) k 1 = lim z e at k 2 = 1 (2 1)! lim z 1 [ ] (z e at )z k+1 = e a(k+1)t (z 1) 2 (z e at ) (1 e at ) 2 [ ] d (z 1) 2 z k+1 dz (z 1) 2 (z e at ) = k e 1 at (1 e at ) 2 Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

90 Silvi Simani - Lez4.tex 89 Esempi. Antitrasfrmare la funzine X(z) = 10 (z 1)(z 2) Si nti che ra Per k = 0 X(z)z k 1 = X(z)z k 1 k=0 = 10z k 1 (z 1)(z 2) 10 z(z 1)(z 2) la funzine ha quindi 3 pli semplici, z = 0, z = 1, z = 2, mentre per k > 0X(z)z k 1 ha sl i due pli z = 1, z = 2. Questi due casi sn quindi da cnsiderarsi separatamente. Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

91 Silvi Simani - Lez4.tex 90 Cas k = 0. Si ttiene x(0) = 3 i=1 [ ] 10 residu di z(z 1)(z 2) nel pl z = z i ve i residui valgn [ k 1 = lim z z 0 [ k 2 = lim (z 1) z 1 [ k 3 = lim z 2 ] 10 = 5 z(z 1)(z 2) ] 10 z(z 1)(z 2) ] 10 (z 2) z(z 1)(z 2) = 10 = 5 e quindi x(0) =k 1 + k 2 + k 3 = = 0 Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

92 Silvi Simani - Lez4.tex 91 Cas k > 0. Si ttiene ra x(k) = 2 i=1 [ residu di ] 10z k 1 (z 1)(z 2) nel pl z = z i ve i residui valgn k 1 = lim z 1 k 2 = lim z 2 [ [ 10z k 1 (z 1) (z 1)(z 2) 10z k 1 (z 2) (z 1)(z 2) ] ] = 10 = 10(2 k 1 ) e quindi In definitiva si ttiene x(k) =k 1 + k 2 = (2 k 1 )=10(2 k 1 1) x(k) = { 0 k = 0 10(2 k 1 1) k = 1, 2, 3,... Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

93 Silvi Simani - Lez5.tex 92 Lezine 5 Campinament Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

94 Silvi Simani - Lez5.tex 93 Isistemi in retrazine cn cntrll digitale sn caratterizzati da una parte cntinua (il prcess da cntrllare) e una parte discreta (il cntrllre digitale) Sn quindi presenti sia variabili a temp discret sia variabili a temp cntinu Idispsitivi di interfaccia sn il campinatre e il ricstruttre Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

95 Silvi Simani - Lez5.tex 94 e(t) e(kt) x(kt) x r (t) Cntrllre Ricstruttre T Ricstruttre di rdine zer: x r (t) = k=0 x(kt)[h(t kt) h(t (k + 1)T)] X r (s) = k=0 x(kt) [ ] e kts e (k+1)ts s = 1 e Ts s k=0 x(kt)e kts Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

96 Silvi Simani - Lez5.tex 95 H 0 (s) = 1 e Ts s x (t) =L 1[ X (s) ] = X (s) = k=0 k=0 x(kt)e kts x(kt)δ(t kt) δ T (t) = k=0 δ(t kt) δ T (t) 1 0 T 2T 3T 4T 5T t x(t) X(s) δ T (t) x (t) X (s) x(t) X(s) δ T (t) x (t) X (s) Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

97 Silvi Simani - Lez5.tex 96 Il campinatre impulsiv è un mdell ideale del campinatre reale (cnvertitre A/D) cnsiderat adeguat alle esigenze di analisi e prgett dei cntrlli digitali L uscita del ricstruttre di rdine zer vale: X r (s) =H 0 (s) X (s) = 1 e Ts s X (s) x(t) x(kt) x r (t) Hld T δ T x(t) x (t) x r (t) 1 e Ts s Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

98 Silvi Simani - Lez5.tex 97 X (s) = k=0 x(kt)e kts z = e st s = 1 T ln z X (s) s= 1 T ln z = k=0 x(kt) z k La trasfrmata zeta della sequenza x(kt) anzichè la trasfrmata di Laplace del segnale x (t) permette di perare cn funzini razinali fratte. Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

99 Silvi Simani - Lez5.tex 98 x (t) = x(t) δ T (t) =x(t) n= δ(t nt) δ T (t) = n= c n e jnω st ne segue c n = 1 T T 0 δ T(t) e jnω st dt = 1 T x (t) = x(t) 1 T n= ejnω st = 1 T n= x(t) ejnω st Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

100 Silvi Simani - Lez5.tex 99 X (s) = 1 T n= [ ] L x(t) e jnω st = 1 T n= X(s jnω s ) A men della cstante mltiplicativa 1/T, la trasfrmata di Laplace X (s) del segnale campinat si ttiene dalla smma degli infiniti termini, X(s jnω s ), ciascun dei quali si ttiene dalla X(s) mediante traslazine di jnω s nel camp cmpless. L andament spettrale del segnale campinat vale: X (jω) = 1 T n= X(jω jnω s ) Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

101 Silvi Simani - Lez5.tex 100 X(jω) ω c 0 ω c ω X (jω) 1 3ω s 2 1 T ω s ωs 3ωs ω s ω s 0 ω c ω s 2ω s La cndizine ω s > 2ω c mantiene distint l spettr riginari dalle cmpnenti cmplementari per cui, mediante filtraggi, è pssibile ricstruire cmpletamente il segnale x(t) ω Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

102 Silvi Simani - Lez5.tex 101 Nel cas in cui la cndizine ω s > 2ω c nn è rispettata: X (jω) 1 T 2ω s ω s 0 ω s 2ω s L spettr riginari è parzialmente svrappst alle cmpnenti cmplementari cntigue per cui mediante filtraggi nn è più pssibile ricavare il segnale riginari a partire dal segnale campinat Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

103 Silvi Simani - Lez5.tex 102 Terema di Shannn Sia ω s = 2π T la pulsazine di campinament (T è il perid di campinament), e sia ω c la più alta cmpnente spettrale del segnale temp-cntinu x(t). Il segnale x(t) è cmpletamente ricstruibile a partire dal segnale campinat x (t) seeslselapulsazineω s è maggire del dppi della pulsazine ω c : ω s > 2ω c Ricstruzine mediante filtr ideale G I (jω) G I (jω) = { T ωs 2 ω ω s 2 0 altrve T ω s 2 0 ωs 2 Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

104 Silvi Simani - Lez5.tex 103 Il filtr ideale G I (jω) nn è fisicamente realizzabile. La sua rispsta all impuls vale: g I (t) = sin(ω st/2) ω s t/2 1-4T -3T -2T -T 0 T 2T 3T 4T Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

105 Silvi Simani - Lez5.tex 104 Frmula di ricstruzine di Shannn x(t) = x (τ) g I (t τ) dτ = k= x(kt) δ(τ kt)sin(ω s(t τ)/2) ωs(t τ)/2 = k= x(kt)sin(ω s(t kt)/2) ωs(t kt)/2 Occrrn tutti i campini x(kt) passati e futuri Si usan ricstruttri causali e facilmente realizzabili dτ Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

106 Silvi Simani - Lez5.tex 105 Aliasing: Cn il termine aliasing si indica quel fenmen per il quale, mediante campinament, si generan delle nuve cmpnenti spettrali (armniche) alla stessa frequenza della cmpnente spettrale di partenza che impediscn la crretta ricstruzine del segnale di partenza. Si può avere aliasing sl nel cas in cui la cndizine ω s > 2ω c del terema di Shannn nn sia verificata Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

107 Silvi Simani - Lez5.tex 106 Campinament della rispsta all impuls di un sistema del secnd rdine G(s) = 25 s 2 + 6s+ 25 IlsistemaG(s) ha un guadagn static unitari, ha due pli cmplessi cniugati p 1,2 = 3±j4, pulsazine naturale ω n = 5rad/s e cefficiente di smrzament δ = 3/5 G(s) = 25 (s + 3) Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

108 Silvi Simani - Lez5.tex 107 Diagramma delle ampiezze di G(jω): scala lgaritmica 0 G(jw) (db) scala lineare G(jw) Per ω>10ω n = 50 rad/s = ω, l ampiezza di G(jω) è inferire ad un centesim (-40 db) del guadagn static Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

109 Silvi Simani - Lez5.tex 108 L spettr, pur essend a banda tericamente illimitata, risulta essere praticamente trascurabile per pulsazini maggiri di ω = 50 rad/s Applicand la Z-trasfrmata si ha La rispsta spettrale è data da G(z) = 25 4 e 3T sin(4t) z z 2 2e 3T cs(4t) z + e 6T G (jω) =G(z) z=e jωt 0 ω π T Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

110 Silvi Simani - Lez5.tex 109 Andament spettrale di G (jω) quand T = π 50 e T = π Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

111 Silvi Simani - Lez6.tex 110 Lezine 6 Ricstruttri di segnale - relazine tra pian S e pian Z Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

112 Silvi Simani - Lez6.tex 111 Tipici ricstruttri di segnale x(kt) Ricstruttre x r (t) x(t) =x(kt)+ dx(t) dt (t kt)+ t=kt + d2 x(t) dt 2 t=kt (t kt) 2 2! + dx(t) dt t=kt x(kt) x((k 1)T) T... Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

113 Silvi Simani - Lez6.tex 112 Ricstruttre di rdine zer x 0 (t) =x(kt) kt t < (k + 1)T g 0 (t) 1 H 0 (s) = 1 e st s 0 T Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

114 Silvi Simani - Lez6.tex 113 Ricstruttre di rdine un x 1 (t) =x(kt) + x(kt) x((k 1)T) (t kt) T g 1 (t) 1 2T 0 T H 1 (s) = 1 + Ts ( 1 e st T s ) 2 Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

115 Silvi Simani - Lez6.tex 114 La rispsta frequenziale del ricstruttre di rdine zer: H 0 (jω)= 1 e jωt jω = 2e jωt/2 ω e jωt/2 e jωt/2 2j = T sin(ωt/2) ωt/2 e jωt/2 Mdul Fase H 0 (jω) = T sin(ωt/2) ωt/2 Arg [H 0 (jω)] = Arg [ sin ωt 2 ] ωt 2 Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

116 Silvi Simani - Lez6.tex 115 Ricstruttre di rdine zer Scala lineare 0 Scala lgaritmica 1 H(jW) /T 0.5 H(jW) /T (db) W/Ws W/Ws 0 0 Fase (deg) Fase (deg) W/Ws W/Ws Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

117 Silvi Simani - Lez6.tex 116 Crrispndenza tra pian s e pian z X (s) =X(z) z=e st Le variabili cmplesse s e z sn legate dalla relazine z = e st Pst s = σ + jω si ha z = e T(σ+jω) = e Tσ e jtω = e Tσ e jt(ω+2kπ T ) Ogni punt del pian z è in crrispndenza cn infiniti punti del pian s Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

118 Silvi Simani - Lez6.tex 117 Ipunti del pian s a parte reale negativa (σ <0) sn in crrispndenza cn i punti del pian z all intern del cerchi unitari: z = e Tσ < 1 Ipunti sull asse immaginari (σ = 0) vengn mappati sul cerchi unitari ( z = 1), mentre quelli a parte reale psitiva (σ > 0) vengn mappati all estern del cerchi unitari ( z > 1). La striscia di pian s delimitata dalle rette rizzntali s = jω s /2 e s = jω s /2 prende il nme di striscia primaria Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

119 Silvi Simani - Lez7.tex 118 Lezine 7 Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

120 Silvi Simani - Lez7.tex 119 Striscia primaria e Strisce cmplementari Striscia cmplementare Striscia cmplementare Striscia primaria Striscia cmplementare Striscia cmplementare jω j ω s 2 j 3ω s 2 j ω s 2 j 3ω s 2 j 5ω s 2 pian s Im 1 0 σ 0 1 Re j ω s 2 1 pian z Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

121 Silvi Simani - Lez7.tex 120 Le variabili cmplesse s e z sn legate dalla relazine z = e st Pst s = σ + jω si ha dve z = e T(σ+jω) = e Tσ e jtω 0 ω ω s 2 = π T Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

122 Silvi Simani - Lez7.tex 121 Mapping tra striscia primaria e pian z 4 5 Striscia primaria jω pian s j ω s 2 j ω s 4 j ω s Im σ 0 Re j ω s 4 7 pian z Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

123 Silvi Simani - Lez7.tex 122 Ipunti del pian s e del pian z, psti in crrispndenza per mezz della relazine z = e st, pssn essere cnsiderati cme pli crrispndenti di trasfrmate F(s) ed F(z), cn F(z) calclata campinand F(s) j ω s 2 j ω s 2 jω pian s σ jω pian z σ Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

124 Silvi Simani - Lez7.tex 123 Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

126 Silvi Simani - Lez8.tex 125 Esempi: calcl dell uscita tra istanti di campinament R(z) C(z, m) P(z) H(s) G(s) e τ s c(t τ) C(z) Cn P(z) =1.5, G(s) = 1 s+1 e T = 1ssi ha C(z, m) R(z) = P(z) HG(z, m) 1 + P(z) HG(z) Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

127 Silvi Simani - Lez8.tex 126 [(1 e HG(z, m) = z 1 mt )+(e mt e T )z 1] 1 e T z 1 HG(z) = (1 e T )z 1 1 e T z 1 C(z, m) = 1.5 [ z 1 (1 e mt )+(e mt e T )z 1] R(z) z 1 Nel cas in cui R(z) sia un gradin unitari: C(z, m) = 1.5 z 1 [ (1 e mt )+(e mt e T )z 1] z z 2 Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

128 Silvi Simani - Lez8.tex 127 C(z, m) =1.5(1 e mt )z (0.58 e mt )z Uscita del sistema e uscita ritardata (a) (b) 0.3 (c) t (s) Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

129 Silvi Simani - Lez8.tex 128 Stabilità dei sistemi discreti Stabilità semplice Stabilità asinttica Y(z) U(z) Stabilità ingress limitat - uscita limitata = G(z) =B(z) A(z) Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

130 Silvi Simani - Lez8.tex 129 Il cmprtament dinamic di un sistema G(z) = B(z) A(z) dipende dai pli di G(z), ciè dalle radici del plinmi A(z). Esempi G(z) = 4z az = 4 1 z + a in rispsta a u(0) =1, u(k) =0, k > 0; in crrispndenza ai valri a = 0.75, a = 0.75, a = 1.25, a = 1.25, a = 1, a = 1 Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

131 Silvi Simani - Lez8.tex 130 Y(z)(1 + az 1 )=4z 1 U(z) y(k) = ay(k 1) +4u(k 1) y(0) = 0 y(1) = 4u(0) =4 y(2) = ay(1) +4u(1) = 4a y(3) = ay(2) +4u(2) =4a 2 y(4) = ay(3) +4u(3) = 4a 3 y(5) = ay(4) +4u(4) =4a 4... y(k) = ay(k 1) +4u(k 1) =4( a) k 1 Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

132 Silvi Simani - Lez8.tex (a) Pl in pl in z=0.75 (b) Pl in pl in z=-0.75 Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

133 Silvi Simani - Lez8.tex (c) Pl in pl in z=1.25 (d) Pl in pl in z=-1.25 Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

134 Silvi Simani - Lez8.tex (e) Pl in pl in z=1 (f) Pl in -1 pl in z=-1 Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

135 Silvi Simani - Lez8.tex 134 R(z) G(z) C(z) (a) R(s) R(z) G(z) D(z) SH G(s) T - T T C(s) C(z) (b) G 0 (z) = D(z)G(z) 1 + D(z)G(z) Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

136 Silvi Simani - Lez8.tex 135 Sia dat un sistema descritt da G(z) = B(z) A(z) ppure G 0(z) = D(z)G(z) 1 + D(z)G(z) Il sistema è asintticamente stabile se e sl se tutte le radici del plinmi A(z) ( del plinmi 1 + D(z)G(z)), ciè i pli del sistema, sn entr il cerchi di raggi unitari cn centr nell rigine del pian z ssia p i < 1, i. Il sistema è stabile se tutti i pli a mdul unitari p i = 1 sn pli semplici (la lr mlteplicità è 1), mentre tutti i rimanenti pli sn entr il cerchi unitari. Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

137 Silvi Simani - Lez8.tex 136 Si deve rislvere una equazine plinmiale: z n + a 1 z n a n = 0 la cui sluzine è agevle sl per piccli valri di n Tre metdi: 1. utilizzare una trasfrmazine bilineare ed applicare il criteri di Ruth-Hurwitz; 2. utilizzare il criteri di Jury che elabra direttamente i cefficienti di A(z), ciè del denminatre di G(z) 3. criteri di Nyquist Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

138 Silvi Simani - Lez8.tex 137 Trasfrmazine bilineare e criteri di Ruth-Hurwitz z = 1+w 1 w w = z 1 z+1 Il cerchi unitari in z crrispnde al semipian sinistr del pian w e viceversa Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

139 Silvi Simani - Lez8.tex 138 z = 1+w 1 w = 1+σ+jω 1 σ jω < 1 (1 + σ) 2 + ω 2 (1 σ) 2 + ω 2 < 1 z = 1 (1 + σ) 2 + ω 2 < (1 σ) 2 + ω 2 σ<0 (1 + σ) 2 + ω 2 =(1 σ) 2 + ω 2 σ = 0 Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

140 Silvi Simani - Lez8.tex 139 Per l analisi della stabilità di una funzine G(z) (G 0 (z)) si prcede cme segue: 1. si cnsidera l equazine caratteristica P(z) =z n + a 1 z n a n 1 z + a n = 0 2. si effettua la trasfrmazine ( ) 1 + w n ( ) 1 + w n w + a a n 1 1 w 1 w 1 w + a n = 0 dacuisittiene Q(w) =q 0 w n + q 1 w n q n 1 w + q n = 0 3. applicand il criteri di Ruth-Hurwitz, si studian quindi i segni delle radici di Q(w) Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

141 Silvi Simani - Lez8.tex 140 Esempi: G(z) = z + 1 z 3 + 2z 2 + z + 1 ( ) 1 + w 3 ( ) 1 + w w 1 w 1 w 1 w + 1 = 0 w 3 + 3w 2 + w + 5 = 0 Il sistema ha un pl instabile /3 0 5 Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

142 Silvi Simani - Lez8.tex 141 Criteri di Jury P(z) =a 0 z n + a 1 z n 1 + a 2 z n a n 1 z + a n cn a 0 > 0. La tabella di Jury è la seguente: z 0 z 1 z 2 z n 1 z n 1 a n a n 1 a 2 a 1 a 0 2 a 0 a 1 a 2 a n 1 a n 3 b n 1 b n 2 b 1 b 0 4 b 0 b 1 b n 2 b n 1 5 c n 2 c 1 c 0 6. c 0. c 1.. c n 2. 2n 5 p 3 p 2 p 1 p 0 2n 4 p 0 p 1 p 2 p 3 2n 3 q 2 q 1 q 0 Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

143 Silvi Simani - Lez8.tex 142 Gli elementi delle righe dispari da 3 a (2n 3) sn i seguenti determinanti b k = c k =. q k = a n a n 1 k a 0 a k+1 b n 1 b n 2 k b 0 b k+1 p 3 p 2 k p 0 p k+1 k = 0, 1, 2 k = 0, 1, 2,...,n 1 k = 0, 1, 2,...,n 2 Gli elementi delle righe pari sn semplicemente gli elementi delle righe dispari in rdine ppst Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

144 Silvi Simani - Lez8.tex 143 Affinchè il sistema sia stabile: 1. a n < a 0 ; 2. P(z) z=1 > 0; 3. P(z) z= 1 = 4. b n 1 > b 0, c n 2 > c 0,. q 2 > q 0 { > 0 n pari < 0 n dispari Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

145 Silvi Simani - Lez8.tex 144 Esempi: P(z) =z 3 + 2z 2 + z < 1, nn verificata; 2. P(1) =5, verificata; 3. P( 1) =1 0, nn verificata. Il sistema risulta instabile Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

146 Silvi Simani - Lez8.tex 145 Esempi: P(z) =z z z z In quest cas i cefficienti sn a 0 = 1, a 1 = 1.4, a 2 = 0.71, a 3 = 1.154, a 4 = 0.012, e le cndizini per il test di Jury divengn < 1; 2. P(1) =3.276 > 0; 3. P( 1) = > 0 (n = 4 pari); Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

147 Silvi Simani - Lez8.tex la tabella di Jury è la seguente: e quindi 1 > > 0.51 Tutte le cndizini sn rispettate e quindi si può cncludere che il sistema è stabile Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

149 Silvi Simani - Lez9.tex 148 Specifiche di prgett di sistemi di cntrll Specifiche che il sistema deve sddisfare, in cndizini statiche ( di regime) e durante i transitri: - Precisine a regime: ci si riferisce cn questa alla capacità di un sistema di seguire alcuni segnali di riferiment cn il minim errre - Rispsta nel transitri: ci si riferisce all andament per tempi finiti dell uscita del sistema in retrazine in rispsta a segnali tipici in ingress Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

150 Silvi Simani - Lez9.tex Stabilità relativa: ci si riferisce ai margini di stabilità - Sensitività parametrica: ci si riferisce al fatt che le prestazini del sistema nn vengan alterate dalle variazini di certi parametri - Reiezine di disturbi: ciè la capacità del sistema cntrllat di ridurre al minim l influenza sull uscita di eventuali disturbi che entran nell anell di cntrll - Sfrz di cntrll: ci si riferisce all ampiezza massima della variabile maniplabile v(t), sull energia entrante nel sistema Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

151 Silvi Simani - Lez9.tex 150 Errri a regime (cas cntinu) R(s) E(s) D(s) G(s) C(s) G(s) = K(1 + q 1s)(1 + q 2 s)...(1 + q m s) s N (1 + p 1 s)(1 + p 2 s)...(1 + p p s) Università di Ferrara, Dipartiment di Ingegneria Crs di Cntrll Digitale

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