Luogo delle radici per K > Real

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1 Controlli Automatici B Giugno - Esercizi Nome: Nr. Mat. Firma: Nr. a) Sia dato il seguente sistema retroazionato: r(t) e(t) K G(s) (s+)(s+) s(s )(s+5) y(t) a.) Tracciare qualitativamente il luogo delle radici del sistema retroazionato al variare del parametro K >. Determinare esattamente la posizione degli asintoti, le intersezioni ω con l asse immaginario e i corrispondenti valori del guadagno K. Determinare la posizione di eventuali punti di diramazione solo in modo qualitativo. Sol. L equazione caratteristica del sistema retroazionato è: +K G (s) = +K (s+)(s+) s(s )(s+5) = dove K = K. L andamento qualitativo del luogo delle radici del sistema G (s) per K = K > é mostrato in Fig.. Il luogo delle radici ha due asintoti verticali. Il centro degli Luogo delle radici per K > Figura : Luogo delle radici del sistema G (s) per K = K > asintoti è: σ a = ( ) = 3. L intersezione con l asse immaginario si calcola applicando il criterio di Routh alla seguente equazione caratteristica: +K (s+)(s+) s(s )(s+5) = s +9s 3 +(K +5)s +(3K 5)s+K =

2 La corrispondente tabella di Routh è la seguente Il sistema retroazionato é stabile se K +5 K 3 9 3K 5 6K +6 8K (6K +6)(3K 5) 6K 8K K > 6, 8K +68K >, K >. Dalla seconda disequazione si ha che: K < 3 6 =.8, K > =.95, Quindi il sistema retroazionato é stabile se K > =.95 = K L intersezione con l asse immaginario si ha in corrispondenza della pulsazione: ω = 3K 5 9 =.93. a.) Sia la seguente funzione di trasferimento che descrive la dinamica di una frizione idraulica: G(s) = K m m p s 3 +(+m p )s +(+K m )s+k m Utilizzando la metodologia del contorno delle radici mostrare come si spostano sul piano complesso i poli della funzione G(s) al variare di m p > quando K m =. Determinare la posizione di eventuali punti di diramazione solo in modo qualitativo. Sol. I poli della funzione G(s) coincidono con gli zeri del polinomio a denominatore della funzione G(s): m p s 3 +(+m p )s +(+K m )s+k m = Posto K m =, i poli della funzione G(s) sono le soluzioni della seguente equazione: m p s 3 +(+m p )s +3s+ = che puó essere riscritta nel seguente modo +m p G (s) = : s +3s++m p s (s+) = +m p s (s+) s +3s+ = Mettendo in evidenza i poli della funzione G (s) si ottiene: + m p s (s+) (s+.38)(s+.68) = Il contorno delle radici al variare del parametro m p > è mostrato in Fig.. Nel contorno delle radici è presente un solo asintoto coincidente con il semiasse reale negativo, percorso dall infinito a finito. a.3) Facendo sempre riferimento alla funzione di trasferimento G(s) definita al punto a., mostrare come si spostano sul piano complesso i poli della funzione G(s) al variare di K m > quando m p =. Determinare esattamente la posizione e il centro degli asintoti e determinare per quale valore K m del parametro K m il sistema G(s) presenta il minimo tempo di assestamento alla risposta al gradino.

3 3 Luogo delle radici Figura : Luogo delle radici del sistema G (s) al variare del parametro m p >. Sol. Posto m p =, i poli della funzione G(s) sono le soluzioni della seguente equazione: s 3 +s +(+K m )s+k m = che puó essere riscritta nel seguente modo +K m G (s) = : s 3 +s +s+k m (s+) = +K m (s+) s(s +s+) = Mettendo in evidenza i poli della funzione G (s) si ha: + K m(s+) s[(s+) + ] = Il contorno delle radici al variare del parametro K m > è mostrato in Fig. 3. Nel contorno 6 Luogo delle radici 5 3 σ a Figura 3: Luogo delle radici del sistema G (s) al variare del parametro K m >. delle radici sono presenti asintoti. Il centro degli asintoti è: σ a = ( +) =.5

4 Il sistema G s presenta il minimo tempo di assestamento alla risposta al gradino quando è massima la distanza dei poli della G(s) dall asse immaginario. Tale distanza è massima quando i poli sono allineati. In questo caso il sistema ha grado relativo r = per cui l ascissa σ della condizione di allineamento può essere calcolata utilizzando il teorema del baricentro: 3 3σ = p i = σ = 3 =.666 i= Il valore K m del parametro K m per cui si ha l allineamento dei poli si calcola nel seguente modo: K m = G (s) =. s=σ b) Siano date le seguenti due funzioni di risposta armonica dei sistemi G a (s) e G b (s): Mag [db] 3 Sistema G a (s): diagramma di Nichols Sistema G b (s): diagramma di Nyquist Phase [degrees] b.) Per il sistema G a (s), progettare una rete correttrice in modo da garantire al sistema compensato un margine di fase M ϕ = 6 o. Scegliere il valore della pulsazione ω che si ritiene più opportuno. Sol. La specifica sul margine di fase M ϕ = 6 o definisce completamente la posizione del punto B = M B e jϕ B : M B = e ϕ B =. La regione ammissibile è mostrata in grigio in Fig.. Il punto A = G b (jω A ) scelto per la sintesi della rete correttrice è quello corrispondente alla pulsazione ω A =.5: M A = G(jω A ) =.5, ϕ A = arg[g(jω A )] = 86.. Sostituendo i valori di M, ϕ e ω = ω A all interno delle formule di inversione si ottengono i valori dei parametri τ = 3.79 e τ =.3 della rete correttrice C(s): M = M B M A =.38, ϕ = ϕ B ϕ A = C (s) = (+3.79s) (+.3s). Il diagramma di Nichols delle funzioni G a (s) e C (s)g a (s) sono mostrati in Fig.. Sintesi della rete correttrice C (s) con altri valori della pulsazione ω A : ω A =[ ] M A =[ ] ϕ A =[ ] M =[ ] ϕ =[ ] τ =[ ] τ =[ ] b.) Per il sistema G b (s), progettare una rete correttrice in grado di garantire al sistema compensato un margine di ampiezza M a =. Scegliere il valore della pulsazione ω che si ritiene più opportuno.

5 5 3 Sistema G a (s): diagramma di Nichols Mag [db] A.7..8 B Phase [degrees] Figura : Diagrammi di Nichols delle funzioni G a (s) e C (s)g a (s). Sol. La posizione del punto B è completamente determinata dalla specifica di progetto B = M B e jϕ B : M B =.5 e ϕ B = 8. La regione di ammissibilitá è mostrata in grigio in Fig. 5. Il punto A = G a (jω A ) scelto per il progetto è quello corrispondente alla pulsazione ω A = : M A = G(jω A ) =.83, ϕ A = arg[g(jω A )] = Sostituendo i valori di M, ϕ e ω all interno delle formule di inversione si ottengono i valori dei parametri τ =.3 e τ = della rete correttrice C (s): M = M B M A =.879, ϕ = ϕ B ϕ A = 7.75 C (s) = (+.3s) (+s). Il diagramma di Nyquist delle funzioni G b (s) C (s)g b (s) sono mostrati in Fig. 5. Sintesi della rete correttrice C (s) con altri valori della pulsazione ω A : ω A =[.7.] M A =[ ] ϕ A =[ ] M =[ ] ϕ =[ ] τ =[ ] τ =[ ] b.3) Sempre per il sistema G b (s) progettare i parametri K, τ e τ di una rete anticipatrice C(s) = K +τ s +τ s inmododagarantirealsistemacompensatounmarginedifasem ϕ = 5 in corrispondenza della pulsazione ω A = 3.9. Soluzione. La specifica sul margine fase M ϕ = 5 definisce completamente la posizione del punto B = M B e jϕ B : M B = e ϕ B = 3. La regione ammissibile è mostrata in grigio in Fig. 6. Il punto A = G(jω A ) che deve essere portato in B è quello assegnato corrispondente alla pulsazione ω A = 3.9: M A = G(jω A ) =.5, ϕ A = arg[g(jω A )] = 8. Tale punto puó essere portato in B usando la rete anticipatrice assegnata solamente se il parametro K viene scelto in modo che il punto A = KA appartenga alla regione di

6 6.5 Sistema G b (s): diagramma di Nyquist.5.5 A B Figura 5: Diagrammi di Nyquisty delle funzioni G b (s) e C (s)g b (s). ammissibilitá. Se si sceglie per A il valore A =.3, si ottiene K = A A =.6. I valori di M e ϕ da usare nelle formule di inversione vanno ora calcolati utilizzando le coordinate polari dei punti A e B: M = M B M A = 33, ϕ = ϕ B ϕ A = 5 C 3 (s) = (+.95s) (+.6s). Sostituendo tali valori all interno delle formule di inversione si ottengono i parametri τ =.95 e τ =.6. I diagrammi di Nyquist delle funzioni G b (s), KG b (s) e KC 3 (s)g b (s) sono mostrati in Fig. 6. y(x) c) Si consideri il seguente sistema non lineare retroazionato: G (s) r 3K e x s(s+6) y N.L. 6 (s+3) H(s) c.) Posto K =, calcolare i punti di lavoro (x i, y i ) corrispondenti ai valori r = ed r = dell ingresso r. Sol. I guadagni statici delle funzioni G (s), G (s) e H ( s), rispettivamente, sono: K =, K =, K 3 =. La retta di carico della parte lineare del sistema è una retta orizzontale di ordinata: y = r K K 3 = r. Quando r = r = la retta di carico è y = e il sistema presenta tre punti di lavoro: (x, y ) = (, ), (x, y ) = (3, ), (x 3, y 3 ) = (6, ). x

7 7 Sistema KC 3 (s)g b (s): diagramma di Nyquist A..7.8 B Figura 6: Diagrammi di Nyquist delle funzioni G b (s) e KC 3 (s)g b (s). Quando r = r = la retta di carico è y = 6. In questo caso il punto di lavoro è: (x, y ) = (9, 6). c.) Posto K =, utilizzare il criterio del cerchio per verificare se il sistema retroazionato è stabile nell intorno del punto (x, y ) = (9, 6). Sol. Le pendenze α e β di rette che centrate nel punto (x, y ) = (9, 6) racchiudono a settore tutta la non linearità sono le seguenti: α = 6 5 = 5 =., β =. Il cerchio critico interseca il semiasse reale negativo nei punti: α = 5 6 =.5, β = Il margine di ampiezza K e la pulsazione ω della funzione G(s) = G (s)g (s)h(s) si determinano utilizzando il criterio di Routh: G(s) = 8 s(s+3)(s+6) Il valore di K è maggiore di β: K = (3+6) K = 9 > β = = 9, ω = 8 =.. e il diagramma di Nyquist della funzione G(s) non interseca il cerchio critico. Quindi, in base al criterio del cerchio, si può affermare che il sistema retroazionato è asintoticamente stabile nell intorno del punto di lavoro. In Fig. 7 è mostrato il diagramma di Nyquist della funzione G(s) sovrapposto al cerchio critico. c.3) Disegnare in modo qualitativo l andamento della funzione descrittiva F(X) della non linearità y(x) nell intorno del punto (, ). Utilizzare le variabili m, m, m 3,... per rappresentare gli eventuali valori minimi e massimi non noti della funzione F(X). Sol. L andamento qualitativo della funzione descrittiva F(X) è mostrato in Fig. 8. Indichiamo: a)conm ilvaloredellafunzionef(x)perx = 3; b)conm ilvaloreminimodellafunzione

8 8 Funzione non lineare y(x) β.5 Diagramma di Nyquist 8 6 r.c. α y(x) cerchio critico x Figura 7: Diagramma di Nyquist della funzione G(s) e cerchio critico. Funzione descrittiva Diagramma di Nyquist F(X) m m X m c) b) F(X) a) Figura 8: Andamento della funzione descrittiva F(X).

9 9 F(X) per X = 6; c) con m 3 = il valore finale a cui tende la funzione F(X) per X. 3 Il valore m può essere calcolato esattamente sono conoscendo con precisione la funzione F(X). Il primo tratto della funzione descrittiva coincide con la funzione F(X di un relè ideale: F(X) = 8 πx Utilizzando questa funzione si può calcolare il valore del parametro m : m = F(X) X=3 = 8 πx = 8 X=3 π3 =.89. c.) Discutere qualitativamente, anche in funzione dei parametri m, m, m 3,..., l esistenza o meno di cicli limite nel sistema retroazionato al variare del guadagno K >. Sol. Per K =, il margine di ampiezza K del sistema G (s) è K = 9. Per K, il margine di ampiezza K del sistema KG (s) è K = K = 9. Al variare di K K K si possono avere le seguenti condizioni di funzionamento: a) Per K > m 3 =.666 il diagramma di Nyquist della G(s) interseca la funzione /F(X) in un solo punto a cui corrisponde un ciclo limite stabile. b) Per m < K < m 3, il diagramma di Nyquist della G(s) interseca la funzione /F(X) in due punti a cui corrispondono un ciclo limite stabile (il primo) e uno instabile (il secondo). c)perk < m, lafunzione /F(X)ètuttainternaaldiagrammacompletodellafunzione G(s) per cui non vi sono cicli limite e il sistema retroazionato è instabile. c.5) Posto K =, calcolare l ampiezza X e la pulsazione ω del più piccolo ciclo limite stabile presente nel sistema retroazionato. Sol. Posto K =, il margine di ampiezza K del sistema KG(s) è K = 9. Tale valore è maggiore di m per cui nel sistema retroazionato è presente un solo ciclo limite stabile di cui è possibile calcolare l ampiezza X utilizzando la funzione F(X): F(X ) = K 8 πx = 9 X = 8 9π =.83. La pulsazione ω del ciclo limite coincide con quella del punto di intersezione della G(s) con il semiasse reale negativo ω = 8 =.. d) Sia dato il sistema retroazionato riportato sotto e i diagrammi di Bode della funzione G(s) riportati a fianco. 5 Diagramma dei moduli r e x y C(s) G(s) Progettare una rete correttrice C(s) in modo da garantire al sistema compensato un margine di fase M ϕ = 5 in corrispondenza della pulsazione ω A =. Mag (db) Phase (deg) Diagramma delle fasi Frequency [rad/s] Sol. Il modulo e fase del punto B sono univocamente determinati dalla specifica sul margine di fase M ϕ = 5 : M B =, ϕ B = 3 o

10 Il modulo e la fase del punto A alla pulsazione ω A = si leggono direttamente dai diagrammi di Bode della funzione G(s): M A =.8, ϕ A = 53.7 o M = M B M A =.3, ϕ = 3.7 o La rete correttrice C(s) si ottiene utilizzando le formule di inversione: τ = M cosϕ ω sinϕ =.8597, τ = cosϕ M ω sinϕ =.7 C(s) = s +.7s e) Utilizzando il metodo delle differenze all indietro, discretizzare la seguente rete correttrice: D(s) = M(s) E(s) = (s+3) s(s+) giungendo anche alla determinazione della corrispondente equazione alle differenze. Si utilizzi il periodo di campionamento T =.. Sol. Utilizzando il metodo delle differenze all indietro si ottiene: D(z) = (s+3) T(+3T z ) = s(s+) ( z )(+T z ) = Per T =. si ha: s= z T D(z) = M(z) E(z) =.3.z..z +z La corrispondente equazione alle differenze assume la forma seguente: da cui si ottiene: T +3T T z +T (+T)z +z m(k) = [.m(k ) m(k )+.3e(k).e(k )]. m(k) =.99m(k ).99m(k )+.8e(k).99e(k )] f) Sia x(t) un segnale periodico posto in ingresso ad un elemento non lineare N.L. caratterizzato dalla funzione descrittiva F(X) riportata sotto. Indicare qual è l andamento temporale y (t) della fondamentale del segnale periodico che si ha all uscita del blocco non lineare: N.L. x(t) = 3 sin(5t) F(X)= 8 y (t) = 6 sin(5t) =. sin(5t) 3π πx X L ampiezza Y (X) della fondamentale y (t) del segnale periodico che si ha all uscita del blocco non lineare si ottiene nel seguente modo: Y (X) = F(X)X X=3 = 8 = π X X=3 8 π 9 = 6 3π..

11 Controlli Automatici B Giugno - Domande Teoriche Nome: Nr. Mat. Firma: Nr. Rispondere alle domande e ai test che seguono. Per ciascuno dei test segnare con una crocetta le affermazioni che si ritengono giuste. La risposta al test è considerata corretta solo se tutte le affermazioni corrette sono state contrassegnate.. Calcolare le successioni discrete x(k) corrispondenti alle seguenti funzioni complesse X(z): X(z) = z (z e 3T ) x(k) = e 3kT X(z) = 3T z (z ) x(k) = 3kT. Scrivere la funzione di trasferimento G(s) di un regolatore standard PI e a fianco disegnare qualitativamente il corrispondente diagramma di Bode dei moduli: G(s) = K ( + ) T d s z ω 3. Posto T = e utilizzando la corrispondenza tra piano-s e piano-z, calcolare il tempo di assestamento T a della risposta impulsiva g(k) del sistema discreto G(z) = z z.5 : T a = 3 ln(.5) =.3 s.. Quella riportata a fianco è la funzione descrittiva F(X) di una non linarità posta in retroazione su di un sistema lineare G(s) caratterizzato da un margine di ampiezza M α =.8. Fornire una stima dell ampiezza X di ciascun ciclo limite (stabile e instabile) eventualmente presente all interno del sistema retroazionato: X.5 X X 3. Stabile? si Stabile? no Stabile? si describing function Sia dato il seguente sistema retroazionato. Per la presenza del relé ideale il sistema sicuramente oscilla. Fornire il valore della pulsazione ω di oscillazione: r e x e 3s y s ω = π 6 = Calcolare la soluzione y(n) della seguente equazione alle differenze a partire dalla condizione iniziale y() = : y(n+).3y(n) = y(n) = (.3) n.

12 corrispondente alla seguente equazio- 7. Scrivere la funzione di trasferimento discreta G(z) = Y(z) X(z) ne alle differenze: y k = 3y k y k y k 3 + x k +5x k G(z) = 8. ) Disegnare qualitativamente il luogo delle radici del seguente sistema retroazionato: G(s) = K (s+) 3 al variare del parametro K >. ) Quando dei 3 poli del sistema retroazionato si trovano sull asse immaginario, p, = ±jω, il terso polo p 3 dove si trova? p 3 = 6 3) Determinare per quale valore K di K i due poli p, = ±jω del sistema retroazionato si trovano sull asse immaginario e il terzo polo p 3 si trova nel punto calcolato in ): K = G(s) = 6 s= 6 +5z +3z +z +z 3 6 Luogo delle radici Calcolare il valore iniziale y = limy(k) e il valore finale y = lim y(k) del segnale y(k) k k corrispondente alla seguente funzione Y(z): Y(z) = z(z +) (z )(z +.5) y =, y =. La funzione discreta D(z) riportata sotto è stata ottenuta dalla funzione D(s) utilizzando il metodo della corrispondenza poli-zeri. Calcolare il parametro k imponendo l uguaglianza dei guadagni alle alte frequenze: D(s) = s+ s D(z) = k z e T z k = +e T,. Un sistema in retroazione negativa avente G(s) sul ramo diretto, H(s) sul ramo di retroazione e con un elevato guadagno statico d anello è poco sensibile alle variazioni parametriche di H(s) è poco sensibile alle variazioni parametriche di G(s) presenta una forte attenuazione dei disturbi costanti agenti sul sistema. Fornire una stima della larghezza di banda ω f e del tempo di salita t r del sistema G (s) di cui a fianco è riportato il diagramma di Bode dei moduli: ω f. t r.5 Fornire inoltre una stima della larghezza di banda ω f e del tempo di salita t r del corrispondente sistema retroazionato: Mag (db) 3 Diagramma dei moduli ω f 7 t r 7 Frequency [rad/s]