SISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO

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1 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. /35 SISEMI DIGIALI DI CONROLLO Prof. Alessandro De Luca DIS, Università di Roma La Sapienza Lucidi tratti dal libro C. Bonivento, C. Melchiorri, R. Zanasi: Sistemi di Controllo Digitale Capitolo 3: Campionamento e ricostruzione Si ringraziano gli autori

2 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. /35 Campionamento e ricostruzione I sistemi in retroazione con controllo digitale sono caratterizzati da una parte continua (il processo da controllare) e una parte discreta (il controllore digitale) Sono quindi presenti sia variabili a tempo discreto sia variabili a tempo continuo I dispositivi di interfaccia sono il campionatore e il ricostruttore (o organo di tenuta) e(t) e(k) x(k) x r (t) Controllore Ricostruttore Il più semplice ricostruttore è quello di ordine zero (Zero-Order Hold = ZOH). Per x r (t) = x(k)[h(t k) h(t (k + ))] (x(t) = 0, t < 0) k=0 X r (s) = [ e ks e (k+)s ] x(k) = e s s s k=0 x(k)e ks k=0

3 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 3/35 Campionamento impulsivo H 0 (s) = e s s X (s) = x(k)e ks k=0 x (t) = L [X (s)] = x(k)δ(t k) = x(t)δ (t) k=0 δ (t) δ (t) = δ(t k) k= t x(t) X(s) δ (t) x (t) X (s) x(t) X(s) δ (t) x (t) X (s)

4 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 4/35 Campionamento impulsivo Il campionatore impulsivo è un modello ideale di quello reale (convertitore A/D, con sampling and hold) ed è adeguato alle esigenze di analisi/progetto di controllori digitali L uscita del ricostruttore di ordine zero vale X r (s) = H 0 (s) X (s) = e s s X (s) x(t) x(k) x r (t) ZOH x(t) x (t) e s x r (t) δ s X (s) = x(k)e ks k=0 z = e s s = lnz X (s) s = lnz = x(k) z k = X(z) k=0

5 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 5/35 Campionamento impulsivo 3 La trasformata Z della sequenza x(k), anzichè la trasformata di Laplace del segnale x (t), permette di operare con funzioni razionali fratte. Dalla x (t) = x(t) δ (t) = x(t) δ(t n) (x(t) = 0, t < 0) δ (t) = c n e j nω st n= n= dove c n = 0 δ (t) e j nω st dt = con ω s = π nello sviluppo in serie di Fourier del segnale periodico δ (t), segue x (t) = x(t) e j nωst = x(t) e j nω st n= n= X (s) = n= L [ x(t) e j nω st ] = n= X(s j nω s ) A meno della costante moltiplicativa /, la trasformata di Laplace X (s) del segnale campionato si ottiene dalla somma degli infiniti termini X(s j nω s ), ciascuno dei quali si ottiene dalla X(s) mediante traslazione di j nω s nel campo complesso

6 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 6/35 Campionamento impulsivo 4 L andamento spettrale (in frequenza) del segnale campionato è il seguente X (jω) = X(jω j nω s ) n= Per un segnale x(t) a banda limitata (nessuna componente frequenziale oltre la pulsazione ω c ) X(jω) ω c 0 ω c ω si hanno componenti complementari oltre a quella primaria (in banda base) X (jω) ω s ω s 0 ω c ω s ω s 3ω s ω s ω s 3ω s ω

7 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 7/35 Ricostruttore di ordine zero e campionamento impulsivo La condizione ω s > ω c mantiene distinto lo spettro originario dalle componenti complementari per cui, mediante filtraggio, è possibile ricostruire completamente il segnale x(t) a partire da quello campionato x (t) Nel caso in cui la condizione ω s > ω c non sia rispettata X (jω) ω s ω s 0 ω s ω s lo spettro originario è parzialmente sovrapposto alle componenti complementari contigue per cui, mediante filtraggio, non è più possibile ricavare il segnale originario a partire dal segnale campionato

8 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 8/35 eorema di Shannon Sia ω s = π la pulsazione di campionamento ( = periodo di campionamento) e sia ω c la più alta componente spettrale del segnale a tempo continuo x(t). Il segnale x(t) è completamente ricostruibile a partire dal segnale campionato x (t) se e solo se la pulsazione ω s è maggiore del doppio della pulsazione ω c ω s > ω c Ricostruzione mediante filtro ideale G I (jω) = G I (jω) { ω s ω ω s 0 altrove 0 ω s ω s

9 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 9/35 eorema di Shannon Il filtro ideale G I (jω) non è fisicamente realizzabile. La sua risposta impulsiva è infatti non causale e vale (dalla trasformata inversa di Fourier) g I (t) = π = sin(ω st/) ω s t/ G I (jω)e jωt dω Formula di ricostruzione (di Shannon) x(t) = = k= x (τ) g I (t τ) dτ = k= x(k) sin(ω s(t k)/) ω s (t k)/ x(k) δ(τ k) sin(ω s(t τ)/) ω s (t τ)/ dτ Occorrono quindi tutti i campioni x(k) passati e futuri... Si usano pertanto ricostruttori causali e facilmente realizzabili

10 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 0/35 Fenomeno dell aliasing L aliasing è il fenomeno per il quale, mediante campionamento, si generano nuove componenti spettrali (armoniche) alla stessa frequenza della componente spettrale di partenza, impedendo la corretta ricostruzione del segnale originario Si può avere aliasing solo nel caso in cui la condizione ω s > ω c del teorema di Shannon non sia verificata Esempio : Si considerino i due segnali { x(t) = sin(ω0 t + θ) y(t) = sin((ω 0 + nω s )t + θ) aventi stessa fase θ e pulsazione che differisce per un multiplo intero n di ω s = π Se i due segnali vengono campionati x(k) = sin(ω 0 k + θ) y(k) = sin((ω 0 + nω s )k + θ) = sin(ω 0 k + kπn + θ) = sin(ω 0 k + θ) i valori dei campioni x(k) = y(k) coincidono per ogni k

11 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. /35 Fenomeno dell aliasing Esempio : Si considerino due sinusoidi con pulsazioni ω e ω, ω + ω = nω s, sfasati di π. Posto ad esempio ω = 8 ω s e ω = ω s ω = 7 8 ω s (n = ) { x(t) = sin(ω t) = sin(ω s t/8) y(t) = sin(ω t) = sin(7ω s t/8 + π) campionando si ha { x(k) = sin(ωs k /8) = sin(kπ/8) = sin(kπ/4) y(k) = sin(7ω s k/8 + π) = sin(7kπ/4 + π) = sin(kπ/4) Per evitare fenomeni di aliasing si deve provvedere ad introdurre un opportuno filtraggio passa-basso prima del campionatore

12 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. /35 Fenomeno dell aliasing 3 Esempio 3: Campionamento della risposta impulsiva di un sistema del secondo ordine G(s) = 5 s + 6 s + 5 = + δ ω n s + ( s g(t) = L [G(s)] = 5 ω n ) 4 e 3t sin 4t avente guadagno unitario, due poli complessi coniugati p, = 3 ± j4, pulsazione naturale ω n = 5 rad/s e coefficiente di smorzamento δ = 3/5 Diagramma delle ampiezze di G(jω) 0 scala logaritmica G(jw) (db) scala lineare G(jw) Per ω > 0 ω n = 50 rad/s, l ampiezza di G(jω) è inferiore ad un centesimo (-40 db) del valore in continua (guadagno statico)

13 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 3/35 Fenomeno dell aliasing 4 Esempio 3 (continua). Lo spettro, pur essendo a banda teoricamente illimitata, risulta praticamente trascurabile per pulsazioni maggiori di ω = 50 rad/s Applicando la Z-trasformata si ha G(z) = 5 4 e 3 sin(4) z z e 3 cos(4) z + e 6 La risposta spettrale è data da G (jω) = G(z) z=e jω (0 ω π ) Spettro di G (jω) quando = π 50 (ω s = 0ω n ) oppure (più lento) = π 5 (ω s = 0ω n )

14 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 4/35 ipici ricostruttori di segnale x(k) Ricostruttore x r (t) x(t) = x(k ) + d x(t) dt d x(t) dt t=k (t k ) + d x(t) (t k ) t=k dt t=k! x(k ) x((k )) Ricostruttore di ordine zero (ZOH) solo il termine di ordine zero nell espansione di aylor x 0 (t) = x(k ) k t < (k + ) g 0 (t) H 0 (s) = e s s 0

15 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 5/35 ipici ricostruttori di segnale Ricostruttore di ordine uno (FOH) anche il termine di ordine uno nell espansione di aylor x(k) x((k )) x (t) = x(k) + (t k) g (t) 0 g (t) = h(t) + r(t) h(t ) r(t ) + h(t ) + r(t ) H (s) = + s ( e s s )

16 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 6/35 ipici ricostruttori di segnale 3 Ricostruttore di ordine frazionario x f (t) = x(k ) + K x(k ) x((k )) (t k ), 0 K g f (t) K = 3 0 H f (s) = K + s ( e s s ) + ( K) ( e s ) s e s al limite, per K = 0 e K = si ritrovano...

17 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 7/35 ipici ricostruttori di segnale 4 Ricostruttore ad uscita continua x c (t) = x((k )) + x(k) x((k )) (t k) g c (t) 0 g c (t) = r(t) H c (s) = r(t ) + ( e s s r(t ) ) nel controllo, scelta utile se non si desidera sollecitare eccessivamente l attuatore

18 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 8/35 Confronto tra ricostruttori di segnale x 0 (t) t x f (t) t x (t) t x c (t) t Per la sua semplicità realizzativa, lo ZOH è il ricostruttore più usato nelle applicazioni

19 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 9/35 Ricostruttore di ordine zero La risposta frequenziale del ricostruttore di ordine zero è (ponendo s = jω) H 0 (jω)= e jω jω = e jω/ ω e jω/ e jω/ j = sin(ω/) ω/ e jω/ Modulo H 0 (jω) = sin(ω/) ω/ si annulla per ω = kπ = kω s Fase Arg [H 0 (jω)] = Arg [ sin ω ] ω ha delle discontinuità di π in corrispondenza a ω = kω s

20 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 0/35 Risposta frequenziale del ricostruttore di ordine zero Scala lineare 0 Scala logaritmica H(jW) / 0.5 H(jW) / (db) W/Ws W/Ws 0 0 Fase (deg) Fase (deg) W/Ws W/Ws scala delle frequenze angolari normalizzata rispetto a ω s

21 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. /35 Approssimazione del ricostruttore di ordine zero come ritardo Sarà utile in seguito considerare l effetto dello ZOH come quello dovuto a un ritardo H 0 (jω) e jω/ per ω

22 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. /35 Ricostruttore di ordine uno La risposta frequenziale del ricostruttore di ordine uno è (ponendo s = jω) H (jω) = ( e jω jω ) + jω = ( ) sin(ω/) ( + jω) e jω ω/ Modulo H (jω) = sin(ω/) ω/ + ω con guadagno statico H (j0) = e stessi punti di annullamento della H 0 (jω) Fase Arg [H (jω)] = arctanω ω

23 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 3/35 Risposta frequenziale del ricostruttore di ordine uno.5 Scala lineare 0 Scala logaritmica H(jW) / 0.5 H(jW) / (db) W/Ws W/Ws 0 0 Fase (deg) Fase (deg) W/Ws W/Ws scala delle frequenze angolari normalizzata rispetto a ω s

24 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 4/35 Corrispondenza tra piano s e piano z Si può stabilire una corrispondenza tra il piano complesso s e il piano complesso z. Poiché X (s) = X(z) z=e s le variabili s e z sono legate dalla relazione z = e s. Posto s = σ + jω si ha z = e (σ+jω) = e σ e jω = e σ e j(ω+kπ ) e ogni punto del piano z è in corrispondenza con infiniti punti del piano s I punti del piano s a parte reale negativa (σ < 0) sono in corrispondenza con i punti del piano z all interno del cerchio unitario z = e σ < I punti sull asse immaginario (σ = 0) vengono mappati sul cerchio unitario ( z = ), mentre quelli a parte reale positiva (σ > 0) vengono mappati all esterno del cerchio unitario ( z > ) La striscia di piano s delimitata dalle rette orizzontali s = jω s / e s = jω s / prende il nome di striscia primaria

25 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 5/35 Corrispondenza tra piano s e piano z jω Striscia complementare Striscia complementare Striscia primaria Striscia complementare Striscia complementare j ω s j 3ω s j ω s j 3ω s j 5ω s piano s Im piano z 0 σ 0 Re j ω s

26 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 6/35 Corrispondenza tra piano s e piano z 3 z = e s z = e (σ+jω) = e σ e jω ( 0 ω ω s = π Dettaglio della trasformazione (biunivoca!) tra striscia primaria e piano z 4 Striscia jω 3 primaria piano s j ω s j ω s 4 0 σ Re j ω s 4 j ω s Im ) piano z s = 0 z = s = σ 0 z = e σ (0, ] s = σ 0 z = e σ [, + )

27 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 7/35 Particolari corrispondenze tra piano s e piano z Luoghi a decadimento/crescita esponenziale costante (ovvero dell inviluppo di una risposta esponenziale pseudo-periodica) jω piano s Im piano z 0 σ σ σ e +σ e σ Re

28 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 8/35 Particolari corrispondenze tra piano s e piano z Luoghi a pulsazione costante jω piano s Im z = e (σ+jω ) piano z j ω s jω jω 0 σ jω z = e (σ+jω ) ω ω Re j ω s z = e (σ jω )

29 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 9/35 Particolari corrispondenze tra piano s e piano z 3 Un esempio di corrispondenza fra due regioni del piano s e del piano z jω piano s Im piano z j ω s jω 0 σ jω σ = σ σ = σ z = e (σ+jω ) e σ e σ Re j ω s z = e (σ jω )

30 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 30/35 Particolari corrispondenze tra piano s e piano z 4 Luogo dei punti a coefficiente di smorzamento δ costante s = ω tanβ + jω = ω δ δ + jω (β = arcsinδ) jws/ piano s piano z - -jws/ z = e s = e ( ω tan β+jω) = e ϕ tan β e jϕ ϕ = ω

31 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 3/35 Particolari corrispondenze tra piano s e piano z 5 Luoghi a coefficiente di smorzamento δ costante (nella striscia primaria del piano s) cardiodi nel piano z jws/ piano z piano s - jws/ Luoghi a pulsazione naturale ω n costante (nella striscia primaria del piano s) jws/ piano z piano s - jws/

32 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 3/35 Particolari corrispondenze tra piano s e piano z 6 Luoghi del piano z corrispondenti a valori δ e ω n costanti Wo=0.6 Wo=0.4 Wo=0.8 Wo=0. Wo=0. d= z=0 z= con pulsazione normalizzata ω 0 = ω n ω s /

33 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 33/35 Interpretazione come relazione tra poli di F(s) e poli di F(z) I punti del piano s e del piano z, legati dalla relazione z = e s, possono considerarsi come poli corrispondenti delle trasformate F(s) e F(z), con F(z) calcolata campionando F(s) (meglio, campionando il segnale temporale la cui trasformata... ) j ω s j ω s jω piano s σ 0 jω piano z σ Notare che poli semplici reali non positivi in z non sono in corrispondenza con nessuna localizzazione di poli in s!!

34 Posizione dei poli e andamenti delle risposte transitorie Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 34/35

35 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 35/35 Posizione dei poli e andamenti delle risposte transitorie Caso di una coppia di poli complessi coniugati a parte reale negativa nel piano s. La risposta transitoria è del tipo A e σt cos(ωt + φ) e dopo il campionamento z = e s s=σ±jω = e σ e ±jω = r e ±jθ A e σk cos(ωk + φ) = A r k cos(kθ + φ) si hanno π ω = π θ campioni per pseudo-periodo Pertanto, per una funzione di trasferimento del secondo ordine del tipo G(s) = ω n s + δω n s + ω n con poli in p, = δω n ± jω n δ si hanno i seguenti legami utili (nota la posizione (r, θ) del polo nel piano z e,... ) z = e s s=p, = e δω n e ±jω n δ = r e ±jθ lnr δ = ln r + θ ω n = ln r + θ τ = δω n = lnr