Controlli Automatici L Parziale del 29 maggio Compito A

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1 Cntrlli Autmatici L Parziale del 9 maggi Cmpit A La prva i intende uperata e, ltre ad aver ript crrettamente ad almen dmande della prima ezine, il punteggi cmpleiv riulta maggire uguale di 8 punti. L tudente deve ricnegnare tutti i fgli del tet cmpilati cn nme, cgnme e numer di matricla. Anche eventuali fgli ulteriri riprtanti calcli intermedi pn eere cnegnati purché chiaramente identificati. Le ripte devn eere chiaramente evidenziate; nel ca di crrezini, indicare cn la critta NO le ripte che nn devn eere cniderate. Quiz bbligatri a celta ingla L tudente deve ripndere crrettamente ad almen dmande u 6 per pter uperare la prva. Eventuali ripte errate nn date cmprterann una diminuzine di 3 punti (per un maim di 6) ulla vtazine finale della prva.. La funzine di traferiment di un itema lineare tazinari Single Input Single Output è il rapprt tra la trafrmata di Furier dell'ucita e quella dell'ingre è il rapprt tra la trafrmata di Furier dell'ingre e quella dell'ucita è il rapprt tra la trafrmata di Laplace dell'ucita e quella dell'ingre è il rapprt tra la trafrmata di Laplace dell'ingre e quella dell'ucita. Per itemi a fae minima, il diagramma delle fai aciat alla funzine di ripta armnica è empre maggire uguale a zer è empre minre uguale a zer è empre minre di zer neuna delle precedenti 3. Dat un itema lineare tazinari SISO, ad un ingre ctante ut () = () t u crripnde un l tat di equilibri nn crripnde neun tat di equilibri gli tati di equilibri n quelli luzine dell'equazine Ax= bu neuna delle precedenti. La funzine di ripta armnica F( ω ) = G( ) = j ω è una funzine a valri cmplei di variabile reale è una funzine a valri cmplei di variabile cmplea Attenzine: cmpilare u tutti i fgli

2 è una funzine a valri reali di variabile reale è una funzina a valri reali di variabile cmplea 5. La funzine di anell L ( ) del itema in retrazine negativa in figura è data da R () G () G () () RG () () L = = L () = + RG () () = + L () RG () G() L () RG () G() 6. Il terema del valre iniziale applicat alla ripta a gradin di itemi + lineari y( ) = lim G ( ) = lim G ( ) è valid per e il itema è tabile e il itema è aintticamente tabile e il itema è a fae minima empre Quiz a celta multipla L tudente deve ripndere ai quiz, tenend preente che per gni dmanda ci n una più ripte valide. Ogni ingla ripta crretta vale 3 punti; gni ripta bagliata cmprta una diminuzine di punti. Eempi: in un ingl quiz, e n date cme ripte una pzine giuta e due bagliate, i ttiene un punteggi pari a -. at La trafrmata di Laplace della funzine f ( t) = e in( ω t) cn a numer reale pitiv, è data da ω F () = + a + ω ω F () = a +ω F () = ω a + ω F () = ( ) ω ( ) a + ω Attenzine: cmpilare u tutti i fgli

3 Sl: at at e e e e f( t) = e in( ω t) = e = j j jωt jωt ( a+ jω) t ( a jω) t F () = = j ( a+ jω) ( a jω) ( a+ j ) ( a j ) ( ) ( ω) ( ) ω ω ω = = j a j a + ω + Dat il itema cn FdT G () =, la ripta all'ingre ( ) 5 ( ) ut = t tende al valre ctante lim yt ( ) = / 5 t ha derivata al temp y () = ha derivata al temp y () = 5 ha una vraelngazine maggire del 5% Sl: ( + ) lim yt ( ) = lim = lim = t lim ( ) = lim ( ) lim lim 5 t = = = yt Y ωn = 5 δ = <.7 S% > 5% 5 3 Dat il circuit rappreentat nella figura eguente, cn ingre Vi ( t ) ed ucita V ( t ) L = µ H R = k Ω V () t R = k Ω C = mf V () t i la ripta ad una inuide V( t) = in(5 t) riulta attenuata di circa vlte i la ripta ad una inuide Vi ( t) = in(5 t) riulta attenuata di circa vlte il itema ha grad relativ il itema ha un zer nell'rigine Attenzine: cmpilare u tutti i fgli

4 Sl: V V V V V RR I R V CV + = ; LI = V V ; I = + ; V = x x x x x i x x x R R R R R+ R CV = R I + R V = R I V LI = RR I R V + V x x R+ R R R+ R R R+ R R+ R x x i R+ R R+ R R R + R I V V x() = () + i() ( R+ R) L+ RR ( R+ R) L+ RR R R R CV () = V() Vi() R R ( R R) L RR R R ( R+ R) L+ RR C ( R+ R) L + RR V () = ( L + R) V() + RVi() ( R+ R) LC + ( RR C+ L) + R V() = RVi() 3 R * G () = = 3 3 ( R+ R) LC + ( RR C+ L) + R * *.* * + * + * * G () = = * * * grad relativ= ctante di temp pl dminante= pl in -.5 attenuazine a frequenza 5 rad/ => 3 decadi cn - db/decade => -6 db pari a vlte Attenzine: cmpilare u tutti i fgli

5 La ripta al gradin riprtata nella figura eguente crripnde alla funzine di traferiment Temp () 9 + G () = + + (. + ) G () = + G () = + + G () = + + Sl: Guadagn in cntinua G () =, tutte le FdT prpte ddifan il vincl Ripta nn cillante, la quarta FdT deve eere cartata: pli cmplei cniugati cn δ =.5 Temp di aetament al 5% circa, la terza FdT deve eere cartata T,5% 3τ = 3 Rimane la quarta: in effetti la ripta è caratterizzata da una dppia cala dei tempi cn una cda di aetament tipica di una quai cancellazine pl/zer cn valre alut dell zer maggire di quell del pl più lent p = z = /9 p = a Attenzine: cmpilare u tutti i fgli

6 5 La ripta al gradin riprtata nella figura eguente crripnde alla funzine di traferiment Temp () G () = G () = G () = G () = Sl: Guadagn in cntinua G () =, tutte le FdT prpte ddifan il vincl Derivata nell rigine divera da zer: il itema ha grad relativ pari ad. La ecnda e la quarta FdT devn eere cartate Temp di aetament al 5% circa.6, la prima FdT deve eere cartata. Infatti per il 3 itema G () = riulta δω n =.5, Ta,5% = 6 e la preenza dell zer prta + + δωn a tempi di aetament ancra più lunghi 6 Rimane la terza: in effetti il temp di aetament di G () = riulta δωn =, Ta,5% =.5 ; la preenza dell zer cn mdul mlt maggire di δ ω n = δωn altera leggermente la ripta. Attenzine: cmpilare u tutti i fgli

7 6 Dat il itema rappreentat nella figura eguente, il itema preenta vraelngazine nella ripta al gradin + a + per a > per < a < per a > per a > Sl: + a ( + ) + a Gcl () = = a a ( + ) Pli reali per < a < p, = ± a z = a La ripta ha vraelngazine e l zer è alla detra dei pli reali, quindi a> + a a> a che nn è mai verificata per < a < Pli cmplei cniugati per a >. Cefficiente di mrzament aciat δ =, a Svraelngazine per tutti gli a >, la preenza dell zer fa aumentare la vraelngazine 7 Per il itema cn funzine di traferiment G () =, la banda paante + + riulta (una tima cn diagrammi di Bde ainttic è ufficiente) ω [,] ω [,] ω [,] ω [, + ) Sl: G () = ( + )( + ) Il itema è di tip paa ba cn guadagn in cntinua unitari. Il pl che determina la banda paante è quell più lent. Per pulazini ω > la pendenza del diagramma di Bde ω, è di - db/dec. Quindi la banda paante è [ ] Attenzine: cmpilare u tutti i fgli

8 Tracciament diagramma di bde A quet eercizi n aciati 7 punti. Per il tracciament i utilizzin i diagrammi predipti. Si utilizzin pibilmente clri diveri per i diagrammi dei termini elementari e per il diagramma cmpleiv Si traccin i diagrammi ainttici dei termini elementari ed il diagramma di Bde cmpleiv del itema cn FdT + G () = +. + ( )( ) Sl: La FdT i può ricrivere cme I termini elementari n. G () = 8dB. G () = 3. G () =. + ( ). G 3 () 5. G () = + ( ) + G () = + +. Attenzine: cmpilare u tutti i fgli

9 Parziale Cntrlli Autmatici L del 9 maggi Bde Diagram Frequency (rad/ec) Phae (deg) Magnitude (db)

10 Bde Diagram Magnitude (db) Phae (deg) Frequency (rad/ec)