Fondamenti di Automatica

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1 Fondamenti di Automatica «Correzione Eonero 23/05/2019» Compito B Dario Maucci 28/05/2019

2 Traccia d eame (Eercizio 1 - Compito B) Dato il itema di controllo in figura u(t) + C() P 1 () + z + P 2 () y(t) H() In cui: C = K c, P 1 = , P 2 = 5, H = 0,2 Determinare: 1. Per quali valori di Kc il itema riulta tabile a ciclo chiuo 2. Il tipo di itema di controllo 3. Atatimo ripetto al diturbo cotante z 4. L ucita permanente y p (t) con u t = 5δ 3 e z t = 0 5. L ucita permanente y z (t) con u t = 0 e z t = 8δ 2 (t)

3 Domanda 1 Determinare per quali valori di Kc il itema riulta tabile a ciclo chiuo a Si calcola la Funzione di Traferimento a ciclo chiuo del itema: W = C()P 1 ()P 2 () 1 + C P 1 P 2 H W = K c 1 + K c = 5K c K c ( + 1) = 5K c K c ( + 1) b Si conidera l equazione caratteritica Q e i applica ad ea il criterio di Routh Q = K c + 1 = = K c + K c 3 1 K c 2 8 K c 1 0 b n 2 b n 3 b n 4

4 Si calcolano i coefficienti della tabella di Routh b n 2 = a n 1a n 2 a n a n 3 a n 1 = 8 K c 1 K c 8 = 7 8 K c b n 4 = a n 1a n 4 a n a n 5 = a n 1 8 = 0 = a n 4 b n 3 = b n 2a n 3 a n 1 b n 4 b n 2 = 7 8 K c K c K c = K c = a n K c 2 8 K c 1 0 7K c Τ8 K c 0

5 Ad ogni variazione di egno dei coefficienti nella prima colonna della tabella di Routh corriponde ad un polo a parte reale poitiva che renderebbe intabile il itema. Si determinano quindi i valori di K c per cui i coefficienti della prima colonna iano poitivi. 3 1 K c 2 8 K c 1 0 7K c Τ8 K c 7 ቐ8 K c > 0 K c > 0 ቊ K c > 0 K c > 0 da cui K c > 0 Domanda 2 Determinare il tipo di itema di controllo Per definire il tipo di itema di controllo i coniderano i poli nell origine preenti nelle traferenze ulla catena diretta. Si ricontrano un integratore in C e un integratore in P 1, quindi il itema è di tipo 2.

6 Domanda 3 Determinare e il itema è atatico ripetto al diturbo cotante z Si deve valutare e il itema preenta almeno un polo nell origine a monte del punto in cui interviene il diturbo cotante. Poiché i ricontra un integratore preente in C (anche in P 1 ), il diturbo cotante viene completamente reiettato. Il itema riulta quindi atatico ripetto al diturbo cotante. Domanda 4 Determinare l ucita permanente y p t con u t = 5d 3 (t) e z(t) = 0 Si coniderano: L indice relativo all ingreo canonico a rampa del econdo ordine i = 2 L indice relativo al tipo del itema h = 2 Poiché h = i = 2 > 0 l ucita permanente i calcola come y p t = u t K d e r u t In cui: e r = K d 2 K G = cotante con K d = 1 H = 5 e K G = lim 0 h C P 1 P 2

7 Domanda 5 Determinare l ucita permanente y z t con u t = 0 e z(t) = 8d 2 (t) Per valutare l effetto del diturbo z(t) = 8d 2 (t) ul itema, e quindi per calcolare l ucita permanente del diturbo y z t i coniderano: L indice relativo al diturbo a rampa i = 1 L indice relativo al tipo del itema h = 2 Poiché h > i allora l ucita permanente del diturbo è y z t = 0 Si può verificare otituendo i valori nell epreione dell ucita In cui: y z t = lim 0 W z Z W z è la funzione di traferimento a ciclo chiuo del diturbo P 2 () 1+C P 1 P 2 H Z() è la traformata di Laplace del diturbo 8 2

8 Traccia d eame (Eercizio 2 - Compito B) Sia dato un proceo P() decrivibile mediante la funzione di traferimento che egue P = , Sintetizzare il itema di controllo in figura determinando h e K c, e coniderando K d = 3 in modo tale che l errore per l ingreo a rampa u t = 4δ 2 t ia minore o uguale a 0,3 u(t) + K c h P() y(t) Scelto il valore minimo di K c compatibile con le pecifiche, tracciare i diagrammi di Bode e di Nyquit della funzione a ciclo aperto F e determinare u queti la pulazione di attraveramento e i margini di tabilità. 1 K d

9 1 Si ricrive la traferenza del proceo P() P = , E richieto da pecifica che l errore a regime per un ingreo a rampa ia minore o uguale ad un valore cotante, in particolare e u(t) 0,3. Allora il itema compoto da C() e P() deve eere di tipo 1 e quindi avere eattamente un polo nell origine. Poiché in P() non è preente alcun polo, allora deve neceariamente eere preente nel controllore, oia in C(). Poiamo crivere h = 1

10 3 Il guadagno K c del controllore C i ottiene dall epreione dell errore tenendo in coniderazione che e u(t) 0,3 in cui u(t) = 4 Dalla tabella riguardante l epreione dell errore, definito in bae al tipo di itema e alla natura dell ingreo, i ottiene δ 1 t k d k d + K G 0 0 tδ 1 t k d 2 K G 0 t 2 2 δ 1 t k d 2 K G e = K d 2 K G K G i ottiene come in cui K d = 3 è un dato del problema e K G è il guadagno tatico del itema K G = lim 0 h C P = K c 8 Quindi i può crivere e u t = 9 K c 8 4 0,3 da cui K c 15

11 4 Si calcola la funzione di traferimento a ciclo aperto F del itema come F = C P H = K c h P 1 K d = , F() = , Si individuano i fattori che compongono la funzione di traferimento F() G 0 termine cotante 40 G 1D polo nell origine 1 G 2D polo reale G 3N zeri complei ,

12 6 Per ogni termine individuato i definicono i punti di rottura e i traccia il contributo a G 0 termine cotante 40 Modulo 20 log db Fae 0 G(j) modulo G j fae 32dB 0dB 0 1rad/ec 1rad/ec

13 6 Per ogni termine individuato i definicono i punti di rottura e i traccia il contributo b G 1D polo nell origine 1 Modulo 20 db/dec 0 db in 1 rad/ec Fae 90

14 6 c Per ogni termine individuato i definicono i punti di rottura e i traccia il contributo G 2D polo reale G(j) Modulo db per < 5 ቊ 20 dbτdec per 5 modulo Fae G j 0 per < 0,5 ቐ 45 /dec per 0, per > 50 fae 40dB dB 0 1rad/ec 1rad/ec

15 6 d Per ogni termine individuato i definicono i punti di rottura e i traccia il contributo G 2D polo reale db per < 40 Modulo ቊ 20 dbτdec per 40 G(j) modulo Fae G j 0 per < 4 ቐ 45 /dec per per > 400 fae 40dB dB 0 1rad/ec 1rad/ec

16 6 Per ogni termine individuato i definicono i punti di rottura e i traccia il contributo e G(j) G 2D polo reale Modulo db per < 200 ቊ 20 dbτdec per 200 modulo Fae G j 0 per < 20 ቐ 45 /dec per per > 2000 fae 40dB 0dB rad/ec 1rad/ec

17 6 Per ogni termine individuato i definicono i punti di rottura e i traccia il contributo f G 3N zeri complei , G(j) Modulo 0 db per < 20 ቊ +40 dbτdec per 20 modulo G j Fae 0 per < 2 ቐ+90 /dec per per > 200 fae 40dB 180 0dB 0 1rad/ec 1rad/ec

18 7 Si ommano i contributi di ogni termine per ottenere il tracciamento completo G(j) modulo G j fae 32dB 20dB 0 0dB rad/ec 1rad/ec

19 8 Si definice la correzione da apportare dovuta al termine trinomio con ζ = 0, 3 = 10 2dB = 20 4dB = 40 1dB Calcolo delle poizioni u acie: = x 1 20 x 1 = = 10 2: 1 = x 2 : 20 x 2 = 2 20 = 40 = = 20 0 =

20 8 Si definice la correzione da apportare dovuta al termine trinomio con ζ = 0, 3 G(j) modulo G j fae 32dB 20dB 0 0dB rad/ec 1rad/ec = 10 2dB = 20 4dB = 40 1dB Calcolo delle poizioni u acie: = x 1 20 x 1 = = 10 2: 1 = x 2 : 20 x 2 = 2 20 = 40 = = 20 0 =

21 9 Si traccia il diagramma di Nyquit oervando l andamento delle fai Diagramma di Bode Diagramma di Nyquit Im -1 Re

22 10 Si individuano: t e il m φ, π e il m g G(j) modulo G j fae 0 20dB 0dB m φ 1rad/ec t 1rad/ec t 12 Τ rad ec e m φ 40 π non è calcolabile quindi m g =