CORSO DI IST. DI MAT. II per il corso di laurea in arch. quinquennale Corso C - Prof.ssa A. NANNICINI a.a. 2007/ scheda esercizi # 1

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1 CORSO DI IST. DI MAT. II per il corso di laurea in arch. quinquennale Corso C - Prof.ssa A. NANNICINI a.a. 7/ - scheda esercii #. Siano = i, w = + i C calcolare + w, w, w.. Siano = + i, w = + i C calcolare <e(), =m(w), w, Arg(w ), j + wj, w 4.. Risolvere le seguenti equaioni nell incognita C + + =, 6 = 64, =, 6 = i, ( )( + + ) =. 4. Calcolare i e ( i) Calcolare Log( + i), ( + i) i, cos i, sin( i). p 6. Risolvere le seguenti equaioni nell incognita C sin =, cos =. i 7. Siano Z i A, W i A C calcolare Z W, (Z W ), kz + W k. i i. Siano A =, B = C() calcolare A + B, 5 + i i A( t B) B( t A). ki i 9. Determinare i valori di k C tali che A(k) = è hermitiana. k. Sia g R R! R de nita da g(x,y ) = trx t Y provare che g è una forma bilineare su R e scrivere la matrice associata a g rispetto alla base canonica di R.. Sia A A R() scrivere la forma quadratica su R asso- ciata ad A.. Sia Q R! R de nita da A = provare che Q è una forma quadratica su R e scivere la matrice associata a Q rispetto alla base canonica di R.. Sia A A R() e sia g A il prodotto scalare su R de nito da g A (X,Y ) = t XAY studiare la degenericità di g A descriverne il cono luce, dato X A descrivere X? scrivere in ne la proieione ortogonale di X

2 su e A. 4. Sia g A il prodotto scalare dell eserciio precedente, determinare una base di R g A -ortogonale. 6. Calcolare gli indici di positività, negatività e nullità del prodotto scalare dell eserciio. 6. Sia A 5 A R() provare che A è de nita positiva e determinare una base di R ortonormale rispetto al prodotto scalare de nito da g A. a prova scritta 44. Siano u = i + i, w = C determinare uv e juvj risolvere i i inoltre la seguente equaione ( juvj)( i) =.. Sia A A R() determinare gli indici di positività, negatività e nullità di A. Sia inoltre g A il prodotto scalare su R de nito da g A (X,Y ) = ( t X)AY determinare una base di R g A ortogonale. Sia A A R() determinare gli autovalori di A e una base di R ortonormale rispetto al prodotto scalare standard, costituita da autovettori di A. 4. Sia A la matrice dell eserciio. e sia Q = X R j t XAX = classi care Q. 5. Calcolare il seguente integrale inde nito Z + e e + d. a prova scritta intermedia 6. Siano u = i, v = + i C e sia w = v u scrivere la forma trigonometrica di w, risolvere inoltre la seguente equaione = w e rappresentarne gra camente le soluioni.

3 . Sia A A R() determinare gli indici di positività, 4 negatività e nullità di A. Provare che A è de nita positiva e, posto g A il prodotto scalare su R de nito da g A (X Y ) = ( t X)A Y, determinare una base di R g A ortonormale.. Sia A 9 6 A R() determinare gli autovalori di A e una base di 6 4 R, ortonormale rispetto al prodotto scalare standard, costituita da autovettori di A. 4. Sia A la matrice dell eserciio. e sia Q = X R j t XAX = classi - care Q. 5. Calcolare il seguente integrale inde nito Z d CORSO DI ISTITUZIONI DI MATEMATICHE II per il corso di laurea in architettura quinquennale a.a. 7/ (Corso A - Prof.ssa A. NANNICINI) scheda esercii #. Sia B = 9 = A ortonormaliare B rispetto al prodotto scalare standard su R.. Sia f End(R ) de nito da A A calcolare l operatore trasposto di f rispetto al prodotto scalare standard. i.sia A + i 7 A C() determinare i valori di C per i quali A è hermitiana. 4. Sia A = C() e sia G = A i + i A provare che G è hermitiana e che il prodotto hermitiano su C de nito da G mediante G(X Y ) = t XGY è de nito positivo. 5. Sia A i i A C() determinare una base di C, ortonormale rispetto al prodotto hermitiano standard, costituita da autovettori di A.

4 6. Sia A A R() determinare una base di R, ortonormale rispetto al prodotto scalare standard, costituita da autovettori di A.. 7. Calcolare gli indici di positività, negatività e nullità della matrice A data nell eserciio precedente.. Sia A la matrice dell eserciio 6, determinare C O() e R() diagonale, tali che risulti A = t CC. 9. Sia A A R() calcolare gli indici di A e determinare B R() tale che risulti A = B.. Classi care le seguenti quadriche = + = =.. Sia A A R() e sia g A il prodotto scalare su R de nito da g A (X Y ) = t XAY calcolare gli indici di g A.. Sia A la matrice dell eserciio precedente e sia Q = X R j t XAX = classi care Q e discutere l esistena di una base di R, g A -ortogonale, costituita da elementi di Q.. Sia A = R() determinare B R() tale che A = B e discutere l esistena di B R() simmetrica e de nita positiva tale A = B. Corso di Istit. di Mat. II per il corso di laurea in architettura quinquennale Prof.ssa A. Nannicini - a.a. 7/ scheda esercii #. Determinare l insieme di esistena delle seguenti funioni f = p 5 + f = ln f = ln sin( + ).. Discutere l esistena del limite per! delle seguenti funioni, ed eventualmente calcolarlo 4

5 f = p + f = + +. Discutere la di ereniabilità delle seguenti funioni nel punto f = f = sin 4. Calcolare il di ereniale delle seguenti funioni nei punti a anco indicati f = p + P = f = ln P = f = + sin P A 5. Determinare e classi care i punti critici delle seguenti funioni f = + ++ sin p + arctan( 4 ) e e + ( 6 + ). 6. Sia f = + descrivere le curve di livello di f calcolare rf e la derivata direionale di f nel punto secondo la direione della retta =. 7. Sia A + = calcolare la matrice Jacobiana di f.. Sia cos cos A cos sin A calcolare divergena e rotore di f. sin 9. Sia f = e determinare massimi e minimi relativi di f. Determinare massimi e minimi delle seguenti funioni soggetti ai vincoli indicati a lato f = + 4 S = R + 4 f = + 5 S = R j f = + S = R + = 4 f = + 5 S = rettangolo di vertici 5

6 < A = + S 9 A R = Determinare la distana del punto P = dall insieme =. Determinare gli estremi degli assi maggiore e minore dell ellisse + + = 6.. Determinare le coordinate dei vertici dell iperbole =. 4. Determinare massimi e minimi di A = sull insieme de nito dall interseione del cono = + con il piano =. seconda prova scritta intermedia 656. Sia R! R la curva parametriata de nita da t (t) t A t determinare il triedro mobile sulla curva, la curvatura e la torsione.. Sia f R! R de nita da f = determinare i massimi e i minimi relativi e assoluti di f nell insieme A = R +.. Risolvere la seguente equaione di ereniale con la condiioni indicate < + + = cos () = () = 4. Sia f R! R de nita da f = ln p 5 p determinare e rappresentare gra camente l insieme di esistena di f e calcolarne il baricentro. seconda prova scritta intermedia 54 6

7 . Sia f R! R de nita da f = + determinare i massimi e i minimi relativi e assoluti di f nell insieme A = R + s. Sia f R 5 j + 5j! R de nita da f = ln + determinare 4 j j e rappresentare gra camente l insieme di esistena di f. Risolvere la seguente equaione di ereniale = 4 sin 4. Sia! = ( )d (+)d calcolare R! essendo il segmento di estremi percorso a partire dal primo punto al secondo. Rispondere inoltre alle seguenti domande! è una forma chiusa?! è una forma esatta?. CORSO DI ISTITUZIONI DI MATEMATICHE II per il corso di laurea in architettura quinquennale a.a. 5/6 (Corso A - Prof.ssa A. NANNICINI) scheda esercii # 4. Sia f R! R de nita da f = +6 + determinare i massimi e i minimi relativi e assoluti di f nell insieme A = R +. Sia f R! R de nita da f = 5+ determinare i massimi e i minimi relativi e assoluti di f nell insieme A = R cos t. Sia [ 4]! R la curva parametriata de nita da (t) 4 sin t A t calcolare il triedro mobile sulla curva e la lunghea della curva. 4. Sia R! R la curva parametriata de nita da (t) t t t A t + t calcolare il triedro mobile sulla curva, il piano osculatore, la curvatura e la torsione. t cos t 5. Sia [ ]! R la curva parametriata de nita da (t) t sin t A t calcolare il triedro mobile, il piano osculatore, normale e retti cante della curva, calcolare inoltre curvatura e torsione. 7

8 6. Determinare della retta tangente alla curva + = nel suo punto di ascissa 7. Calcolare i seguenti integrali sugli insiemi a anco indicati R R A ( + )dd, A= R j, 4 6 R R + A dd, A= R R R A (cos( + ) p sin( ))dd, A= R 5 < <.Sia A= R p p = rappresentare gra camente A > e calcolare R R ( + )dd A 4 9. Sia C = R j + 9 rappresentare gra camente jj C e calcolare R R C ( )dd. Rappresentare gra camente il seguente insieme < < A = R + 4 ZZ e calcolare ( + )dd A. Sia A l insieme del piano delimitato dai gra ci delle funioni = 4 e = 4 e dalle rette = e = e calcolare il baricentro di A. Rappresentare gra camente l insieme di esistena della funione f R! R de nita da f = p p p 4 e calcolarne il baricentro.. Sia A il trapeio nel piano di vertici determinare il baricentro di A 4. Risolvere le seguenti equaioni di ereniali = ( ) 5 9 = = = + = sin

9 = e 5. Risolvere la seguente equaione di ereniale con le condiioni iniiali indicate < pp + 6 p = + p () = 6. Calcolare R ( )d + ( )d essendo la circonferena di centro l origine e raggio percorsa in senso antiorario. () = 7. Sia! = ( + )d + ( + )d calcolare R! essendo il segmento di estremi percorso a partire dal primo punto al secondo. Rispondere inoltre alle seguenti domande! è una forma chiusa?! è una forma esatta?. 9