1) Studiare la natura dei seguenti integrali impropri: 2x2 1. x dx (c) e x + 1. log x. n n + 1 n (a) n=1. (b) n + log n n 2n 2 1.

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1 ) Studiare la natura dei seguenti integrali impropri: 0 x 3 dx (b) + 2x2 2 x dx (c) e x + 0 e x dx (g) (d) x( + x) dx x sin x x 2 dx (h) (e) 0 + log x x 2 dx (f) 2 log x dx x + log( + x 2 ) dx (i) 2x + x5 x dx 3 2) Mediante confronto (anche asintotico) con la serie armonica generalizzata, studiare il carattere delle seguenti serie: (d) n= n= n 4 n 2 2n + n 2 + n 2 (b) (e) n=0 n= n n + n n + log n n 2n 2 (c) (f) n= n sin n 2 n= log 2 ( + n ) 3) Mediante il criterio del rapporto, studiare il carattere delle seguenti serie: n= n4 n e 2n (b) n= n! 2 n (2n)! (c) n! (2n )! n= (d) n= 3 n (n!) 2 (2n)! 4) Studiare convergenza assoluta e semplice delle seguenti serie: ( ) n + n 2 (b) n= n 2 n= ( ) n n + 3n 2 (c) 5) Studiare il carattere delle seguenti serie: ( ) n ( n= n 4 n ) 2 n= n ( + n) 5 (b) ( + n= n ) n (c) n= n 2 n + (d) n= cos n 2 + n! (e) n= n 2 n + 3 n (f) n=2 n log n

2 2n (g) sin n= n n (h) n= 4 + e n (i) n! n= + e 2n (j) n=2 n 2 log n (k) ( cos n= n ) (l) n log n n= n + (m) n= n + 2n (n) n= n log n e 2n + (o) n + n= 3 n 4 (p) n= n + n 2 (q) (r) ( n e) 2 n 3 n= n n= n + n 3 n+ n + cos n (s) (t) (u) n= n n= 2 n + 4 n n= + n 4 n! + n log n ( (v) (w) (x) sin nπ ) n n= (n + )! n= + n 3 n= 4n + 6) Rappresentare nel piano xy i campi di esistenza delle seguenti funzioni: xy x (b) log( xy 2 ) (c) x 2 y y 2 (d) log(2x 2 + xy y 2 ) 7) Calcolare nel punto ( 2, ) la derivata direzionale della funzione in 6b) nella direzione della retta 2y x = 4, orientata nel verso delle x crescenti. 8) Si considerino le funzioni nulle nell origine che nei punti (x, y) (0, 0) sono definite dalle seguenti leggi, e se ne studino, nell origine, le derivate parziali e la derivata nella direzione della retta y = x, orientata nel verso delle x crescenti. x 2 y x 2 + y, (b) xy x 2 x2 + y, (c) 2 + y 4, (d) 2 y 3 x4 + y 4 9) Determinare, qualora esista, l equazione del piano tangente al grafico della funzione f(x, y) = x 2 + xy + 2y 2 nei seguenti punti: (,, 2) (b) (0, 0, 0) 0) Determinare, qualora esista, l equazione della retta tangente alla curva Γ = {(x, y) IR 2 x 3 + y 4 = 2xy} nel punto (, ). 2

3 ) Sia Γ = {(x, y) IR 2 x e 3 xy = 4y}: determinare gli eventuali punti di Γ in cui la retta tangente è parallela all asse x. 2) Determinare i valori di estremo assoluto della funzione f(x, y) = x+y sulla circonferenza di equazione x 2 + y 2 = 2x +. 3) Tra i punti dell arco di iperbole Γ = {(x, y) IR 2 : x 2 y 2 =, 0 x 2} determinare quelli a distanza minima e massima dal punto (0, ). 4) Un triangolo isoscele (simmetrico rispetto all asse y) è inscritto nell ellisse di equazione 4x 2 + 3y 2 = 2, ed ha un vertice nel punto (0, 2). Quanto può valere, al massimo, la sua area? 5) Determinare i valori di estremo assoluto delle seguenti funzioni sugli insiemi a fianco indicati. f(x, y) = 2x 2 4xy + y, triangolo di vertici (0, 0), (, 0), (0, 2) (b) f(x, y) = ye x, E = {(x, y) IR 2 : x 2 + y 2 2, y 0} (c) f(x, y) = (3/4) x + log y, E = {(x, y) IR 2 : x > 0, xy, x 2 + 4y 2 5} (d) f(x, y) = xy 2y, E = {(x, y) IR 2 : x 2 + y 2 2x, y x} (e) f(x, y) = x 3 y, E = {(x, y) IR 2 : x 2 + y 2, x + y 0} (f) f(x, y) = xy x 2 log y, E = [0, ] [/2, e] (g) f(x, y) = xy 2, E = {(x, y) IR 2 : x 2 + y 2 2x} (h) f(x, y) = x y, E = {(x, y) IR 2 : x 2 + y 2 2y, y 3 x 2 } (i) f(x, y) = x (y 3 /6), E = {(x, y) IR 2 : x 2 y 2 3, 0 y 6} (j) f(x, y) = arctg 4 x 2 + y 2, E = [, 2] [0, 5] (k) f(x, y) = e 2+2x 3 y 3, E = {(x, y) IR 2 : x 2 + y 2 2}. 3

4 6) Determinare i punti di minimo e di massimo locale delle seguenti funzioni: xy + 2 x2 3 y3, (b) x 2 y 3, (c) 2 x + y x2 y 2 (d) x 2 y 2xy 2, (e) log(x + 2y) 4 xy. 7) Stabilire se l origine è un punto di estremo locale per le seguenti funzioni: x 2 y + y 3, (b) x 2 + y 2 cos x, (c) y 2 x 4, (d) y 2 x 2 y + x 4. 8) Calcolare E f(x, y) dxdy, dove f ed E sono dati come segue. Nel punto (j) conviene integrare in coordinate polari riferite all origine. f(x, y) = + x 2, E = triangolo di vertici (0, 0), (, 0), (, ) (b) f(x, y) = x( + y) 2, E = {(x, y) IR 2 : x 2 y x} (c) f(x, y) = x 3, E = {(x, y) IR 2 : x 2 + y 2, y x } (d) f(x, y) = y, E = {(x, y) IR 2 : 0 x y 2, 0 y 2 x} (e) f(x, y) = x, E = {(x, y) IR 2 : x > 0, xy, x 2 + 4y 2 5} (f) f(x, y) = sin(x 2 y 2 ), E = triangolo di vertici (, 0), (2, 2), (0, ) (g) f(x, y) = x 2 ( + y 2 ), E = {(x, y) IR 2 : x 0, x 3 y } (h) f(x, y) = y 2, E = {(x, y) IR 2 : x 2 + y 2 4} (i) f(x, y) = xe 2y, E = {(x, y) IR 2 : x 2 + y 2, y x/ 3} (j) f(x, y) = x 2 + y 2, E = {(x, y) IR 2 x 2 + y 2 2y} 4

5 (k) f(x, y) = y log(2 xy), E = {(x, y) IR 2 : 0 xy, y 2} (l) f(x, y) =, E = {(x, y) IR 2 : (x 2 + y 2 ) 3/2 y} (m) f(x, y) = (y + xy 2 ), E = {(x, y) IR 2 : y x, xy 3} (n) f(x, y) = x 2, E = {(x, y) IR 2 x 2 + y 2 2, x } (o) f(x, y) = x/y, E = {(x, y) IR 2 x 2 + y 2 2y, y }. (p) f(x, y) = (xy)(x 2 + 2y 2 ), E = {(x, y) IR 2 : 0 y x, x 2 + y 2 4}. 9) Posto E = {(x, y) IR 2 : 2 y x 3, y 2 x 2 4}, si calcoli l area di E mediante una delle due seguenti sostituzioni: ξ = y x, η = y + x, (b) ξ = y x, η = y 2 x 2. 20) Calcolare il volume dei seguenti solidi: E = {(x, y, z) IR 3 : x 2 + y 2 4, z y} (b) E = {(x, y, z) IR 3 : 0 z, 0 y z 2 x 2 } (c) E = {(x, y, z) IR 3 : x 2 + z 2, y 2 + z 2 } (d) E = {(x, y, z) IR 3 : x 2 2x z 3 y 2, x }. 2) Nei seguenti casi, calcolare il volume del solido generato dalla rotazione di A attorno agli assi indicati a lato. A = {(x, y) IR 2 : 0 x π/2, 0 y cos x}, entrambi gli assi (b) A = {(x, y) IR 2 : x 2 + y 2 2x, y 0}, asse x (c) A = {(x, y) IR 2 : x 0, x y }, asse y. 5

6 22) Calcolare i baricentri dei seguenti solidi E come in 20a (b) E = {(x, y, z) IR 3 : x 2 + y 2 + z 2 4, z 0}. 23) Calcolare E f(x, y, z) dxdydz, dove f ed E sono dati come segue. f(x, y, z) = z 3, E = {(x, y, z) IR 3 : x 2 y, 0 z y} (b) f(x, y, z) = xy, E = {(x, y, z) IR 3 : x 2 + y 2 + z 2 4, 0 y x} (c) f(x, y, z) = x, E = {(x, y, z) IR 3 : x 2 + y 2 + 4z 2 4x}. 24) Determinare,qualora esista, la retta tangente alla curva di equazione polare ρ = e θ, θ IR, nel punto (, 0). 25) Calcolare la lunghezza dell arco γ(t) = (t 3, ( t 2 ) 3/2 ), t [0, ]. 26) Calcolare γ F (u) du, dove γ è il segmento che va da (0, 2) a (2, ) ed F (x, y) = (x + y, 2x y). γ 27) Posto F (x, y) = (x y 2, x/y) e γ(t) = (t 2 log t, t), t [, e], si calcoli F (u) du. 28) Calcolare + E F (u) du, dove E è il trapezio del piano xy definito dalle condizioni 0 y 2 x, y ed F (x, y) = (2y + cos x, x 4 sin y). 29) Calcolare l area della regione piana racchiusa dall arco γ e dal segmento che ne congiunge gli estremi, nei seguenti due casi: γ(t) = (cos(πt), t t 2 ), (b) γ(t) = (te t, te t ), t [0, ]. 30) Posto F (x, y) = ( + x 3 + 3y, x y 4 e 2y ) e γ(t) = ( + cos t, sin t), t [0, 2π], si chiede di calcolare γ F (u) du. 3) Nei casi che seguono, stabilire se il campo F è conservativo sul proprio dominio di esistenza e calcolarne, in caso affermativo, un potenziale. a) F (x, y) = ( y, x), (b) F (x, y) = (x + xy 2, y 2 + x 2 y), (c) F (x, y) = (y log y, x + x log y). 6

7 32) Nei casi che seguono, determinare un potenziale del campo F sul dominio a fianco indicato, sapendo che F ivi risulta conservativo. F (x, y) = ( xy) /2 (y 2, 3xy 2), xy < (b) F (x, y) = (x 2 + y 2 ) ( y, x), x > 0 33) Nei casi che seguono, stabilire se F è conservativo sul proprio dominio di esistenza, sapendo che ivi risulta irrotazionale. F (x, y) = (x 2 + y 2 ) 3/2 (x, y), (b) F (x, y) = (x 2 + y 2 ) (x + 2y, y 2x). 34) Nei casi che seguono, calcolare γ F (u) du, sapendo che F è irrotazionale sul proprio dominio di esistenza. γ = segmento da (, 0) a (2, ), F (x, y) = (x + x 2 y) (, x 2 ) (b) γ(t) = ( t, t 2 ), t [0, ], F (x, y) = ( + xy) /2 (2 + 3xy, x 2 ) (c) γ(t) = (cos t, 2 + sin t), t [π/2, 3π/2], F (x, y) = ( x 2 + y 2, y log(x + x 2 + y 2 )) (d) γ(t) = ( + t, + t 2 ), t [0, ], F (x, y) = (log(x 2 + y 2 ), 2 arctg (x/y)) 35) Risolvere i seguenti problemi di Cauchy, determinandone la soluzione in forma esplicita ed il suo dominio. e 2t y = y 2, y(0) = (b) tyy = y 2 +, y() = (c) t 2 y = ty 2, y() = 3 (d) yy = e t y 2 3, y(0) = 2 (e) y = + y 5, y(2) = (f) (t + )y = ty +, y(0) = 7

8 (g) t + y e y+t = 0, y(0) = 0 (h) y = ty + t 3, y(0) = (i) (y + )y = y 3 (t + ), y() = /3 (j) yy = (4 y 2 )tg t, y(π/4) = 2 (k) (2y 3t)( + t) = y, y(0) = 2 (l) y = y y, y(0) = 2 (m) ty (2 + y) = y 2 2y, y(/2) = (n) (t 2 )(y t) = ty, y(0) = (o) y tg t + y = sin t, y(π/6) = /4 (p) (t t 2 )y = y + t, y(/4) = 36) Determinare l integrale generale delle seguenti equazioni. y + y = y, (b) y 2y = 0, (c) 2y = y + y (d) y + 4y = t (e) y y = cos t, (f) y + y = te t. (g) y + y 2y = e t (h) y 2y + y = t ) Nelle equazioni che seguono, stabilire per quali valori del parametro ρ tutte le soluzioni sono periodiche. y + ρy + y = 0, (b) y + ρy = 0. 38) Nelle equazioni che seguono, stabilire per quali valori del parametro ρ tutte le soluzioni non banali sono oscillanti e tendenti a zero per t +. y + ρy + y = 0, (b) y y + ρy = 0. 8

9 Risposte agli esercizi -38. ) a-d-e-g-i sono convergenti; b-c-f-h sono divergenti. 2) b-c-d-e sono convergenti; a-f sono divergenti. 3) a-b-c sono convergenti; d è divergente 4) a-c sono semplicemente convergenti; b è assolutamente convergente. 5) a-c-d-e-g-h-i-j-k-l-n-o-q-s-t-w-x sono convergenti; b-f-m-p-u-v sono divergenti a + ; r è divergente a. 6) Il campo di esistenza richiesto è l insieme dei punti (x, y) IR 2 che verificano, rispettivamente, le seguenti condizioni: a - [ (x 0 y ) (x 0 y ) ], b - [ (x 0) (x > 0 / x < y < / x) ], c - [ 0 y x 2 ], d - [ (x < 0 2x < y < x) (x > 0 x < y < 2x) ]. 7) [ 2/(3 5) ] 8) Ci si riferisce, nell ordine, alle tre derivate direzionali richieste: a - [ 0; 0; /(2 2) ], b - [ 0; 0; ], c - [ ; 0; ], d - [ 0; ; /2 ] 9) a - [ 3x + 5y 4z = 0 ]; b - [ ]; 0) [ x + 2y 3 = 0 ] ) [ ±(2/e, e/2) ] 2) [ = f(0, ); 3 = f(2, ) ] 3) [ ( 5/2, /2) è il punto più vicino; (2, 3) è il più lontano ] 4) [ 9/2, area del triangolo di vertici (0, 2), (±3/2, ) ] 5) Ci si riferisce, nell ordine, ai valori di minimo e massimo assoluti. 9

10 a - [ /2 = f(/2, ); 2 = f(, 0) = f(0, 2) ] b - [ 0 = f(x, 0), 2 x 2; e = f(, ) ] c - [ log(4/3) = f(4/3, 3/4); (5/4) log(3/ 5) = f(5/3, 5/3) ] d - [ = f(, ); 3 3/4 = f(/2, 3/2) ] e - [ 3 3/6 = f( 3/2, /2); 3 3/6 = f( 3/2, /2) ] f - [ 0 = f(0, y), /2 y e; e = f(, e) ] g - [ 0 = f(x, 0), x 2; 32/27 = f(4/3, ±2 2/3) ] h - [ 2 = f( / 2, + (/ 2)); 0 = f(0, 0) = f(, ) ] i - [ 3 6 = f( 3, 6); /6 = f(2, ) ] j - [ π/4 = f(, 0); π/3 = f(2, 5) ] k - [ = f(, ) = f(, ); e 2 = f(, ) = f(, ) ] 6) Ci si riferisce, nell ordine, ai punti di minimo locale, massimo locale ed ai punti sella (ovvero ai punti stazionari che non sono di estremo locale). a - [ (, ); ; (0, 0) ]; b - [ (0, y), y > 0; (0, y), y < 0; (x, 0), x IR ]; c - [ ; ; (, /2) ]; d - [ ; ; (0, 0) ]; c - [ ; ; (2, ) ]; 7) a - [ no ]; b - [ sì (minimo) ]; c - [ no ]; d - [ sì (minimo) ]; 8) a - [ (2 2 ) ], b - [ 3 log 2 ], c - [ 0 ], d - [ /2 ], e - [ /6 ], 3 2 f - [ 0 ], g - [ (log 2)/6 ], h - [ 5π/4 ], i - [ /e ], j - [ 32/9 ], k - [ (log 4 )/2 ], l - [ ], m - [ log 2 (π/6) ], n - [ π/4 ], o - [ /2 ], p - [ (3/4) log(3/2) ]. 0

11 9) [ (3/2) log(3/2) ]. 20) a - [ 32/3 ], b - [ /3 ], c - [ 6/3 ], d - [ 4π ] 2) a - [ asse x : π 2 /4; asse y : π(π 2) ], b - [ π/2 ], c - [ π/5 ] 22) a - [ (0, 3π/8, 0) ], b - [ (0, 0, 45/56) ] 23) a - [ (7/6) (π/4) ], b - [ 32/5 ] c - [ 6π/3 ] 24) [ y = x ], 25) [ 3/2 ] 26) [ 9/2 ] 27) [ ] 28) [ 6 ] 29) a - [ 4π 2 ], b - [ /3 ] 30) [ 2π ] 3) a - [ F non è conservativo ], b - [ V (x, y) = 3 y3 + 2 x2 y x2 + c, c IR, (x, y) R 2 ], c - [ V (x, y) = xy log y + c, c IR, y > 0 ]. 32) a - [ V (x, y) = 2y xy + c, c IR, xy < ], b - [ V (x, y) = arctg (y/x) + c, c IR, x > 0, ]. 33) a - [ sì ], b - [ no ]. Nota: nel punto, a meno di un fattore scalare, F è il campo elettrico generato da una carica puntiforme situata nell origine. Un suo potenziale è dato da V (x, y) = (x 2 + y 2 ) /2. 34) a - [ log(2/3) ], b - [ 2 ], c - [ 2 (9/2) log 3 ], d - [ 5 log 2 + (π/2) 2 ].

12 35) Nel punti (k) ed (o) (come negli altri) si evidenziano le condizioni sulla variabile t imposte dal procedimento risolutivo. Tuttavia, per completezza, si osserva che, in questi due casi, la soluzione si può estendere ulteriormente (non viene richiesto allo studente). a - [ y(t) = 2e 2t /(e 2t + ), t IR ], b - [ y(t) = 2t 2, t > / 2 ], c - [ y(t) = 2t + t, t > 0 ], d - [ y(t) = 3 + e 2t, t IR ], e - [ y(t), t IR ], f - [ y(t) = (2e t )/(t + ), t > ], g - [ y(t) = log( + t) t, t > ], h - [ y(t) = 3e t2 /2 t 2 2, t IR ], i - [ y(t) = (t + 2), t > 2 ], j - [ y(t) = 2 sin t, π/2 < t < π/2 ], k - [ y(t) = t 2 t 2, t > (prolungabile a tutto IR) ], l - [ y(t) = + tg 2 ((2t + π)/4), π/2 < t < π/2 ], m - [ y(t) = t + 2 t 2 + 4t, t > 0 ], n - [ y(t) = t t 2, < t < ], o - [ y(t) = sin t, 0 < t < π/2 (prolungabile a ] π/2, π/2[) ], 2 p - [ y(t) = (t 2 t)/( t), 0 < t < ], 36) Le soluzioni sono le seguenti (definite su tutto l asse reale), al variare di c, c 2 IR. a - [ y(t) = e t/2 (c cos( 3t/2) + c 2 sin( 3t/2)) ], b - [ y(t) = c + c 2 e 2t ], 2

13 c - [ y(t) = c e t/2 + c 2 e t ], d - [ y(t) = c cos(2t) + c 2 sin(2t) + (t/4) ], e - [ y(t) = c e t + c 2 e t cos t ], 2 f - [ y(t) = c cos t + c 2 sin t + (t + 2 )e t ], g - [ y(t) = c e 2t + c 2 e t + 3 tet ], h - [ y(t) = e t (c + c 2 t) + t 2 + 4t ] 37) a - [ ρ = 0 ], b - [ ρ > 0 ] 38) a - [ 0 < ρ < 2 ], b - [ nessun valore di ρ ] 3