Distribuzione Gaussiana (Distribuzione ib i normale) l)

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1 (Distribuione ib i normale) l) f() Usata per guasti distribuiti casualmente attorno ad un valore medio temporale. Una variabile aleatoria si dice Gaussiana se la sua densità di probabilità vale: f ( ) exp con - < < + PDF f() μ = σ = Simmetrica rispetto al valor medio μ - flessi a μ ± σ μ è anche la moda

2 La funione di distribuione cumulata è l integrale della pdf : F( ) f ( ) d exp d CDF con - < < + F().8.6 μ = σ = Antisimmetrica rispetto al punto (μ,.5) -F(μ) =.5 μ è anche la mediana La pdf e la cdf cambiano forma e posiione al variare di μ e σ μ controlla la posiione sull asse delle ascisse PDF CDF f() = = 3 = 6 F().8.6 = = 3 =

3 La pdf e la cdf cambiano forma e posiione al variare di μ e σ σ controlla lo spanciamento PDF CDF f() = = = 3 F().8.6 = = = La distribuione Gaussiana è molto utiliata e diffusa, è utile quindi definire una variabile standardiata che rende possibile l uso di tabelle normaliate, in quanto riconduce il problema allo studio di una gaussiana con μ = e σ = f ( ) ( ) exp La distribuione Gaussiana Cumulata Φ() è data ovviamente dall integrale della φ(): F ( ) ( ) exp d I valori della Φ() sono tabellati e consultabili quindi per ogni tipo di problema, purché si effettui l opportuno cambio di variabile. (EXCEL DISTRIB.NORM.ST()) Sono inoltre tabellati anche i valori p della variabile standardiata corrispondenti a valori percentili p notevoli. 3

4 Si può dimostrare inoltre (sostituire σ = /(-μ) nella definiione di f()) che f ( ) d ( ) d Ciò garantisce il fatto che le probabilità bilità calcolate l con la variabile normaliata sono uguali alle probabilità calcolate con la variabile effettiva, cioè F( ) ( ) Essendo la distribuione φ() simmetrica, Φ risulta antisimmetrica rispetto al punto (,.5) per cui ( ) ( ) p Tenendo conto del cambio di variabile, si può facilmente calcolare i percentili p a partire dai percentili della variabile normal CDF.6.5 F(a) p p a p Gaussiana: Probablità Cumulata percentili p [%] p E

5 Eserciio tratto da es..6 del libro Dato un componente la cui vita è distribuita secondo una gaussiana con μ = 3 h e σ = 4 h, si chiede di calcolare: ) Le durate corrispondenti ad una probabilità di cedimento del % e del 9% ) La fraione di dispositivi aventi vita inferiore a 4 h 3) L affidabilità a 35 h 4) La probabilità di guasto tra 3 e 35 ore 5) La probabilità che un componente che ha già svolto 3 ore possa svolgere un ulteriore missione di 3 ore 6) Tasso di guasto a 35 h 7) La probabilità che un componente che ha già svolto 35 ore possa svolgere un ulteriore missione di ora ) Da tabella dei percentili si ottiene p per il % ed il 9% p% p9% p p h h p p Il % dei pei si rompe prima di 4.9h, mentre il % resiste fino a 35.h ) F(4)=? h.5 Da tabella CDF normaliata si ottiene: (.5). 933 Sapendo che ( ) ( ) (.5) (.5) % testo tabella normaliata 5

6 3) R(35) = -F(35) 353 h Da tabella CDF normaliata si ottiene: (.5).8944 F (35 ) R( 35) ) Probabilità di guasto tra 3 e 35 ore = F(35)-F(3) 33 3 h.5 (.5).695 F(3) 4 F( 35) F(3) ) R(3,3) =? R(35) F(35) (.5).8944 R( 3,3).34 R(3) F(3) (.5).695 testo tabella normaliata 6) h(35) =? f (35) h(35) R(35) 353 f(35) si ricava a dalla formula della pdf: f (35) exp f (35).4566 h( 35) 34 R (35) ) R(35,) =? R(36) F(36) (.5).933 R (35,).636 R(35) F(35) (.5) h.5 (.5) testo tabella normaliata 6