INTRODUZIONE ALLE COPPIE DI VARIABILI ALEATORIE

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1 INTRODUZIONE ALLE COPPIE DI VARIABILI ALEATORIE Esperimento: lancio di due dadi Frequenze Assolute osservate delle coppie di valori su Prove Dad1/Dado Frequenze Assolute teoriche dadi non truccati e indipendenti ( Prove) Dado1/Dado

2 Frequenze Assolute relative all esperimento del lancio di una coppia di dadi ripetuta Istogramma bidimensionale 284

3 INTRODUZIONE ALLE COPPIE DI VARIABILI ALEATORIE Esperimento: lancio di una freccia sul bersaglio (10000 prove) Y 285

4 Frequenze Assolute delle coppie di valori (,Y) Y Istogramma bidimensionale 286

5 Istogramma dei valori di (10000 prove) Supponendo che l errore sulla coordinata è indipendente da quello sulla coordinata Y e che è causato dalla somma di numerosi fattori indipendenti, è una v.a. Gaussiana. 287

6 Istogramma dei valori di Y (10000 prove) Supponendo che l errore sulla coordinata Y è indipendente da quello sulla coordinata e che Y è causato dalla somma di numerosi fattori indipendenti, Y è una v.a. Gaussiana. 288

7 , COPPIE DI VARIABILI ALEATORIE Distribuzioni di Probabilità Congiunte e Marginali Date due variabili aleatorie ed Y Proprietà statistiche individuali: Funzioni di Distribuzioni (o di Densità) marginali F x, f x e F y, f y Proprietà statistiche congiunte, cioè di Y Y,Y come coppia di variabili aleatorie: Funzione di Distribuzione Congiunta FY x, y 289

8 Funzione di Distribuzione (cumulativa) Congiunta Dato l evento x,y y generato dalla coppia di variabili,y cioè l'appartenenza di un punto P x,y a D 0 P D 0 y x la Funzione di Distribuzione congiunta è: FY x,y P x,y D0 P x, Y y 290

9 Densità di Probabilità Congiunta La densità di probabilità congiunta f Y x,y è tale che: P x x dx, y Y y dy f x,y dxdy Y f Y x,y x y y dy y x dx x 291

10 Densità di Probabilità Congiunta (segue) Per una generica regione D del piano x, y : P, Y D fy x,y dxdy Applicando l espressione precedente alla regione D 0, si ha:,,, F x y f dd f dd Y Y Y D 0 da cui si ricava il legame tra densità e distribuzione congiunte: f Y x,y 2 D F Y y x y x,y x P D 0 y x 292

11 La Distribuzione Marginale o La distribuzione marginale della v.a. è: F x F x, o Infatti la probabilità dell evento Y x eguaglia la massa relativa alla regione a sinistra della retta verticale passante per x, cioè la probabilità dell evento: x,y y x x o Analogamente per Y : F y F,y Y Y 293

12 La Densità Marginale Considerando l evento x xx,y che definisce sul piano una striscia che poi si farà tendere a zero (dx), si ha: D x di sviluppo verticale e larghezza x, y D () x dx x x x, P D x f x y dydx f x x D( x) Y 294

13 L integrale, x a zero: La Densità Marginale (segue) f Y x y dydx si può scrivere facendo tendere D( x) y D () x + f xdx f Y x, ydy dx x dx x Quindi la densità marginale è: f x fy x,ydy o Si dice che la densità marginale di si ottiene saturando Y. o Analogamente per la v.a. Y : fy y fy x,y dx 295

14 Massa di Probabilità Congiunta Se e Y sono variabili aleatorie discrete, si definisce la massa di probabilità congiunta sui diversi punti di coordinate x,y : P x,y y p i k ik Massa di Probabilità Marginale P x p ; P Y y q i i k k Si ottengono per saturazione dell altra variabile aleatoria: pi pik q k k i p ik i k 296

15 Esempio: densità di probabilità gaussiana bidimensionale Y 1 x y f x, y exp 2 2 Y Y 2 2Y, Y 2 297

16 f Esempio: densità di probabilità gaussiana bidimensionale o In generale Y x,y x x y y 1 1 exp con: 2 2 Y Y Y 21 Y Y x 2 1 f x exp 2 2 2, y 2 1 Y fy y exp Y Y o Densità di probabilità marginali di e Y. o definisce il coefficiente di correlazione tra la variabile aleatoria e la variabile aleatoria Y. 298

17 Curve di livello Funzione densità di probabilità gaussiana bidimensionale nel caso di 0.3, Y 0.15, Y 0 299

18 Curve di livello Funzione densità di probabilità gaussiana bidimensionale nel caso di 0.3, Y 0.3, Y 0 300

19 Curve di livello Funzione densità di probabilità gaussiana bidimensionale nel caso di 0.3, Y 0.3, Y

20 Indipendenza statistica di due variabili aleatorie La proprietà di indipendenza di due variabili aleatorie si basa su quella di indipendenza tra due eventi A e B: P A B P A PB Definizione: Due variabili e Y sono statisticamente indipendenti, se sono indipendenti gli eventi Y y e x, cioè: P x, Y y P x PY y x, y F x,y F x F y Y Y da f x,y df x dfy y fy x,y f x fy y dx dy Y 2 F Y x y x,y 302

21 Indipendenza statistica di due variabili aleatorie (segue) Nel caso di variabili aleatorie discrete e Y, definendo gli eventi: e x i con le masse di probabilità marginali i Y Y k e q PY Y p P x allora e Y sono indipendenti se: i pik pi qk k k 303

22 Esempio di Variabili Indipendenti Esperimento: doppio lancio di un dado non truccato con sei facce. Risultati: 36 del tipo fi f j, dove i ( j ) indica la faccia del dado. Variabili aleatorie: e Y associate al numero che compare sulla faccia superiore rispettivamente al primo ed al secondo lancio: i j f f i con i 1,2,...,6 Y f f j con j 1,2,...,6 1 1 P i PY j P i, Y j P ipy j 36 Nello spazio S dei due lanci indipendenti e Y sono indipendenti. i j 304

23 Esempio di Variabili Indipendenti e Y sono indipendenti, uniforme in (0, a) e Y uniforme in (0, b) Densità marginali Densità congiunta 1 ab f Y ( x,y) b y x a 305

24 Funzione di una Coppia di variabili aleatorie o Data la funzione z g x,y costruisce la v.a. Z: o La densità di probabilità. o Calcolo del valore atteso di Z: o NB: Non occorre ricavare la e data la coppia di vv.aa. Z g,y,y si f z risulta assegnata nota f x,y Z E Z z f z dz Z f z : E Z E g,y g x,y f x,y dxdy Z. Y Y 306

25 Covarianza e Correlazione Se si prende z g x,y x y, il prodotto di due variabili aleatorie e Y forma una terza variabile aleatoria Z Z Y Definizione: o Si definisce CORRELAZIONE tra le v.a. ed Y il valore atteso del loro prodotto Cor,Y E Y Definizione: o Date due variabili aleatorie ed Y la loro COVARIANZA è: Cov,Y E Y Y Y dove ed Y sono i valori attesi di ed Y rispettivamente. 307

26 Relazione tra Covarianza e Correlazione Y Cov,Y Cor,Y Verifica: Cov,Y E Y Y E Y E Y E Y Y Y E Y 308

27 Coefficiente di Correlazione Definizione: o Si definisce coefficiente di correlazione di ed Y la covarianza normalizzata : Y r Y dove ed Y sono le deviazioni standard di ed Y. o A volte il coefficiente di correlazione si indica con: o semplicemente con. Y Y 309

28 Variabili Aleatorie Centrate e Normalizzate Date le variabili aleatorie ed Y si definiscono: Y Y 0, Y0 0 e Y 0 sono dette v.a. standardizzate e hanno per definizione: Y E E Y Y Ne segue che: Y Cov,Y E Y E Y Y 1 Cov Y E Y r Y Y Y Y 310

29 Disuguaglianza di Schwartz Data la coppia di vv.aa. e Y, vale la seguente disuguaglianza: E Y E E Y Verifica: se c è una costante, per la variabile aleatoria differenza: Y c 2 deve essere: E Y c Q c Qc risulta non negativa se: Q c E Y 2cE Y c E c 2c0 La forma quadratica quindi E Y E E Y E Y E E Y 311

30 Disuguaglianza di Schwartz Graficamente se la parabola non interseca l asse delle ascisse (cioè non ci sono radici reali dell equazione di 2 grado nell incognita c): Q c Q c Sì No 0 c 0 c Il che prova l ineguaglianza di Schwartz: A volte si trova la notazione: E Y E E Y E Y E E Y 312

31 Proprietà del Coefficiente di Correlazione o Il coefficiente di correlazione tra due v.a. e Y è compreso in modulo tra -1 e +1: 1r 1 Dimostrazione: (si fa uso della disuguaglianza di Schwartz) Se E ed EY Y c Y, indicando con e Y c Y Y ed applicando la disuguaglianza di Schwartz a 2 2 E cyc ry E c E Y c E 2 Y 2 2 c c E c E Y c E Y c e Y c, si ha: c c ry E c EY c 313

32 Proprietà del Coefficiente di Correlazione (segue) Il coefficiente di correlazione r Y 1 se Y è funzione lineare di : Y con, costanti Verifica: Infatti sostituendo nella definizione e ricordando che Y E Y E E E E Y E Y ry Y 2 E E

33 Esempio di Variabili Correlate o Data la coppia di v.a. ( 1, 2 ) indipendenti con Masse marginali: P( 1 = i) = 1/6 P( 2 = j) = 1/6 i, j = 1, 2,,6 Massa congiunta: P( 1 = i, 2 = j) = P( 1 = i)p( 2 = j) = 1/36 o Se definiamo la v.a. somma: S = o Le v.a. 1 ed S sono correlate. 315

34 Esempio di Variabili Correlate Infatti essendo e S 1 2 * S =2 * per l'indipendenza tra 1 e Cor 1,S E 1S E * E E Cor,S Cov 1,S 1 S r S S

35 Dominio della coppia ( 1, S) Somma S Su ogni la massa di probabilità vale: P i,s j Pi,j 12 Massa Marginale 1 P 1 i P i, j i 1,2,...,6 6 j2 Dado 1 6 j j i1 36 Massa Marginale PS j Pi,j 1 j 2,...,7 j 8,...,

36 Simulazione su Prove di ( 1, S) 318

37 Simulazione su Prove di ( 1, S) Massa di Probabilità congiunta di ( 1, S) i/j ,0282 0,0275 0,0277 0,0279 0,0286 0,0278 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,1677 1/6 2 0,0000 0,0279 0,0284 0,0282 0,0280 0,0274 0,0279 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,1678 1/6 3 0,0000 0,0000 0,0265 0,0272 0,0272 0,0274 0,0282 0,0276 0,0000 0,0000 0,0000 0,1641 1/6 4 0,0000 0,0000 0,0000 0,0274 0,0273 0,0273 0,0270 0,0287 0,0278 0,0000 0,0000 0,1654 1/6 5 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0279 0,0272 0,0282 0,0281 0,0284 0,0272 0,0000 0,1668 1/6 6 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0289 0,0281 0,0267 0,0275 0,0288 0,0282 0,1682 1/6 0,0282 0,0554 0,0825 0,1107 0,1391 0,1660 0,1393 0,1110 0,0836 0,0560 0,0282 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 319

38 Definizione: Variabili Aleatorie Scorrelate o Le variabili aleatorie e Y sono scorrelate (o incorrelate) se la loro correlazione eguaglia il prodotto dei loro valori attesi: E Y E EY o Dalla relazione tra covarianza e correlazione Cov,Y Cor,Y per variabili scorrelate si ha: Y Y Y 0 ry 0 320

39 Varianza della Differenza di v.a. Correlate Data la v.a.: Y Y E Y E Y E E Y 2E Y E E Y 2E E Y E E EY E Y 2 E Y E E Y 2 2 Y 2Cov,Y 2r 2 2 Y Y Y In particolare se: ry 1 2 Y Y 321

40 Varianza della Somma di v.a. Correlate Data la v.a.: Y procedendo come fatto per la differenza si ottiene: 2r Y Y Y Y Se e Y sono scorrelate r 0: Y Y Y o Se le variabili sono scorrelate, a varianza della somma (differenza) è uguale alla somma delle varianze. o Le fluttuazioni si sommano quadraticamente se le loro cause sono indipendenti. 322

41 Variabili Aleatorie Ortogonali Definizione: o Due variabili aleatorie e Y sono ortogonali se E Y 0 Segue che se e Y sono ortogonali: E Y E E Y 323

42 Indipendenza e Scorrelazione o Due variabili aleatorie indipendenti sono anche scorrelate. Verifica: Y E Y Y x y f x,y dxdy Y Y per l indipendenza: f x,y f x f y x f x dx y f y dy Y Y E E Y 0 Y Y Y Indipendenti Scorrelate 324

43 Andamenti empirici (scatter plots) di due variabili aleatorie y y r = 1 0 x x 325

44 Andamenti empirici (scatter plots) di due variabili aleatorie y y r > 0 0 x x 326

45 Andamenti empirici (scatter plots) di due variabili aleatorie y y r < 0 0 x x 327

46 Andamenti empirici (scatter plots) di due variabili aleatorie y y r < 0 0 x x 328

47 Il Concetto di Regressione o La regressione si può intendere come un problema di stima di una v.a. Y nota la v.a.. Ovvero determinare una funzione: y x tale che l'errore di stima definito come: Y sia minimo secondo qualche criterio statistico. 329

48 Regressione Lineare Se si assume una funzione lineare per si parla di regressione lineare. x a bx x: o Nel caso della regressione lineare di due variabili e Y, l errore diviene: Y a b o Si vuole scegliere i coefficienti a e b in modo da minimizzare il valore quadratico medio di : e E E Y a b yabx fy x,ydxdy 330

49 y Regressione Lineare (segue) x,y i i y a bx Y 0 Errore di stima della regressione lineare x 331

50 Regressione Lineare (segue) Calcolo dei coefficienti a e b tali che: min e min E Y a b e a e b e 2EY a b 0 EY a be a e 2 2E Y ab 0 EYaEbE 0 b

51 Regressione Lineare (segue) Dalla prima equazione, cioè EY a be si ottiene: ab Y Sottraendo quest'ultima espressione all equazione Y a b si ha: Y Y b o La retta di regressione passa per il punto, detto centroide Y 333

52 e Dalla seconda equazione 0 b si ottiene: 2 2 E Y a b 0 Regressione Lineare (segue) E Y ae be 0 : 2 E Y ab 2 Y Cov,Y E Y Y 2 E Y a b b 0 E Y a b b 0 E Y b 0 Cov,Y b 0 r b 0 2 Y Y Cov,Y ry Y b r Y Y da cui essendo a Y b a r Y Y Y 334

53 Regressione Lineare (segue) o L'approssimazione lineare che minimizza l errore quadratico medio (LSM, Least Mean Square) di Y su è la retta di regressione : Y y Y ry x Y che passa per il punto, Y e ha pendenza ry. y Y tg Y r Y x 335

54 Momenti Congiunti di una Coppia di v.a. o Data una coppia di variabili aleatorie congiunti sono: k r k r mkr E Y x y fy x,ydxdy o Momenti congiunti centrali:,y i momenti k r k r E Y x y f x,y dxdy kr Y Y Y 336

55 Momenti Congiunti di una Coppia di v.a. (segue) m Casi particolari: ; m Y m ; m Y Y 10 0; 01 0 Cov,Y r 11 Y Y Y ; Y 337

56 Distribuzione di una Funzione di una Coppia di v.a. Z g,y, la distribuzione marginale: Data la variabile aleatoria Z dove superficie g x,y sotto il piano z,, F z P Z z P g Y z P Y D z D z è la proiezione sul piano z costante. x, y della porzione di Piano z = cost z g x,y x y D z 338

57 Esempi di Funzione di una Coppia di v.a. Massimo tra due variabili aleatorie: Z g,y max,y tali che D z x,y max x,y z x z y z y z 0 D(z) z x Si ha pertanto: F z F z,z Z Y 339

58 Esempi di Funzione di una Coppia di v.a. (segue) Minimo tra due variabili aleatorie: Z g,y min,y tali che D z x,y min x,y z x z y z Y z D(z) 0 z x Si ha pertanto: F z F,z F z, F z,z Z Y Y Y 340

59 Esempi di Funzione di una Coppia di v.a. (segue) Somma di due variabili aleatorie: Z Y Calcolo della funzione di Distribuzione L equazione z g x,y x y definisce un piano nello spazio; l intersezione col piano z x, y: Z costante definisce una retta sul piano y z x oppure x z y o F z P Z z P x, y al semipian D z D z y y x z 0 x 341

60 Somma di variabili aleatorie discrete Siano e Y v.a. discrete con massa di probabilità congiunta: P i Y j p i, j interi se: si ha:,, i j Z Y P Z k p i j k essendo n il simbolo di Kronecker: n Pertanto i j i,j P Z k p i,ki i 1 n 0. 0 n 0 342

61 Somma di variabili aleatorie discrete Masse da sommare nel caso di k = 4 e k = -1. j k=-1 k=4 i 343

62 Somma di variabili aleatorie discrete Nel caso particolare in cui: pi,j 0 solo per i0, i N e j 0, j N si ha: k P Z k pi,k i per 0k N i0 N P Z k pi,k i per N k 2N ikn P Z k 0 fuori degli intervalli suddetti. 344

63 Somma di variabili aleatorie discrete In figura è mostrato il caso N =3, con k = 1 e k = 4. j i k=1 k=4 Se e Y sono indipendenti, le espressioni precedenti si fattorizzano dando luogo alla convoluzione discreta della massa di probabilità di con la massa di probabilità di Y: PZ k pi pk i i 345

64 Somma di due variabili aleatorie Caso Discreto Lancio di due dadi: 1,2,...,6 e Y 1,2,...,6 Z Y Z 2,3,4,...,11,12 Calcolo della massa di probabilità PZ 2 P1,1 PZ 3 P1,2 P2,1 PZ 4 P1,3P2,2 P3,1 PZ 11 P5,6 P6,5 PZ 12 P6,6 346

65 Somma di due variabili aleatorie Caso Discreto Masse di probabilità relative al lancio di due dadi : 1 dado, Y: 2 dado, Z Y k1 PZ k P i,y ki k 2,3,4,...,11,12 i1 347

66 Esempio A:,,, v.a. indipendenti equidistribuite con Masse di Probabilità: 1 P i k per k 1,2,3 P i k 0 altrove Massa di Probabilità i (i = 1, 2, 3, 4) 348

67 Esempio A: Massa di Probabilità della Somma: 1 2 ottenuta per convoluzione delle masse di probabilità di 1 e di Somma di 2 variabili aleatorie 0.3 Massa di Probabilità di

68 Esempio A: Massa di Probabilità della Somma: convoluzione delle masse di probabilità di 1 2 e di 3. ottenuta per 0.35 Somma di 3 variabili aleatorie 0.3 Massa di Probabilità di

69 ottenuta e di 4 Esempio A: Massa di Probabilità della Somma: per convoluzione delle masse di probabilità di Somma di 4 variabili aleatorie 0.3 Massa di Probabilità di E Var

70 Esempio A: Densità di Probabilità Gaussiana: confrontare con la massa di probabilità di N 8; 8 3 da 0.35 Variabile Gaussiana: eta = 8, sigma = Densità di Probabilità Z 352

71 Densità della Somma di due variabili aleatorie continue La densità di probabilità di Z Y Z g,y ) (o in generale di nota la densità congiunta f una variabile aleatoria Y x,y, si può ricavare prendendo W Y e calcolando prima (mediante il teorema fondamentale per trasformazioni di coppie di variabili aleatorie) z,w e poi fzw fz z fzw z,wdw Si userà qui un procedimento più semplice. 353

72 Densità della Somma di due variabili aleatorie continue y dz x y z dz Z Y z Z z dz se e solo se x, y D z z Y z dz cioè se dz x Z f z dz P zz zdz P x,y D z D(Z) + fy z y,ydydz Z + f z f z y, y dy Y 354

73 Somma di due variabili aleatorie Indipendenti Se le v.a. e Y sono indipendenti, per Z Y dal risultato precedente: si ottiene, per l'indipendenza: Z + f z f z y, y dy Y f z f z y f y dy Z Y la quale è la convoluzione delle densità di probabilità di e di Y. 355

74 Date due funzioni f x ed con h x, e si indica con: il seguente integrale: Concetto di Convoluzione h x si definisce convoluzione di g x f x hx g x h x t f t dt f x 356

75 Somma di due v.a. Indipendenti Esponenziali Se e Y sono v.a. con densità esponenziale di uguale valore atteso: f x exp x U x f y exp y U y allora per la densità della loro somma Z si ottiene: 2 z 0 fz z exp z t exp t dt z exp z dt 2 z exp zu z 2 0 Y 357

76 Somma di due v.a. Indipendenti Esponenziali f() f(z) Y f x exp x U x f y exp y U y Z Z 2 f z z exp z U z 358

77 Somma di due v.a. Indipendenti Uniformi Se e Y sono distribuite uniformemente nell'intervallo 0,c, la densità della loro somma Z è un triangolo. Si ottiene per convoluzione di due rettangoli eguali: y f (w) = f (w) x y f (z) z 2c - z c 1 c 1 c ( 2c - z ) dz zdz S z = x + y 0 z c z x 0 c w c 2c z dz 359

78 Convoluzione di un triangolo con un rettangolo ft () 0.5 ht () t 0 2 t R x A C B D x triangolare rettangolare convoluzione tra R x è costituita dai tre rami di parabola: OA, AB,BD f t e ht 360

79 Convoluzione di un triangolo con un rettangolo (segue) hxt (-) 0.5 ft () x=1 x=2 x= t t t 0 0 x=5 x=6 t 0 0 Rx è interpretabile come la densità della somma di tre variabili aleatorie uniformi in 0,2. t 361

80 Densità di Probabilità della Somma Z di due v.a. indipendenti e Y Uniformi in (a, b) Z Y Y f x f y 1 b a -b -a 0 a b 2a a+b 2b x,y Intervalli di definizione per la v.a. Z Z 2a Evento impossibile 2a Z 2b Z 2b Evento impossibile 362

81 Calcolo della densità di Z f z f x f y f f z d Z Y Y f f d z 2a Z z z 2 2 2a ba ba d 2b z Z z 2b 2 2 z Z f z 0 altrove f Z ba ba z per 2a z a b per a b z 2b b 1 a 0 a b 2a a+b 2b z 363

82 Funzioni di una Coppia di Variabili Aleatorie Date due v.a. e Y e due funzioni le variabili aleatorie così definite: Z g x,y e h x,y g,y e W h,y sono una coppia la cui distribuzione congiunta FZW z,w può essere espressa in funzione di FY x,y 364

83 Il Teorema Fondamentale per Coppie di v.a. Considerata la trasformazione: Z g,y W h,y la densità di Z,W è data da: f x,y f x,y f x,y fzw z,w... J x,y J x,y J x,y Y 1 1 Y 2 2 Y N N (a) N N con: J x,y determinante dello Jacobiano della trasformazione; x, y per i 1,2,...,N sono le coppie che soddisfano: i i g x,y i i z e hx,y i i w (b) 365

84 Il Teorema Fondamentale per Coppie di v.a. (segue) Si riporta la definizione dello Jacobiano: J x, y g x,y g x,y x h x,y y hx,y x y 366

85 Il Teorema Fondamentale per Coppie di v.a. (segue) Dimostrazione: g (x,y) = z y dz g (x,y) = z +dz w A dw y i B i h (x, y )=w 0 z 0 Trasformazione dell'elemento di superficie del piano z,w al piano x,y. Pz,w A P x,y B i i 1,2,...,N P z Z z dz, w W w dw f z,w dzdw ZW x i x 367

86 Il Teorema Fondamentale per Coppie di v.a. (segue) L area di B i è pari a: dato che: Area A si ha: area A Area Bi Jx i,yi dzdw, e che P z,w A f z,w dzdw i f x,y (c) ZW Y i i P,Y Bi dzdw J x,yi Essendo l'evento z Z z dz,w W w dw unione degli eventi disgiunti,y B i, dalla relazione (c) segue la (a): f x,y f x,y f x,y fzw z,w... J x,y J x,y J x,y Y 1 1 Y 2 2 Y N N N N 368

87 La densità Uso della variabile ausiliaria f z di una sola funzione Z g,y Z di due v.a. e Y può essere determinata ricorrendo al Teorema fondamentale ed W h,y, come segue: introducendo una variabile ausiliaria 1) si determina f 2) si determina ZW Z z,w (Teorema Fondamentale) f z f z,w dw (si satura W) ZW La variabile aleatoria W è scelta opportunamente, di solito si sceglie: W oppure W Y 369

88 Trasformazioni Lineari Data la trasformazione con a,b,c,d costanti: Z a b W cy d Si ha un unica soluzione per ogni valore di z,w : z b w d x 1 y1 a c Lo Jacobiano vale: J x,y Applicando il Teorema Fondamentale: z b w d f Y, a c fzw z, w ac ac 370

89 Somma di due variabili aleatorie Date le v.a. e Y si consideri la variabile aleatoria Z Y Per determinare la densità di Z, si introduce la variabile ausiliaria in questo caso: W Y 1 1 J x,y Dal Teorema Fondamentale risulta, con ZW saturando rispetto alla W: Z x 1 f z,w f z w,w Y f z f z w,w dw Y z w e y 1 w 371

90 Densità del Prodotto di Due Variabili Aleatorie Z usando la variabile ausiliaria: pertanto z xy w y saturando la v.a. W Y W Y y x J x, y y 0 1 con 1 z fzw z,w f Y,w w w 1 z fz z f Y,wdw w w 372

91 Densità del Rapporto di Due Variabili Aleatorie Z Y usando la variabile ausiliaria: W Y x 1 x z 2 1 y con Jx,y y y y w y 0 1 pertanto saturando la v.a. W ZW f z,w w f zw,w Y f Z z w fy zw,wdw 373