= = 4 5.

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1 n.a. discreti Esempio 54 Dieci carte vengono suddivise in due scatole U 1 e U 2 di 5 carte ciascuna. Nella scatola U 1 vi sono solo carte vincenti mentre nella scatola U 2 vi sono 3 carte vincenti e 2 perdenti. Si sceglie a caso una delle due scatole e da essa si e ettuano estrazioni con restituzione (all infinito). Indicando con H l evento la scatola scelta è U 1 e con E i l evento la i-esima carta estratta è vincente, i =1, 2...,, calcolare a) la probabilità dell evento E 1 ; b) la probabilità dell evento nelle prime due estrazioni vi è una (e una sola) carta vincente ; c) il valore atteso del numero aleatorio Y = numero di estrazioni sino ad ottenere una carta vincente. P (E 1 )= ; = ; E(Y )= ;. Soluzione. Si ha P (E 1 )=P(E 1^ ) = P (E 1^(H_H c )) = P (E 1 H)P (H)+P (E 1 H c )P (H c )= Inoltre = = 4 5. = P (E 1 E c 2 _ Ec 1 E 2)=P (E 1 E c 2 )+P (Ec 1 E 2). G. Sanfilippo - CdP pag. 233

2 n.a. discreti Osserviamo che gli eventi E i, condizionatamente ad H, sono stocasticamente indipendenti, pertanto si ha P (E 1 E c 2 )=P (E 1E c 2 H)P (H) +P (E 1E c 2 Hc )P (H c )= = P (E 1 H 1 )P (E c 2 H)P (H) +P (E 1 H c )P (E c 2 Hc )P (H c )= = 3 25 E facile verificare che P (E 1 E c 2 )=P(Ec 1 E 2) (gli eventi E i sono scambiabili), quindi = Osserviamo che P (Y =1 H) =1, e P (Y = n H) =0, n > 1 ; inoltre P (Y = n H c )= n 1, n 1. 5 Pertanto, E(Y )= P +1 n=1 np (Y = n) = = P +1 n=1 n[p (Y = n H)P (H) +P (Y = n Hc )P (H c )] = = P +1 n=1 n n = = 8 6 = 4 3. Piu in generale, posto p 1 =1, p 2 = 3 5,sihaY H G(p 1), Y H c G(p 2 ) e E(Y )=E(Y H)P (H) +E(Y H c )P (H c )= p 1 2 p 2 Nota. Il numero aleatorio Y non ha una distribuzione geometrica, bensì la sua distribuzione è una mistura di due distribuzioni geometriche. G. Sanfilippo - CdP pag. 234

3 n.a. discreti Esercizio 27 (Distribuzione di Pascal 19 ) Data una successione di eventi E 1,E 2,...,E n,..., indipendenti ed equiprobabili, con P (E i )=p, q =1 p, siat k il numero aleatorio di prove fino al k-esimo successo, con k 2 N. Osserviamo che X è un numero aleatorio discreto, infatti T k 2{k, k +1,k+2,...}. Verificare che oppure che P (T k = n) = n 1 p k q n k, n = k, k +1,k+2,... k 1 P (T k = k + h) = k + h 1 p k q h,h=1, 2, 3,... k 1 Il numero aleatorio T k ha una distribuzione di Pascal di parametri k, p. Esempio 55 (Problema della ripartizione della posta) Sia data una successione di eventi E 1,E 2,...,E n,..., indipendenti ed equiprobabili, con P (E i ) = p. Calcolare la probabilità dell evento A k,m di ottenere k successi prima di m insuccessi. Osserviamo che si verificano k successi prima di m insuccessi se e solo se il k-esimo successo non si verifica dopo la k + m 1-esima prova, cioè A k,m =(T k = k) _ (T k = k +1)_ _(T k = k + m 1), G. Sanfilippo - CdP pag. 235

4 dove T k è il numero aleatorio di prove sino al k esimo successo. Pertanto n.a. discreti P (A k,m )=P (T k = k) +P (T k = k +1)+ + P (T k = k + m 1) = = k 1 p k q 0 + k 1 k k + m 2 p k q p k q m 1 = k 1 k 1 k+m X 1 n=k n 1 p k q n k. k 1 Immaginiamo due giocatori A, B che mettono in palio un montepremi di 64 euro e fanno la seguente gara. Si lancia una moneta, se esce Testa, il giocatore A ottiene 1 punto, altrimenti, se esce Croce, il giocatore B ottiene 1 punto. Si lancia nuovamente la moneta sino a quando uno dei due giocatori raggiunge un punteggio pari a 6. Vince il montepremi il giocatore che per prima raggiunge 6 punti. Supponiamo che il gioco si interrompe con il punteggio di 5 a 3 per il giocatore A. Come andrebbe suddiviso equamente il premio tra i due giocatori? Per stabilire la ripartizione equa osserviamo che se il gioco continuasse ancora il giocatore A vincerebbe se egli facesse un punto prima che il giocatore B facesse 3 punti. La probabilità di G. Sanfilippo - CdP pag. 236

5 ottenere 1 successo prima di 3 insuccessi è data da n.a. discreti = P (E 1 _ E c 1 E 2 _ E c 1 E 2cE 3 )= = 7 8. La ripartizione equa consiste nel suddividere la posta in 8 parti delle quali 7 andrebbero ad A e 1 andrebbe a B. Considerato che la posta in gioco è di 64 euro, ad A andrebbero 56 parti e a B 8 parti. G. Sanfilippo - CdP pag. 237

6 Distribuzione di Poisson n.a. discreti Si dice che un numero aelatorio X ha una distribuzione di Poisson 20 di parametro 2 R +,esiindica X P( ), se valgono le seguenti condizioni, con 1) X 2 N 0 = {0, 1, 2, 3,...,n,...}; 2) P (X = n) =p n = n n! e, 8 n 2 N 0. Si ha P 1n=0 p n = P 1 n=0 n n! e = e P 1n=0 n n! = e e =1. La distribuzione di Poisson di parametro può essere utilizzata come approssimazione di una distribuzione binomiale di parametri (n, p) quando n tende a infinito e p è piccolo, purchè il prodotto np si mantenga costante e pari a.intalcasosihache Bin(n, p) =)P( ), = np. 20 S.D. Poisson, Ricerche sulla probabilità dei giudizi in materia criminale e civile, 1837 G. Sanfilippo - CdP pag. 238

7 n.a. discreti Per tale motivo la distribuzione di Poisson si usa in una grande varietà di applicazioni, ad esempio (sotto certe condizioni) si utilizza come distribuzione di probabilità di un n.a. X che rappresenta 1. il num. di telefonate che giungono ad un centralino in un giorno; 2. il num. di clienti che si presentano ad uno sportello in una mattina; 3. il num. di automobili che transitano ad un casello autostradale in un mese; 4. il num. di particelle emesse da un corpo radioattivo in un periodo di tempo fissato; 5. il num. di errori di stampa in una pagina di un libro Una delle prime applicazioni si ebbe nell esercito prussiano, per valutare la probabilità, molto piccola, che un soldato dell esercito morisse in seguito ad un calcio di cavallo 21. Osserviamo che, sotto certe ipotesi, la distribuzione Binomiale si può approssimare con la distribuzione di Poisson. In riferimento al num. di errori di stampa in una pagina di un libro, possiamo supporre che ci sia una piccola probabilità p che una singola lettera di un testo venga sbagliata. Inoltre se consideriamo gli eventi E i = l i-esima lettera è sbagliata, indipendenti ed equiprobabili allora il numero aleatorio di errori in una pagina può essere approssimato con un numero 21 Ladislaus Bortkiewicz, The law of small numbers, 1898 G. Sanfilippo - CdP pag. 239

8 aleatorio con distribuzione di Poisson con parametro numero di lettere che formano una singola pagina. n.a. discreti = np, dove n rappresenta il Approssimazione della Distribuzione Binomiale con una Distribuzione di Poisson Consideriamo una successione S 1, S 2,...,S n,... di numeri aleatori con distribuzione binomiale con lo stesso valore atteso,cioès n Bin(n, p n ) con n p n = 22. In questo modo ad ogni prova la probabilità di successo p n al crescere di n diventa sempre più piccola e i successi diventano eventi rari. Si ha lim P (S n = k) = n!1 k k! e 8k 2 N 0 Infatti lim n!1 P (S n = h) =lim n!1 n h ( n ) h (1 n )n h = n(n 1) (n h+1) =lim n!1 h! ( n ) h (1 n ) n (1 n ) h = h h! e. Pertanto: B(n, n )! n!1 P( ), cioè sotto certe condizioni (n grande e p piccolo ) la distribuzione Binomiale si può approssimare con la distribuzione di Poisson Si considera la successione a partire dai valori di n per i quali si ha p n = n < 1 23 Piu in generale si può dimostrare che data una successione di numeri aleatori {X n}n con Xn avente distribuzione binomiale di parametri n, pn e con limn!1 npn = = costante allora la successione {Xn}n converge in distribuzione a un numero aleatorio X con distribuzione di Poisson di parametro,cioèxn 7! d X con X P ( ). G. Sanfilippo - CdP pag. 240

9 Previsione e Varianza Si ha n.a. discreti E(X) = P 1 n=0 np n = P 1 n=0 n n n! e = = P 1 n=0 n n 1 n! e = P 1 n=1 n 1 (n 1)! e = 1=, E(X 2 )= P 1 i=0 n 2 p n = = 2 +, Var(X) = =. Nella distribuzione di Poisson la previsione e la varianza coincidono. Infatti si ha E(X) =var(x) = Tale risultato è ragionevole se consideriamo X come approssimazione di una distribuzione binomiale di parametri (n, p), pern grande, p piccolo e = np. Infattisiha = np ' np(1 p). G. Sanfilippo - CdP pag. 241

10 n.a. discreti Esempio 56 Il numero aleatorio X di telefonate che arrivano ad un centralino in un dato giorno ha una distribuzione di Poisson di parametro >0. Sapendo che il numero medio di arrivi nel giorno considerato è pari a 10, calcolare la probabilità dell evento A = arrivano al più 2 telefonate e dell evento (2.5 apple X < 3.5). Inoltre, supposto che siano arrivate almeno 2 telefonate (evento B), calcolare la probabilità che siano arrivate al più 3 telefonate (evento C). P (A) = P (2.5 apple X<3.5) = = Poichè E(X) =10si ha X P(10). Quindi P (A) = P (X apple 2) = P (X =0)+P (X =1)+P (X =2)= 10 = 0 e 10 0! e 10 1! e 10 2! =61e 10 ' Inoltre Infine, P (2.5 apple X<3.5) = P (X =3)= 103 e 10 3! = = P (C B) =P (X apple 3 X 2) = P (X=2_X=3) P (X 2) = P (X=2)+P (X=3) 1 P (X<2) = = ! e ! e e ! 101 e 10 1! = e 10 = (e 10 1) =' G. Sanfilippo - CdP pag. 242

11 n.a. discreti Esempio 57 In una città esiste un parco autobus costituito da 1000 unità. Da considerazioni statistiche si sa che in media il numero di autobus guasti che si osservano ogni mattina è pari a 2. Indichiamo con X il numero aleatorio di autobus guasti in una mattina specifica. Se, per ogni i =1, 2,...,1000, definiamo l evento E i = l i-mo autobus è difettoso, possiamo ritenere gli E i equiprobabili e indipendenti, con p = P (E i ).SihaX B(1000,p). Calcolare p. Inoltre calcolare P (X > 1) utilizzando opportune approssimazioni. Esempio 58 Consideriamo un esperimento che consiste nel contare il numero di particelle emesse da un grammo di materiale radioattivo in un secondo. Se sappiamo che mediamente vengono emesse 2 particelle, come possiamo approssimare la probabilità che non siano emesse più di 3 particelle? ' Esempio 59 Si supponga che il numero aleatorio delle richieste, al secondo, che pervengono ad un elaboratore possa essere descritto da una distribuzione di Poisson con =10richieste per secondo. Qual è la probabilità con cui nessuna richiesta arrivi all elaboratore in un secondo? Qual è la probabilità che l elaboratore riceva non più di 15 richieste in un secondo? In base alle ipotesi si ha P (X = h) = 10h h! e 10 h =0, 1, 2,... G. Sanfilippo - CdP pag. 243

12 da cui n.a. discreti P (X =0) = e 10 = e poi P (X apple 15) = e 10 15X x=0 10 x x! = G. Sanfilippo - CdP pag. 244