Variabili casuali (1, T ) 1+0=1 1/16 (1 T ) 1 1/16 (1, C) 1+1=2 1/16 (1 C) 1 1/16 (1, T ) 9+0=9 1/16 (9, C) 9+1=10 1/16

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1 Variabili casuali Soluzione Es.. Lo spazio campionario Ω è costituito da tutti gli accoppiamenti asso e T o C e nove con T o C quindi 4*2 +4*2 = 6 coppie di valori: Ω = {, T,, T,, T, T,, C,, C,, C,, C,, T,, T,, T,, T,, C,, C,, C,, C } Ciascuno degli eventi ω Ω ha probabilità /6 poiché gli eventi risultanti dall estrazione della carta son eqo equiprobabili così come quelli risultanti dal lancio della moneta. Inoltre siamo in condizioni di indipendenza. La variabile casuale X considera il valore della carta e vi somma l eventuale numero di croci, quindi ad esempio, in corrispondenza dell evento, T, X, T = + = mentre nel caso di, C, X, C = + =. La seguente tabella riassume i risultati possibili in questo esperimento: ω Xω P ω, T += /6, T /6, T /6 T /6, C +=2 /6, C /6, C /6 C /6, T += /6, T /6, T /6 T /6, C += /6, C /6, C /6 C /6 Quindi X assume i seguenti valori con le rispettive probabilità x i P X = x i 4 /6 = /6 = 4 4 /6 = 4 4 /6 = 4 c 2 S.M.Iacus - D.E.P.A. Sezione di Statistica e Matematica

2 Il grafico della densità di probabilità è analogo al grafico di un fenomeno quantitativo discreto che assume i valori,2, e con frequenze relative /4, /4, /4 e /4. Soluzione Es.2. Ciò che accade ogni giorno è indipendente da ciò che accade nei giorni successivi e ogni giorno gli stessi eventi hanno la stessa probabilità di verificarsi. Si tratta quindi di un modello di prove ripetute. a Sia A l evento c è vento teso, allora P A =. e P Ā =. =.8. Si tratta di un modello binomiale X di parametri n = e p =., quindi si deve calcolare: P X = 3 = = =.24 3 b Ora l evento su cui concentrarsi è A = c è vento = c è vento teso o vento debole dunque P A =.+.3 =.68 e P Ā =.68 =.32. Si tratta di un modello binomiale X di parametri n = e p =.68, quindi si deve calcolare: P X > 2 = P X = + P X = + P X = 2 P X = = =.26 =.26 P X = = = =.23 P X = 2 = = = Quindi P X > 2 =.238 =.7, cioè Mario uscirà quasi certamente in barca più di 2 volte in giorni. Soluzione Es.3. Nel gioco del lotto vi sono numeri e se ne estraggono senza reimmissione o in blocco. a I casi possibili, cioè tutte le possibili cinquine estraibili dall urna, sono quindi = casi possibili I casi favorevoli all evento sono tutte le cinquine che hanno un numero fisso, nel nostro caso il 3, e i restanti 4 scelti tra i restanti 8 numeri disponibili, e dunque 8 = casi favorevoli 4 c 2 S.M.Iacus - D.E.P.A. Sezione di Statistica e Matematica 2

3 Concludendo si ha p = casi favorevoli casi possibili = 8 4 = 8! 4!8! 8! 8! 4! = =, b La probabilità che alla 3-esima estrazione il 3 non sia ancora uscito è pari alla probabilità che vi siano in sequenza di 3 insuccessi, cioè numeri diversi dal 3. Le estrazioni sono indipendenti e ripetute, siamo allora in uno schema di Bernoulli con probabilità di successo pari a p, dunque la probabilità di 3 insuccessi è pari a 3 8 p 3 = =, 8 c Sapere che non è uscito nelle prime estrazioni non ha alcuna influenza su quello che accade nella successiva per l indipendenza delle prove, quindi la probabilità rimane invariata, cioè p. d Sappiamo che non è uscito nelle prime estrazioni ed ora chiediamo che il 3 esca solo alla 3-esima settimana vuol dire che per 2 settimane dopo la -esima si devono avere degli insuccessi e solo alla 3-esima dopo la -esima il successo, quindi la probabilità richiesta è p 2 p = 2 8 =, e Qui cerchiamo il numero di successi in n = prove, usiamo quindi la variabile casuale Binomiale. L evento di cui dobbiamo calcolare la probabilità è P X 2 se X Binn =, p = /. Dunque Quindi P X 2 = P X < 2 = P X = + P X = 8 P X = = p p = =, 6 P X = = p p 8 = =, 33 P X 2 =, 6, 33 =, Soluzione Es.4. Possiamo supporre che i passeggeri si comportino in modo indipendente e quindi trasportino merce illegalmente secondo le loro personali decisioni. Scelto un passeggero a caso la probabilità che sdogani merce illegalmente è pari a p = /. È anche chiaro che se effettuiamo un controllo la popolazioni dei passeggeri si riduce di una unità, ma se tale popolazione è molto ampia come è verosimile la probabilità che il prossimo passeggero controllato agisca illegalmente non varia im modo sostanziale e quindi possiamo ammettere che resti pari a p = /. c 2 S.M.Iacus - D.E.P.A. Sezione di Statistica e Matematica 3

4 a Cerchiamo la probabilità di avere 4 abusivi su controlli, cioè la probabilità dell evento X = 4 dove X Binn =, p = /, dunque 4 46 P X = 4 = p 4 p ! = 4 4!46! =, b La probabilità di trovare almeno 2 abusivi su prove si ottiene calcolando Infine si ha P X 2 = P X < 2 = P X = P X = P X = = p p =, 872 P X = = p p 4 =, 244 P X 2 =, 872, 244 =, Si può tentare di utilizzare direttamente il teorema del limite centrale anche se sappiamo che l approssimazione alla Normale in questo caso è sconsigliata poiché p è ben lungi dall essere,! Quindi P X > 2 = P X n p n p p > 2 n p n p p P Z > 2 = P = P Z >, 37 = P Z <, 37 =, 376 =, 6244, 73 Z > 2 2, 2, 487 Se utilizziamo la correzione per la Binomiale otteniamo un valore più preciso ma sempre approssimato, cioè X n p P X > 2 = P > 2 n p, n p p n p p P Z > 2, = P = P Z >, 634 = P Z <, 634 =, 263 =, 737, 73 Z > 2 2,, 2, 487 c 2 S.M.Iacus - D.E.P.A. Sezione di Statistica e Matematica 4

5 Soluzione Es.. Se X Binn, p si ha EX = n p e VarX = n p q. a EX < VarX sarebbe possibile solo se q > in quanto, si deve richiedere che n p < n p q, ma < q <. Quindi non sono valori compatibili. b EX > VarX è verificata solo se < q < come effettivamente accade. Questi valori sono quindi compatibili. c EX = VarX è verificata se q = e quindi p = ma, < p < e quindi anche quest ultimo caso è da scartare. Soluzione Es.6. Lo spazio campionario Ω è costituito da tutte le coppie del tipo i, j con i, j =, 2, 3, cioè Ω = {,,, 2,, 3, 2,, 2, 2, 2, 3, 3,, 3, 2, 3, 3} Gli eventi elementari ω Ω sono tutti equiprobabili e P ω = 3 3 =. Vediamo che valori assume la variabile casuale X che ad ogni ω = a, b Ω associa il valore Xω = Xa, b = maxa, b. Costruiamo una tabella riassuntiva ω Xω P ω,,2,3 2, 2 2,2 2 2,3 2 3, 3 3,2 3 3,3 3 Quindi X assume i seguenti valori con le rispettive probabilità x i P X = x i 3 = = = 3 c 2 S.M.Iacus - D.E.P.A. Sezione di Statistica e Matematica