METODI MATEMATICI PER L INFORMATICA

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1 METODI MATEMATICI PER L INFORMATICA Tutorato Lezione 6 12/05/2016 Corso per matricole congrue a 1 Docente: Margherita Napoli Tutor: Amedeo Leo

2 Induzione Esercizio 20 pagina 330 Mostrare che 3 n < n! se n > 6. P(n): 3 n > n! Base: n = 7 (2187 < 5040) Ipotesi induttiva: Assumiamo vero P(k) per un qualsiasi che rispetti le condizioni date: 3 k < k! Passo induttivo: P(k+1): 3 k+1 < (k + 1)! 3 k+1 = 3 k 3 < k! 3 < (k + 1)! Dove il < vale per l ipotesi induttiva e il < perché k > 6. Esercizio 41 pagina 331 Mostrare che (A 1 A 2 A n ) B = (A 1 B) (A 2 B) (A n B) Ricordiamo la legge della distributività: (C D) E = (C E) (D E). Passo base: A 1 B = A 1 B Ipotesi induttiva: Assumiamo vero P(k) per un generico k: Determiniamo il passo induttivo: (A 1 A 2 A k ) B = (A 1 B) (A 2 B) (A k B) (A 1 A 2 A k A k+1 ) B = (A 1 B) (A 2 B) (A k B) (A k+1 B) Dimostriamo il passo induttivo, considerando solo la parte a sinistra dell equazione precedente: in cui l = vale per l ipotesi induttiva. ((A 1 A 2 A k ) A k+1 ) B = ((A 1 A 2 A k ) B) (A k+1 B) = ((A 1 B) (A k B)) (A k+1 B) = (A 1 B) (A 2 B) (A k B) (A k+1 B) Esercizio 60 pagina 332 Mostrare, tramite induzione matematica, che (p 1 p 2 p n ) è equivalente a p 1 p 2 p n. P(n): (p 1 p 2 p n ) p 1 p 2 p n Base: n = 1, poiché (p 1 ) (p 1 ) Ipotesi induttiva: Assumiamo P(k) vero per un generico k: Determiniamo il passo induttivo P(k+1): (p 1 p 2 p k ) p 1 p 2 p k (p 1 p 2 p k p k+1 ) p 1 p 2 p k p k+1

3 Dimostriamo il passo induttivo, considerando solo la parte a sinistra dell equazione: (p 1 p 2 p k p k+1 ) [(p 1 p 2 p k ) p k+1 ] [(p 1 p 2 p k )] p k+1 p 1 p 2 p k p k+1 In cui l vale per l ipotesi induttiva e i passi 3 e 4 valgono per le leggi di De Morgan. Induzione forte Esercizio 3 pagina 341 Sia P(n): Un affrancatura di n centesimi può essere composta da francobolli di 3 centesimi e francobolli di 5 centesimi. L esercizio ha l obiettivo di mostrare che P(n) è vero per ogni n Mostrare che P(8), P(9) e P(10) sono veri: P(8) è vero, perché si può formare con un francobollo di 3 centesimi e uno di 5 centesimi. P(9) è vero, perché si può formare con tre francobolli di 3 centesimi. P(10) è vero, perché si può formare con due francobolli di 5 centesimi. 2. Qual è l ipotesi induttiva? L ipotesi induttiva è basata sull asserzione che, usando solo francobolli da 3 e 5 centesimi, possiamo formare affrancature da j centesimi per ogni 8 j k, con k Cosa bisogna dimostrare nel passo induttivo? Nel passo induttivo occorre mostrare che possiamo formare affrancature da k + 1 centesimi usando solo francobolli da 3 e 5 centesimi. 4. Completare il passo induttivo per k 10. Per completare il passo induttivo, occorre che P(k+1) sia vero. Poiché k 10, allora P(k-2) è vero (anche se k fosse 10, P(8) è vero). Quindi a P(k-2) è sufficiente aggiungere un francobollo di 3 centesimi per ottenere P(k+1). Questo è anche il motivo per cui il punto 1. chiedeva di dimostrare P(8), P(9) e P(10). 5. Spiegare perché i passi precedenti mostrano che lo statement è vero quando n 8. Abbiamo completato sia il passo base che il passo induttivo, quindi per il principio dell induzione forte, l asserzione è vera per ogni n 8. Esercizio 5 pagina 342 a) Determinare quanta affrancatura può essere costituita con francobolli da 4 e 11 centesimi. Occorre trovare una base minima da cui partire. Sicuramente, affrancature da 5,9,17,21,29 (per esempio) non possono essere create. Vediamo da 30 in poi: 30 = = = = =

4 35 = = = = = = Assumiamo che possiamo creare qualsiasi affrancatura con costo maggiore o uguale a 30 centesimi con francobolli da 4 e 11 centesimi. b) Dimostrare la risposta data al punto precedente usando l induzione matematica. Vogliamo mostrare che P(n): Possiamo creare un affrancatura da n centesimi con francobolli da 4 e 11 centesimi è vero per un generico n 30. Il passo base è stato già dimostrato (n = 30). Assumiamo vera l ipotesi induttiva, ovvero che P(k) è vero per un generico k che rispetti le condizioni date. Dimostriamo che è vero P(k + 1). Come si può vedere nel punto a), esiste un pattern che si ripete: Per passare da 30 a 31, occorre sostituire un 11 con tre 4. Per passare da 31 a 32, occorre sostituire un 11 con tre 4. Per passare da 32 a 33, occorre sostituire tre 4 con un 11 (tre volte). Per passare da 33 a 34, occorre sostituire un 11 con tre 4. Per passare da 34 a 35, occorre sostituire un 11 con tre 4. Per passare da 35 a 36, occorre sostituire un 11 con tre 4. Per passare da 36 a 37, occorre sostituire tre 4 con un 11 (tre volte). E così via. I casi sono quindi due: 1. Se i k centesimi includono un 11, si rimpiazza con tre francobolli da 4 centesimi, perché 3 * 4 = Altrimenti, esistono almeno otto francobolli da 4 centesimi, che si rimpiazzano con tre francobolli da 11 centesimi, perché 3 * 11 = 8 * Riscriviamo i casi precedenti generalizzandoli. Sappiamo che k 30. Quindi possiamo vedere k come 1. h 1 Quindi k = 4 m + 11 h k = 4 m + 11 (h 1) + 11 k + 1 = 4 m + 11 (h 1) = 4 (m + 3) + 11(h 1) 2. h = 0; quindi sicuramente m 8, perché k 30. k = 4 (m 8) + 32 Quindi k + 1 = 4 (m 8) = 4 (m 8) + 33 = 4 (m 8) + 11 (h)

5 c) Dimostrare la risposta data al punto a) usando l induzione forte. Vogliamo mostrare che P(n): Possiamo creare un affrancatura da n centesimi con francobolli da 4 e 11 centesimi è vero per un generico n 30. Sappiamo che P(n) è sicuramente vero per 30 n 37. Possiamo limitarci al caso in cui 30 n 33. Assumiamo che l ipotesi induttiva è vera, cioè che P(j) è vera per ogni 30 j k, con k 33. Dimostriamo che P(k+1) è vero. Poiché k 3 30, sappiamo che P(k-3) è vero. Per dimostrare P(k+1) è quindi sufficiente aggiungere un francobollo da 4 centesimi per creare l affrancatura desiderata. Esercizio 25 pagina 343 Supponiamo che P(n) sia una funzione proposizionale. Determinare per quale intero positivo n lo statement P(n) deve essere vero, se a) P(1) è vero; per un generico intero positivo n, se P(n) è vero, allora P(n+2) è vero. In questo caso, il passo induttivo ci permette solo di concludere che P(3), P(5), P(7) e così via sono veri, non possiamo concludere nulla su P(2), P(4), P(6) b) P(1) e P(2) sono veri; per un generico intero positivo n, se P(n) e P(n+1) sono veri, allora P(n+2) è vero. Possiamo concludere, tramite induzione forte, che P(n) è vero per ogni n. c) P(1) è vero; per un generico intero positivo n, se P(n) è vero, allora P(2n) è vero. Come per il punto a), esistono solo alcuni P(n) (dove n è potenza di 2) per i quali è vero lo statement. Sugli altri non possiamo concludere nulla d) P(1) è vero; per un generico intero positivo n, se P(n) è vero, allora P(n+1) è vero. È un caso di induzione matematica. Possiamo concludere che P(n) è vera per ogni n. Esercizio 29 pagina 343 Cosa c è di sbagliato in questa prova tramite induzione forte? Teorema : Per ogni intero non negativo n, 5n = 0. Passo base: n = 0 (5 0 = 0). Passo induttivo: Supponiamo che 5 j = 0 per ogni intero non negativo j, con 0 j k. Quindi Per ipotesi induttiva si ha Dov è l errore? k + 1 = i + j, con i e j più piccoli di k (k + 1) = 5(i + j) = 5i + 5j = = = 0

6 L errore è nell andare dal passo base (n = 0) a quello successivo (n = 1). Infatti, non è possibile scrivere 1 come somma di interi più piccoli di se stesso (l unico intero minore di 1 è 0, e = 0). Quindi nel passo induttivo non è possibile avere = i + j, con: k = 0, 0 i 0, 0 j 0. Cosa è stato fatto 1. Esercizi su induzione (da pagina 330 a 332, numeri 20,41,60) 2. Esercizi su induzione forte (da pagina 341 a 343, numeri 3,5,25,29)