FACOLTÀ DI SCIENZE MM.FF.NN. CORSO DI LAUREA IN CHIMICA Chimica Fisica II a.a
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- Samuele Manzo
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1 1 FACOLTÀ DI SCIENZE MM.FF.NN. CORSO DI LAUREA IN CHIMICA Chimica Fisica II a.a Testo di riferimento: D.A. McQuarrie, J.D.Simon, Chimica Fisica. Un approccio molecolare, Zanichelli Editore, Bologna Possibili domande d esame: teoria 1. L effetto fotoelettrico: descrizione dell esperimento ed interpretazione basata sull esistenza di fotoni. 2. Radiazione del corpo nero: perché la fisica classica fallisce nella spiegazione dello spettro? Perché funziona la spiegazione basata sulla ipotesi di Plank di quantizzazione dell energia? 3. Il primo postulato della meccanica quantistica. Perché una funzione d onda deve essere normalizzata? Come si procede per normalizzare una funzione? Utilizzare come esempio la funzione d onda che descrive una particella in una buca di potenziale a pareti infinite. 4. Il principio di indeterminazione di Heisenberg: enunciarlo e spiegare le sue conseguenze sulla descrizione del moto dei corpi microscopici. 5. Enunciare e commentare il secondo postulato della meccanica quantistica. Quali operatori conoscete? 6. Enunciare e commentare il terzo postulato della meccanica quantistica. Che significato hanno gli autovalori e le autofunzioni dell operatore Hamiltoniano? 7. Il quarto postulato della meccanica quantistica. Calcolare il valore medio della posizione di una particella in una buca di potenziale a pareti infinite. 8. Come evolve nel tempo la funzione d onda, quando l Hamiltoniano non dipende dal tempo? 9. Che forma ha un operatore Hamiltoniano per un sistema costituito da una sola particella? Quali potenziali avete visto nel corso di Chimica Fisica II? 10. Risolvere l equazione d onda per una particella in una buca di potenziale a pareti infinite: definire la forma dell operatore Hamiltoniano; ricavare autofunzioni ed autovettori; tenendo conto delle condizioni al contorno, spiegare l origine della quantizzazione. 11. Quale forma deve avere l Hamiltoniano perché l equazione Schrödinger per un sistema di N particelle possa essere fattorizzata in N equazioni, ciascuno nelle coordinate di una sola particella? Che forma hanno le soluzioni (autovalori ed autofunzioni)? 12. Quando è possibile fattorizzare l equazione di Schrödinger per sistemi a due particelle, in cui il potenziale dipenda dalle coordinate delle due particelle?
2 2 13. L oscillatore armonico: descrizione del sistema, forma dell Hamiltoniano. Quali sono le energie permesse? La differenza di energia fra i livelli dipende dal numero quantico? 14. Il momento angolare: definizione dell operatore Hamiltoniano. Modello vettoriale del momento angolare. Quali sono le energie permesse? Vi sono livelli degeneri? Che significa degenerazione di un livello energetico? 15. Le armoniche sferiche, autofunzioni del momento angolare. Forma delle funzioni e significato dei numeri quantici, secondo il modello vettoriale. 16. Il rotatore rigido: descrizione del sistema, forma dell operatore Hamiltoniano. I livelli rotazionali. Quale è la minima energia rotazionale permessa? La differenza di energia fra livelli dipende dal numero quantico? 17. Separazione del moto interno e del moto traslazionale per fattorizzazione della soluzione dell equazione di Schrödinger per gli atomi idrogenoni. 18. L equazione di Schrödinger per l atomo di idrogeno: descrizione del sistema, forma dell Hamiltoniano. Energie permesse. Spiegazione dell origine dello spettro a righe dell idrogeno tenendo conto della soluzione esatta dell equazione di Schrödinger. 19. Autofunzioni di un Hamiltoniano idrogenoide (che vuol dire idrogenoide?): significato dei numeri quantici n, l, m. Descrizione delle funzioni radiali e delle funzioni angolari. 20. Quali autovalori dell Hamiltoniano idrogenoide sono degeneri? Che significa degenerazione di un livello energetico? Quale è la minima energia permessa? 21. Il principio di antisimmetria. Forma di una funzione d onda polielettronica. Come si tiene conto dello spin nella costruzione delle funzioni monoelettroniche? 22. Lo spin: perché è necessario introdurre un quarto numero quantico per caratterizzare la funzione d onda per un elettrone? Quali valori può assumere? Che significa singoletto e tripletto in un sistema a due elettroni? 23. Enunciare il teorema variazionale. Perché è utile? Descrivere la procedura del metodo variazionale. 24. In che consiste il metodo LCAO-MO? 25. Che cosa si intende con simbolo di termine? A quale effetto è dovuto la differenza di energia fra vari termini corrispondenti alla stessa configurazione elettronica? Fare un esempio di calcolo dei termini relativi ad una configurazione elettronica a guscio aperto, con un elettrone (s1,p1, d1). 26. Derivare la configurazione elettronica della molecole di O 2 e della molecola di N 2 a partire da quelle degli atomi isolati (fare riferimento ad uno schema in cui sono riportati i livelli energetici degli atomi isolati e delle molecole), e spiegare la diversa reattività delle due molecole in base ad essa.
3 3 27. Impostare il calcola della funzione d onda per la molecola di H 2 con il metodo LCAO-MO, usando come base variazionale la funzione 1s centrata su ogni atomo di idrogeno. 28. Rappresentare gli orbitali molecolari (graficamente e con simbologia opportuna) che compaiono nello stato fondamentale delle molecole biatomiche omonucleari seguenti: Li 2, B 2, O 2, N 2, F Spiegare perché la molecola BeH 2 è lineare e quella di H 2 O è angolare. 30. Spiegare perché la molecola BH 3 è planare e quella di NH 3 non lo è. Possibili domande d esame: esercizi 1. Effetto fotoelettrico. La frequenza di soglia del sodio metallico è Hz. a) Quale valore ha la funzione di lavoro f? b) Quale è l energia cinetica degli elettroni estratti da una radiazione di 300 nm? (verificare che l estrazione possa avvenire) c) Quale è la lunghezza d onda di de Broglie degli elettroni emessi? 2. Effetto fotoelettrico. Una superficie pulita di argento irradiata con luce di lunghezza d onda 230 nm emette elettroni con energia cinetica ev. a) Quale è la lunghezza d onda di de Broglie degli elettroni emessi? b) Quale valore ha la funzione di lavoro? c) Quale valore ha la frequenza di soglia? 3. Quale è la minima incertezza sulla componente x della velocità di un elettrone la cui posizione è misurata con un incertezza di m? Se la massa fosse 1 gr, la stessa incertezza sulla misura della componente x della posizione a quale imprecisione porterebbe sulla componente x della velocità? Commentare i risultati ottenuti. 4. Consideriamo una buca di potenziale a pareti infinite di larghezza 20 nm. Quale è la minima energia di eccitazione nel caso in cui la particella nella buca sia A) un elettrone; B) una molecola di ossigeno. Commentare i risultati ottenuti. 5. Calcolare la lunghezza d onda del fotone necessario ad eccitare la transizione fra i livelli vibrazionali della molecola di 16 O 2, e la sue energia residua al punto zero. (k = 1142 Nm 1 ) 6. Lo spettro infrarosso di H 35 Cl presenta una intensa linea a 2886 cm 1. Calcolare la costante di forza del legame H-Cl. 7. Con buona approssimazione lo spettro di microonde di H 35 Cl consiste in una serie di righe equidistanti, separate da Hz. Calcolare la lunghezza di legame H-Cl. Di quanto sono separate le righe dovute alla rotazione di H 37 Cl (supponendo che la lunghezza del legame non sia modificata)?
4 4 8. Lo spettro rotazione puro di H 131 Xe è costituito da una serie di righe distanti cm 1. Calcolare la lunghezza del legame. 9. La costante di forza della molecola 79 Br 79 Br è 240 Nm 1. Calcolare la frequenza della vibrazione fondamentale e l energia al punto zero. 10. Calcolare la derivata prima e seconda di e αx Calcolare l integrale 0 e αx2 dx. 12. Sia la funzione V (x) = D(1 e βx ) 2 a) calcolare la derivata prima e seconda; b) trovare il punto di minimo; c) farne il grafico appropriato; d) farne uno sviluppo in serie di Taylor nell intorno di x= Calcolare la massa ridotta di un atomo di idrogeno, tenuto conto che le masse dell elettrone e del protone valgono rispettivamente kg e kg. Qual à la differenza percentuale tra questo valore e la massa a riposo dell elettrone? 14. Nello spettro infrarosso di H 79 Br c è una riga intensa a 2559 cm 1. Calcolare la costante di forza e il periodo della vibrazione. 15. Nello spettro di lontano infrarosso di H 79 Br c è una serie di righe separate da Calcolare i valori del momento di inerzia e della distanza H-Br. 16. La transizione da J=0 a J=1 per il monossido di carbonio ( 12 C 16 O) avviene a MHz. Calcolare la lunghezza di legame del monossido di carbonio. 17. Sai derivare le relazioni di ricorrenza tra polinomi di Hermite? 18. Partendo dalle definizioni di L x, L y e L z, mostrare che [ Lx, L y = i L z [ Ly, L z = i L x [ Lz, L x = i L y 19. Provare che L 2 commuta con L x, L y e L z, sapendo che [ Lx, L y = i L z [ Ly, L z = i L x [ Lz, L x = i L y Vedi un motivo ricorrente in queste formule? 20. Siano dati i due operatori (non necessariamente Hermitiani) L + = L x + i L y and L = L x i L y Usando i risultati dell esercizio 18, mostra che [ Lz, L + = L z L+ L + Lz = L + [ Lz, L = L z L L Lz = L
5 5 e [ L2, L [ L2 + =, L = Trova gli stati compatibili con le configurazioni np 2 np 3 np 4 np 5 np 1 n p Risolvere la parte in ϕ dell equazione di Schrödinger dell atomo di H. 23. Sai descrivere la forma dell autofunzione generica per l atomo di H, parte in r, ϑ, ϕ? Sai quali polinomi compaiono? E per lo stato fondamentale, Ψ 000, come si semplifica il tutto? 24. Sai scrivere l Hamiltoniano per la molecola di H 2 e per l atomo di He?
6 6 ISTRUZIONI Scrivere in testa ad ogni foglio cognome; numerare i fogli (ogni singola facciata). Leggere con cura le domande, e rispondere solo ai quesiti posti dalla domanda. Non usare abbreviazioni stenografiche tipo xché. Segnare, sul foglio che riporta le domande, a quali è stata data risposta. Nella soluzione dei problemi posti negli esercizi, spiegare chiaramente il procedimento seguito, e concludere con la/le risposta/e esplicite alle domande poste. Gli esercizi per cui vengano indicati solo passaggi numerici non verrano considerati svolti completamente. Nell eseguire i calcoli, prestare la massima attenzione al numero di cifre significative; approssimare e non troncare. Indicare sempre le unità di misura di tutte le grandezze numeriche. Quando i risultati ottenuti vi sembrano fisicamente irragionevoli, scrivetelo. La valutazione dell esercizio non sarà totalmente negativa, anche se i risultati sono sbagliati. ================== L esame scritto può essere ripetuto due volte senza registrazione del risultato, se negativo. I risultati dell esame scritto verranno messi sul sito di Chimica, in un giorno indicato durante lo scritto. La correzione pubblica dei compiti e la registrazione dei voti viene fatta in un giorno indicato insieme ai risultati degli scritti. Nei casi dubbi, lo scritto può essere integrato, a discrezione del docente, da una interrogazione orale (nel giorno di consegna dei risultati), allo scopo di convalidare o modificare il voto proposto.
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