DIFFUSIONE DA UN POTENZIALE CENTRALE. 1 exp(i k x) + f

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1 7/4 URTO SU UN POTENZIALE CENTRALE /2 DIFFUSIONE DA UN POTENZIALE CENTRALE Nel caso di diffusione da un potenziale centrale V x) = V r), l ampiezza di diffusione f Ω) = f x) che specifica la dipendenza angolare dell andamento asintotico ) w +) x) r expi x) + f 2π) 3/2 Ω) delle autofunzioni di Ĥ con prescrizione di onde uscenti ) expi r) r può essere espressa come somma dei contributi delle diverse onde parziali aventi un valore definito di l. Costruzione delle autofunzioni con prescrizione di onde uscenti w +) x) Limitandoci al caso in cui V r) ha portata limitata, sappiamo che l equazione radiale per le funzioni d onda y l r) ha soluzioni di energia positiva E = ħ2 2 che hanno il comportamento asintotico 2) y l r) r 2π cos r l + ) π ) 2 + δ l). 2m Le corrispondenti autofunzioni di Ĥ complete w lm x) = r y lr) Y lm Ω) hanno il comportamento asintotico w lm r 2π r cos r l + ) π ) 2 + δ l) Y lm Ω) = [ [ 2π r exp i r l + ) π )] [ 2 + δ l) + exp i r l + ) π 2 l))] ] + δ Y lm Ω). Le analoghe funzioni d onda libere che indichiamo ora con w 0) lm ) hanno il comportamento asintotico w 0) lm 2π r r cos r l + ) π ) Y 2 lm Ω) = [ [ 2π r exp i r l + ) π )] [ + exp i r l + ) π )] ] Y 2 2 lm Ω). Lo sviluppo in armoniche sferiche dell onda piana che indichiamo ora con w 0) ), dà la relazione w 0) x) = expi x), 3/2 2π) w 0) x) = lm il Y lmω ) w 0) lm x). Ciò premesso, si verifica facilmente che l autofunzione di Ĥ 3) w +) x) = lm il Y lmω ) exp iδ l ) ) w lm x). ha il richiesto andamento asintotico ).

2 7/4 URTO SU UN POTENZIALE CENTRALE /2 2 Infatti w +) x) w0) x) = lm il Y lmω ) [ expiδ l )w lm x) w 0) lm x)] r = lm il Y lmω ) expir) 2π 2π) 3/2 r [ [ 2π r exp i r l + ) π )] [ 2 + 2δ l + exp i r l + ) π )] 2 [ exp i r l + ) π )] [ exp 2 i r l + ) π )] ] Y 2 lm Ω) lm il Y [ lmω ) exp i l + ) π ] exp2iδl ) ) Y 2 lm Ω) expir) 2π = 2π) 3/2 r exp2iδl ) ) l i m Y lmω ) Y lm Ω). }{{} 2l + 4π P lcos x) La funzione d onda 3) ha dunque l andamento asintotico richiesto e l ampiezza di diffusione ha l espressione 4) f x) = ovvero, prendendo e z = /, 5) f ϑ) = l 2l + ) 2i exp2iδl ) ) P l cos x) = l 2l + ) 2i exp2iδl ) ) P l cos ϑ) = l 2l + ) expiδ l) sin δ l P l cos x) l 2l + ) expiδ l) sin δ l P l cos ϑ). La sezione d urto differenziale risulta 6) σ, ϑ) = l 2 2l + ) expiδ l) sin δ l P l cos ϑ) e la sezione d urto totale + du P l u)p lu) = 2/2l + ) ) ) δ l l 7) σ tot ) = 2π π 0 sin ϑ dϑ σ, ϑ) = 4π 2 l 2l + ) sin2 δ l. 2 Nota Nell espressione della sezione d urto differenziale compare la somma doppia ll ; ciò corrisponde all esistenza di interferenza tra le diverse onde.

3 7/4 URTO SU UN POTENZIALE CENTRALE /2 3 Sviluppo in onde parziali e approssimazione di bassa energia Lo sviluppo in onde parziali dell ampiezza di diffusione f ϑ) = 0 l2l + ) expiδ l) sin δ l P l cos ϑ). e le espressioni che ne derivano per le sezioni d urto differenziale e totale, sarebbero di ben poca utilità pratica anche se comunque importanti dal punto di vista teorico), se la somma che vi compare non si riducesse di fatto a un numero finito, spesso piccolo, di termini. Per comprendere come ciò avvenga si può ricorrere all argomento semiclassico seguente. Sia b il range del potenziale diffusore e d il parametro d urto di un pacchetto incidente. d b d b Chiaramente il pacchetto subisce una diffusione apprezzabile solo se d b. D altra parte il modulo l del momento angolare associato al pacchetto classicamente ha l espressione l = d p e quantisticamente è legato al numero quantico l dalla relazione l ħ ll + ) ħ l. Quindi contribuiscono apprezzabilmente alla diffusione solo le onde parziali per le quali l b p ħ = b 2mE ħ Nel limite di energia molto piccola è apprezzabilmente diverso da zero solo il termine con l = 0 onda s) e l ampiezza di diffusione f ϑ) = expiδ 0) sin δ 0 è isotropa e con essa la sezione d urto differenziale).

4 7/4 URTO SU UN POTENZIALE CENTRALE /2 4 Teorema ottico L ampiezza di diffusione in avanti ϑ = 0, P l 0) = ) è data da e la sua parte immaginaria è Im f 0) = 2i f 0) f 0)) = 2i f 0) = l 2l + ) expiδ l) sin δ l 2l + ) expiδ l ) exp iδ l ) ) sin δ l = l 2l + ) l sin2 δ l. Confrontando questa espressione con quella della sezione d urto totale si ottiene teorema ottico) 8) σ tot ) = 4π Im f 0). Questa relazione traduce la conservazione del flusso totale: il flusso diffuso proviene dall interferenza distruttiva tra l onda piana e l onda diffusa. Tale interferenza ha luogo solo nella direzione in avanti ed è misurata dalla parte immaginaria di f 0). Il teorema ottico, qui dimostrato per la diffusione elastica da un potenziale centrale, ha in realtà in campo di validità molto più vasto.

5 7/4 URTO SU UN POTENZIALE CENTRALE /2 5 Ortonormalità e completezza delle funzioni d onda w lm x) e y l r) Abbiamo stabilito nel capitolo sui processi d urto in tre dimensioni che le funzioni d onda con prescrizione di onde uscenti, cioè con l andamento asintotico ), soddisfano la relazione di ortonormalità 9) w +) w +) = δ3) ). Abbiamo inoltre assunto che le funzioni d onda w +) x) siano un sistema completo nel sottospazio H pos delle autofunzioni di Ĥ a energia positiva. Nel caso di potenziale centrale l espressione 3) delle autofunzioni w +) x) in termini delle autofunzioni w lmx) può essere invertita usando l ortonormalità delle armoniche sferiche con il risultato 0) w lm x) = i) l exp iδ l ) dω Y lm Ω ) w +) x) dal quale, tenuto conto della 9), si ottiene w l m w lm = δ ll δ mm δ ). Da questa anche segue subito per le funzioni d onda radiali r 2 dr R lr) R l r) = dr y lr) y l r) = δ ). Osserviamo infine che, per le 3) e 0), le autofunzioni w +) x) e w lmx) generano lo stesso sottospazio dello spazio di Hilbert e pertanto le une come le altre sono un set ortonormale completo nel sottospazio H pos generato dalle autofunzioni di Ĥ a energia positiva. Le funzioni d onda y l r) sono un sistema completo nel sottospazio L 2 posr; dr) con ovvio significato del simbolo).

6 7/4 URTO SU UN POTENZIALE CENTRALE /2 6 MATRICE S Funzioni d onda con prescrizione di onde entranti Le funzioni d onda w ) x) = w +) x)) sono esse pure autofunzioni di Ĥ corrispondenti all autovalore E = ħ2 2 2m. Esse hanno il comportamento asintotico ) w ) x) r e sono dette autofunzioni con prescrizione di onde entranti dell equazione di Schrödinger stazionaria. Nel caso di potenziale centrale, expi x) + f 2π) 3/2 Ω) ) ) exp i r) r dall espressione 2) delle autofunzioni w +) x) in termini delle autofunzioni w lmx) w lm x) w +) x) = lm il Y lmω ) exp iδ l ) ) {}}{ R l r) Y lm Ω) si ottiene subito l espressione analoga che si può anch essa facilmente invertire. w ) x) = lm i)l Y lmω ) }{{} exp i δ l) R l r) YlmΩ) }{{} ) l Y lm Ω ) ) m Y l m Ω) = ) l+m Y l m Ω ) = lm il Y lmω ) exp ) i δ l Rl r) Y lm Ω) }{{} w lm x) Pertanto le le autofunzioni w ) x) sono, analogamente alle w+) x), un sistema completo nel sottospazio H pos delle autofunzioni di Ĥ a energia positiva. Dall espressione ottenuta segue anche l ortonormalità 2) w ) w ) = δ3) ). Sempre nel caso di potenziale centrale, per ovvi motivi di simmetria, f Ω) = f x) = f π Θ).

7 7/4 URTO SU UN POTENZIALE CENTRALE /2 7 Composizione iniziale e finale di ψ t x) nel momento lineare Considerata la soluzione dell equazione di Schrödinger 3) ψ t x) = e posto 4) ψ in t x) = abbiamo stabilito fascicolo 5/4, eq. 6) che d 3 c) w +) x) exp i ω t) d 3 c) exp i x ωt) ), 2π) 3/2 5) ψ t x) t ψin t x). Da ciò segue che i coefficienti c) danno la composizione iniziale cioè per t ) della funzione d onda ψ t x) nel momento lineare. Nello sviluppo della stessa funzione d onda 3) sulle autofunzioni w ) x), 6) ψ t x) = intervengono nuovi coefficienti c). Posto 7) ψ out t x) = d 3 c) w ) x) exp i ω t), d 3 c) exp i x ωt) ), 2π) 3/2 con un argomento del tutto analogo a quello che ha portato al risultato 5) si ottiene 8) ψ t x) t + ψout t x). Pertanto la funzione c) dà la composizione finale cioè per t + ) della funzione d onda ψ t x) nel momento lineare. Il risultato 8) permette di riottenere del tutto in generale la relazione di ortonormalità delle w ) x).

8 7/4 URTO SU UN POTENZIALE CENTRALE /2 8 La matrice S Il prodotto scalare 9) S = w ) w +) prende il nome di matrice S di Heisenberg). Per l ortonormalità e completezza in H pos ) del sistema degli autovettori w ) la definizione è equivalente alla relazione 20) d S w ) = w +). Osserviamo che, per l ortogonalità delle autofunzioni di Ĥ corrispondenti a energie diverse, la matrice S contiene necessariamente il fattore δ ). La relazione 20) e le espressioni 3) e 6) di ψ t x) mostrano che ψ t = t ψ in t d c) w +) = d = exp i ω t) d S c) w ) exp i ω t) d c ) w ) exp i ω t) = ψ t t + ψout t cioè 2) c ) = d S c). Pertanto la matrice S trasforma la composizione iniziale cioè a t = ) in momento lineare di ψ t x) nella composizione finale cioè a t = + ) in momento lineare della medesima ψ t x).

9 7/4 URTO SU UN POTENZIALE CENTRALE /2 9 Unitarietà della matrice S Il sistema delle autofunzioni con prescrizione di onde uscenti w +) x) e quello delle autofunzioni con prescrizione di onde entranti w ) x) sono entrambi sistemi ortonormali completi nel medesimo spazio H pos, cioè w +) w +) = δ3) ), w ) w ) = δ3) ), d w +) d w ) w+) = pos, w ) = pos. Da queste segue subito che d S ) S = d S ) S = δ 3) ), cioè la matrice S è unitaria. d S S ) = d S S ) = δ 3) ), L unitarietà della matrice S esprime la duplice condizione che i coefficienti c) determinino i coefficienti c) così come i coefficienti c) determinano i coefficienti c) e che sia d c) 2 = d c) 2. Essa quindi traduce la conservazione della probabilità totale. Relazione tra la matrice S e l ampiezza di diffusione Limitandoci al caso di potenziale centrale possiamo calcolare S = w ) w +) = lml 2 ) l ) l expi δ l ) expi δ l )Y l m Ω ) YlmΩ ) u l m u lm m = 2 δ ) lm exp2i δ l) Y lm Ω ) Y lmω ) = 2 δ ) lm Y lmω ) Y lmω ) 22) + 2 δ ) exp2i δl ) ) l m Y lmω ) YlmΩ ) = δ 3) ) + i 2π δ ) 2i 2l + ) exp2i δ l ) ) P l cos ) l = δ 3) ) + i 2π δ ) f ). Dall unitarietà di S e dall espressione di S in termini dell ampiezza di diffusione è facile ottenere di nuovo il teorema ottico.

10 7/4 URTO SU UN POTENZIALE CENTRALE /2 0 STUDIO DELLA DIPENDENZA DEGLI SFASAMENTI DALL ENERGIA Basiamo questo studio sull esempio dei potenziali rettangolari, per i quali abbiamo a disposizione espressioni esplicite della tangente degli sfasamenti. Definendo sempre = ħ 2mE, nel caso della buca rettangolare V r) = { V0 < 0 per r < b, 0 per b < r, posto = ħ 2mE + V0 ), si ha 23) tan δ l = j l b) j l b) j l b) j l b) j l b) n l b) j l b) n l b), mentre nel caso della colonna rettangolare V r) = { V0 > 0 per r < b, 0 per b < r, per V 0 < E, posto vale ancora l espressione 23) e per E < V 0, posto = ħ 2mE V0 ), κ = ħ 2mV0 E), la tangente degli sfasamenti ha l espressione 24) tan δ l = j l i κb) j l b) i κb) j l i κb) j lb) j l i κb) n l b) i κb) j l i κb) n lb)

11 7/4 URTO SU UN POTENZIALE CENTRALE /2 Comportamento per E Si ha cioè nei due casi = ħ ħ mV 0 ) = + 2mV 0 ħ 2 2 = ħ ħ2 2 2mV 0 ) = 2mV 0 ħ mv ) 0 ħ 2 2 mv ) 0 ħ 2 2 b b + A b, A = ±mv 0 b 2 ħ 2 dove vale il segno superiore nel caso della buca, quello inferiore nel caso della colonna. Sviluppando j l b) e j l b) attorno a b risulta buca), colonna), j l b) j lb) + A b j lb), j l b) j lb) + A b j l b) e quindi dalla 23) tan δ l b j l b) + A ) b j lb) j l b) b + A ) j l b b) + A ) b j l b) j l b) b j l b) + A ) b j lb) n l b) b + A ) j b l b) + A ) b j l b) n l b) A b j l b) ) 2 j l b) j lb) j l b) n l b) j lb) n l b) Poiché j l ϱ) ϱ ϱ cos ϱ l+)π/2 ), j lϱ) ϱ ϱ sin ϱ l+)π/2 ), j l ϱ) ϱ ϱ cos ϱ l+)π/2 ), si ha infine n l ϱ) ϱ ϱ sin ϱ l + )π/2 ), n lϱ) ϱ ϱ cos ϱ l + )π/2 ), 25) tan δ l A b

12 7/4 URTO SU UN POTENZIALE CENTRALE /2 2 Comportamento per E 0 Si ha Poiché = ħ ħ mV 0 ) 0 κ = ħ 2mV0 ħ 2 2 ) 0 j l ϱ) ϱ 0 ϱ l /2l + )!!, 0 = ħ 2mV0 ) buca), 0 = ħ 2mV0 ) colonna), j lϱ) ϱ 0 l ϱ l /2l + )!!, n l ϱ) ϱ 0 ϱ l 2l + )!!, si ottiene dalla 23) per la buca n lϱ) ϱ 0 l + ) ϱ l 2 2l )!!, tan δ l 0 b j l 0 b)b) l /2l + )!! 0 b j l 0b)b) l /2l + )!! b j l 0 b)l + )b) l 2 2l )!! + 0 b j l 0b)b) l 2l )!! 26) = b) 2l+ l j l 0 b) 0 b j l 0b) 2l + )!!2l )!! l + )j l 0 b) + 0 b j l 0b) e analogamente dalla 24) per la colonna 27) tan δ l 0 b) 2l+ l j l i 0 b) + i 0 b j l i 0b) 2l + )!!2l )!! l + )j l i 0 b) i 0 b j l i 0b)

13 7/4 URTO SU UN POTENZIALE CENTRALE /2 3 Generalizzazione I risultati ottenuti per il comportamento a grande e piccola energia di tan δ l possono essere generalizzati a qualunque potenziale di portata limitata. Si usa porre 26) tan δ l ) = a l 2l Nel caso l = 0 la quantità a 0 è detta lunghezza di diffusione. Abbiamo già osservato che δ l è definito a meno di multipli interi di π. Poiché tan δ l si annulla sia per che per 0, δ l ) e δ l 0) sono entrambi multipli interi di π. In particolare possiamo porre δ l 0) = n l π, cioè δ l ) = n l π + l ) con l ) infinitesimo per 0. Lo sviluppo di tan x nell intorno del punto nπ dà tannπ + ) = e quindi tan δ l ) = tann l π + l )) = l ) Il confronto con l espressione 26) mostra che l )) = a l 2l+ +..., cioè 27) δ l ) = n l π a l 2l La dipendenza da di ciascun termine nello sviluppo in onde parziali dell ampiezza di diffusione è data dal fattore exp2i δ l )) ) /2i) che all ordine più basso in risulta exp2i δl )) ) = exp2inl π a 2i 2i l 2l+ )) ) = a l 2l. Pertanto, nel limite di bassa energia, i singoli termini nello sviluppo in onde parziali dell ampiezza di diffusione si annullano tanto più rapidamente quanto più grande è l eccetto che per l = 0 onda s). Osserviamo infine che assumendo δ l ) = 0 e imponendo che δ l ) sia una funzione continua di, l arbitrarietà in δ l ) è completamente rimossa e n l risulta determinato. Secondo il teorema di Levinson che non dimostriamo) n l è uguale al numero di stati legati dell equazione radiale corrispondente al valore di l.