REGISTRO DELLE LEZIONI - ESERCITAZIONI - SEMINARI

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1 U N I V E R S I T À D E G L I S T U D I D I P A V I A REGISTRO DELLE LEZIONI - ESERCITAZIONI - SEMINARI del Prof. A l b e r t o R i m i n i Insegnamento di Meccanica quantistica (c. m , 12 CFU) impartito presso la Facoltà di scienze matematiche fisiche e naturali Corso di laurea in Fisica Anno accademico 2011/12

2 N. prog. 1 data 4 ott Argomento Introduzione al corso. Ipotesi di de Broglie. Fenomeni ondulatori in un mezzo inomogeneo, dispersivo, privo di sorgenti. Le relazioni di de Broglie in presenza di un potenziale. L equazione di Schrödinger. N. prog. 2 data 5 ott Argomento Esperimenti di diffrazione e interferenza con fasci di particelle materiali. Linearità dell equazione di Schrödinger. Equazione di continuità. Conservazione della norma. Dualismo onda corpuscolo. Interpretazione statistica di Born. Interpretazione che prescinde dall osservazione della particella. Significato della probabilità in fisica. N. prog. 3 data 6 ott Argomento Esperimento delle due fenditure. Effetto di una misurazione sulla funzione d onda. Ruolo della probabilità in meccanica quantistica. Relazioni di incertezza. Proprietà generali dell equazione di Schrödinger. Potenziali ammissibili. N. prog. 4 data 6 ott Argomento Appartenenza della funzione d onda allo spazio L 2 (x; dx). Spazio L 2 (x; dx). Dominio dell operatore H. Simmetria di H e sue conseguenze. Separazione della variabile temporale. Stati stazionari. Generalità sul problema agli autovalori. Autovalori e autofunzioni di un operatore hermitiano. Soluzione generale dell equazione di Schrödinger. Equazione di Schrödinger unidimensionale. N. prog. 5 data 7 ott Argomento Elementi di geometria degli spazi di Hilbert. Operatori lineari negli spazi di Hilbert. Algebra degli operatori. Operatori limitati. N. prog. 6 data 10 ott Argomento Coniugato hermitiano di un operatore limitato. Operatori hermitiani. Aggiunto di un operatore. Operatori autoaggiunti. Operatori isometrici e unitari. Proiettori e loro proprietà. Problema agli autovalori di un operatore isometrico. Rappresentazioni e rappresentativi.

3 N. prog. 7 data 10 ott Argomento Problemi agli autovalori negli spazi finitodimensionali. Sottospazi invarianti. Invarianza del complemento ortogonale per un operatore hermitiano o isometrico. Completezza del sistema degli autovettori degli operatori hermitiani e isometrici. Risoluzioni dell identità e risoluzione spettrale di un operatore. N. prog. 8 data 11 ott Argomento Diagonalizzabilità simultanea di più operatori e commutatività. Funzioni di un sistema di operatori commutanti. Sistemi esaurienti di operatori commutanti. Sottospazi invarianti e risoluzioni spettrali. N. prog. 9 data 12 ott Argomento Funzione delta di Dirac e sue pricipali proprietà. Derivata della funzione delta. Funzioni delta in tre dimensioni. Funzioni ordinarie che approssimano la funzione delta. N. prog. 10 data 13 ott Argomento Problemi agli autovalori negli spazi di Hilbert infinitodimensionali. Autovettori e autovalori impropri degli operatori i d/dx, d 2 /dx 2 e x in L 2 (x; dx) e degli operatori i, e x in L 2 (x; dx). N. prog. 11 data 13 ott Argomento Generalizzazioni. Spettro discreto, spettro continuo e spettro misto. Rappresentazioni. Teoremi di completezza degli operatori autoaggiunti e unitari. Proprietà degli operatori finora considerati. Risoluzioni dell identità e di un operatore. Sottospazi invarianti negli spazi infinitodimensionali. Commutatività e diagonalizzabilità simultanea. N. prog. 12 data 14 ott Argomento Problema agli autovalori dell operatore hamiltoniano. Vettori e operatori nella notazione di Dirac. L operatore f f e il suo uso vantaggioso.

4 N. prog. 13 data 17 ott Argomento Estensione della notazione di Dirac alle basi improprie. Rappresntazioni nella notazione di Dirac. Isomorfismi tra spazi di Hilbert nella notazione di Dirac. Prodotti diretti di spazi di Hilbert. Esempi. N. prog. 14 data 17 ott Argomento Altri esempi di prodotti diretti di spazi di Hilbert. Somme dirette di spazi di Hilbert. Somma diretta di spazi di Hilbert aventi la medesima struttura. N. prog. 15 data 18 ott Argomento Il concetto di stato in fisica. La funzione d onda come stato di una particella in meccanica quantistica. Lo spazio degli stati. Sistemi chiusi. Evoluzione della funzione d onda secondo l equazione di Schrödinger. Le misurazioni. Sospensione dell equazione di Schrödinger all atto di una misurazione. Misurazioni ideali della posizione. Riduzione della funzione d onda. N. prog. 16 data 19 ott Argomento Le grandezze fisiche e i loro valori. La grandezza posizione e l operatore a essa associato. La particella libera. La grandezza momento lineare e l operatore a essa associato. Definizione della distribuzione di valori del momento lineare. N. prog. 17 data 20 ott Argomento Espressione (risultato) della distribuzione di valori del momento lineare. Esperimento ideale di misurazione del momento lineare. Distribuzione di probabilità dei risultati. Riduzione nel momento lineare (condizioni e risultati). N. prog. 18 data 20 ott Argomento Discussione euristica dello spettro di H. L operatore H come operatore associato all energia totale della particella. Significato delle autofunzioni e degli autovalori dello spettro continuo di H. Espressione (risultato) della distribuzione dei valori dell energia per una sovrapposizione di autostati impropri.

5 N. prog. 19 data 21 ott Argomento Distribuzione di probabilità dei risultati di una misurazione dell energia. Significato delle autofunzioni e degli autovalori dello spettro discreto di H. Distribuzione dei valori dell energia nel caso degli stati legati. Conservazione dell energia. Rappresentazioni dell energia. Valori e distribuzioni di valori di una grandezza generica. Valori medi e scarti medi. Distribuzioni congiunte e grandezze compatibili. N. prog. 20 data 24 ott Argomento Grandezze non compatibili. Costanti del moto. Commutatori. Esperimenti reali. Dispositivi a traccia. Esistenza delle tracce e conferma del processo di riduzione. N. prog. 21 data 24 ott Argomento Sistemi unidimensionali. Particella libera: evoluzione delle distribuzioni di valori quantistiche e delle distribuzioni statistiche classiche delle grandezze x e p. Differenze concettuali tra i casi classico e quantistico. N. prog. 22 data 25 ott Argomento Sparpagliamento del pacchetto d onde e sua interpretazione. Pacchetto gaussiano libero (richiami). Buca di potenziale rettangolare (richiami). N. prog. 23 data 26 ott Argomento Barriera di potenziale rettangolare (richiami). Potenziale continuo di forma qualsiasi. Urto da sinistra contro una buca di potenziale rettangolare. Coefficienti di trasmissione e riflessione. Urto da destra. Ortonormalità delle autofunzioni con prescrizione di onde uscenti. N. prog. 24 data 28 ott Argomento Autofunzioni con prescrizione di onde entranti. Urto contro una barriera di potenziale rettangolare. Urto contro un potenziale di forma qualsiasi. Descrizione stazionaria dei processi d urto.

6 N. prog. 25 data 3 nov Argomento Barriera impenetrabile. Oscillatore armonico unidimensionale. L operatore ˆN e il suo problema agli autovalori. N. prog. 26 data 3 nov Argomento Autofunzioni di ˆN nello spazio L 2 (x; dx). Polinomi di Hermite. Sistemi tridimensionali e unidimensionali: relazione tra gli spazi degli stati. N. prog. 27 data 4 nov Argomento Sistemi a simmetria rettangolare. Esempi. Sistemi a simmetria centrale. Il momento angolare in meccanica quantistica. I problem agli autovalori simultanei di ˆl 2 e ˆl z in L 2 (Ω; dω) e di Ĥ, ˆl2 e ˆl z in L 2 (r, Ω; r 2 dr dω). Espressione dell hamiltoniano in coordinate polari. N. prog. 28 data 4 nov Argomento Equazione radiale. Condizione di regolarità all origine. Soluzioni proprie e improprie dell equazione radiale. N. prog. 29 data 7 nov Argomento Normalizzazione delle soluzioni improprie dell equazione radiale Funzioni coulombiane. Esperimenti di diffusione. Sezione d urto. Descrizione quantistica del processo di diffusione. N. prog. 30 data 7 nov Argomento Autofunzioni con prescrizione di onde uscenti. Diffusione di un onda stazionaria. Processo d urto di un pacchetto d onde. Ortonormalità e completezza delle autofunzioni con prescrizione di onde uscenti.

7 N. prog. 31 data 8 nov Argomento Diffusione di un fascio di pacchetti d onde. Teoria generale del momento angolare: il problema agli autovalori simultaneo di ĵ 2 e ĵ z. N. prog. 32 data 9 nov Argomento Teoria generale del momento angolare: rappresentazione standard del momento angolare. N. prog. 33 data 10 nov Argomento Problema agli autovalori del momento angolare orbitale. Funzioni armoniche sferiche e loro proprietà. N. prog. 34 data 10 nov Argomento Momento angolare 1 2 e matrici di Pauli. Teorema di addizione dei momenti angolari. N. prog. 35 data 11 nov Argomento Relazione tra base accoppiata e base disaccoppiata. Coefficienti di accoppiamento vettoriale. Interazione tra un orbita e un campo magnetico esterno. Magnetone di Bohr. Separazione dei livelli. Caratteristiche generali dell effetto Zeeman. Ipotesi dello spin dell elettrone. Altre particelle dotate di spin. Descrizione dello spin. Descrizione completa di una particella dotata di spin. N. prog. 36 data 14 nov Argomento Esperimento di Stern e Gerlach. Spettro di un sistema idrogenoide.

8 N. prog. 37 data 14 nov Argomento Problema di una particella libera in coordinate polari. Funzioni di Bessel e di Neumann sferiche e loro comportamenti all origine e all infinito (risultati). Sviluppo dell onda piana in armoniche sferiche. N. prog. 38 data 15 nov Argomento Buca di potenziale sferica rettangolare (risultati). Colonna di potenziale sferica rettangolare (risultati). Urto su un potenziale centrale: costruzione delle autofunzioni con prescrizione di onde uscenti. Sviluppo in onde parziali dell ampiezza di diffusione. N. prog. 39 data 16 nov Argomento Sviluppo in onde parziali e approssimazione di bassa energia. Teorema ottico. Autofunzioni con prescrizione di onde entranti. Matrice S. N. prog. 40 data 18 nov Argomento Unitarietà della matrice S. Relazione tra la matrice S e l ampiezza di diffusione. Particella carica in un campo elettromagnetico dato. N. prog. 41 data 21 nov Argomento Particella carica e dotata di momento magnetico in un campo elettromagnetico dato. Interazione spin orbita. N. prog. 42 data 21 nov Argomento Valutazione dell interazione spin orbita. Sistema di due particelle senza spin. Sistema isolato di due perticelle senza spin. Funzioni d onda dipendenti dal tempo del sistema di due particelle senza spin.

9 N. prog. 43 data 22 nov Argomento Principi generali della meccanica quantistica. Stati, grandezze fisiche, distribuzioni di valori, sistemi elementari, sistemi composti. Evoluzione di Schrödinger. N. prog. 44 data 23 nov Argomento Misurazioni, risultati e loro probabilità. Misurazione simultanea. Evoluzione all atto di una misurazione. Misurazioni ripetibili. Riduzione. Misurazioni massime. Preparazione dello stato di un sistema. N. prog. 45 data 25 nov Argomento Discussione delle caratteristiche del processo di riduzione per le misurazioni ripetibili. N. prog. 46 data 28 nov Argomento Il problema della misurazione quantistica. Il gatto di Schrödinger. La soluzione di Copenaghen. N. prog. 47 data 28 nov Argomento Evoluzione del valore medio di una grandezza. Teorema di Ehrenfest. La grandezza quantistica parità. Relazioni di incertezza. Costanti del moto. L operatore di evoluzione temporale. Sviluppo di Dyson. N. prog. 48 data 29 nov Argomento Traslazioni e rotazioni di un sistema quantistico. Differenti descrizioni di una trasformazione di un sistema quantistico. Descrizioni di Schrödinger e di Heisenberg dell evoluzione temporale.

10 N. prog. 49 data 30 nov Argomento Descrizione di interazione dell evoluzione temporale. Principio sulle proprietà di trasformazione degli operatori fondamentali. Trasformazioni per traslazioni e rotazioni delle variabili dinamiche classiche di posizione, momento lineare e momento angolare e conseguenti trasformazioni degli operatori quantistici fondamentali. Trasformazioni infinitesime e generatori. Trasformazioni finite. N. prog. 50 data 2 dic Argomento Operatori di trasformazione per un sistema composto. Determinazione dei generatori delle traslazioni e delle rotazioni. Trasformazione per rotazione dei vettori di stato di spin. Spinori. N. prog. 51 data 5 dic Argomento Sistemi irriducibili di operatori negli spazi di Hilbert. Lemma di Schur. Irriducibilità di ˆx, ˆp in L 2 (x; x R) e di ŝ x, ŝ y, ŝ z in l(m; m Z (s) ). Teorema sull irriducibilità negli spazi prodotto diretto (enunciato). Conseguenze. Possibile riducibilità del sistema delle grandezze fisiche. Proprietà delle grandezze fisiche in caso di riducibilità. Sottospazi invarianti ed evoluzione di Schrödinger. N. prog. 52 data 5 dic Argomento Sottospazi invarianti ed evoluzione per riduzione. Principio di riduzione ai sottospazi invarianti. Regole di superselezione. Particella in presenza di una barriera invalicabile. Particella nucleone. N. prog. 53 data 6 dic Sistemi di particelle identiche. Identità e indi- Argomento stinguibilità. N. prog. 54 data 7 dic Argomento Sistemi di particelle identiche: scomposizione di H in sottospazi invarianti. Applicazione del principio di riduzione ai sottospazi invarianti: bosoni e fermioni. Perturbazioni statiche di un livello discreto.

11 N. prog. 55 data 12 dic Argomento Perturbazioni statiche degli stati del continuo. Teoria perturbativa dell evoluzione temporale: espressione generale dell ampiezza e della probabilità di transizione. N. prog. 56 data 12 dic Argomento Teoria perturbativa dell evoluzione temporale: perturbazioni indipendenti dal tempo e perturbazioni sinusoidali. Metodo di approssimazione variazionale: applicazione al calcolo dello stato fondamentale. N. prog. 57 data 13 dic Argomento Metodo di approssimazione variazionale: espressione formale della condizione di stazionarietà. Possibile generalizzazione agli stati ecciitati. Sistemi di particelle identiche in presenza di una barriera invalicabile. Sistemi di nucleoni. Identità dei nucleoni. Principio di Pauli generalizzato. N. prog. 58 data 14 dic Argomento Descrizione di sistemi di particelle identiche. Basi in H + e H. Determinanti di Slater. Principio di esclusione per i sistemi di fermioni identici. Basi non ridondanti e ortogonali in H + e H. N. prog. 59 data 16 dic Argomento Basi ortonormali in H + e H. Invarianza dei determinanti di Slater per trasformazione unitaria in un dato sottospazio di particella singola. Elementi di matrice di operatori a un corpo tra determinanti di Slater. N. prog. 60 data 19 dic Argomento Elementi di matrice di operatori a due corpi tra determinanti di Slater. Programma della teoria semiclassica della radiazione. Hamiltoniano di interazione con un onda elettromagnetica piana. Stima del rapporto tra il termine in A 2 e il termine in A in Ĥ1.

12 N. prog. 61 data 19 dic Argomento Espressione delle probabilità di transizione indotte per unità di tempo. Relazione tra la probabilità di emissione spontanea e le probabilità di transizione indotta. N. prog. 62 data 20 dic Argomento Approssimazione di dipolo elettrico. Media sulle polarizzazioni. I modelli a shell atomico e nucleare. Il metodo di Hartree Fock. Lo stato di H F. N. prog. 63 data 21 dic Argomento Equazioni di Hartree Fock. Equazioni di H F in una base di lavoro. Procedimento iterativo. Hamiltoniano di H F. Energie approssimate. N. prog. 64 data 9 gen Argomento Osservazioni sul procedimento iterativo e sull applicazione pratica del metodo di Hartree Fock. Problemi di diffusione: approssimazione di Born. N. prog. 65 data 9 gen Argomento Rappresentazioni irriducibili, riducibili e scomponibili di un gruppo. Rappresentazioni del gruppo delle rotazioni. Rappresentazioni tensoriali ordinarie. Rappresentazione scalare. Irriducibilità della rappresentazione vettoriale N. prog. 66 data 10 gen Argomento Scomposizione della rappresentazione dei tensori ordinari di ordine 2.

13 N. prog. 67 data 11 gen Argomento Proprietà di trasformazione per rotazioni e regole di commutazione con il momento angolare. Coefficienti di Clebsch Gordan e simboli 3j. N. prog. 68 data 13 gen Argomento Coefficienti di riaccoppiamento e simboli 6j. Tensori irriducibili di operatori. N. prog. 69 data 13 gen Argomento Prodotto tensoriale irriducibile di tensori irriducibili. Relazioni tra diverse rappresentazioni delle rotazioni. N. prog. 70 data gen Argomento Teorema di Wigner Eckart. Regole di selezione dell operatore di dipolo elettrico. Fattore di Landé.

14 RIASSUNTO Numero lezioni effettivamente impartite Numero esercitazioni effettivamente impartite Numero seminari effettivamente svolti Numero lezioni perdute per incarichi governativi Numero lezioni perdute per malattia Numero lezioni perdute per altri motivi totale 70