Programma dettagliato del corso di MECCANICA HAMILTONIANA Corso di Laurea Magistrale in Fisica

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Monica Arcuri
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1 Programma dettagliato del corso di MECCANICA HAMILTONIANA Corso di Laurea Magistrale in Fisica Anno Accademico A. Ponno (aggiornato al 7 giugno 2016)

2 2 Marzo /3/16 Benvenuto, presentazione del corso, dei suoi contenuti e delle motivazioni sottostanti agli argomenti trattati. Descrizione del materiale didattico e delle modalità di esame. Richiami di meccanica Hamiltoniana e Lagrangiana. 7/3/16 Generalità sui sistemi dinamici e sulle equazioni differenziali. Definizione assiomatica di parentesi di Poisson, algebra di Poisson e sistema Hamiltoniano. Caratterizzazione delle parentesi di Poisson in termini del tensore di Poisson e delle sue proprietà: enunciato e dimostrazione di una proposizione. 9/3/16 Forma generale dei campi vettoriali Hamiltoniani. Invarianti di Casimir. Esempi: oscillatore armonico in coordinate di Birkhoff complesse e in variabili azione-angolo. Equazione delle onde con estremi fissi (corda vibrante) come sistema Hamiltoniano. Soluzione dell equazione in coordinate di Fourier. Riduzione ad un sistema di infiniti oscillatori armonici non interagenti. Integrabilità del sistema secondo Liouville. 16/3/16 Introduzione alla meccanica quantistica. Quantizzazione canonica, equazione di Schrödinger, operatore di evoluzione temporale. Interpretazione probabilistica della funzione d onda. Soluzione dell equazione: analisi spettrale dell operatore Hamiltoniano. Caso di spettro solo discreto: riduzione a un sistema di oscillatori armonici non interagenti. Integrabilità del sistema secondo Liouville. Problema dell assenza di rilassamento all equilibrio. Esempio di problema con solo spettro discreto o solo spettro continuo: particella libera sul segmento o sulla retta. 23/3/16 Trasformazioni di coordinate. Indipendenza del tensore di Poisson e della relativa parentesi dalle coordinate. Esempio: passaggio da coordinate canoniche a coordinate di Birkhoff. Riduzione a forma canonica di un tensore di Poisson costante nel caso finito dimensionale; ruolo degli invarianti di Casimir. 30/3/16 Trasformazioni canoniche come trasformazioni che lasciano invariante il tensore di Poisson e la relativa parentesi. Esempio: caso simplettico standard. Esempio: variabili azione angolo per l oscillatore armonico. Flussi Hamiltoniani come gruppi a un parametro di trasformazioni canoniche. Versione Hamiltoniana (debole) del teorema di Nöther. Esempio: particella soggetta a un campo di forze conservativo; condizioni di invarianza dell Hamiltoniana per traslazioni e rotazioni e relativi integrali primi.

3 3 Aprile /4/16 Svolgimento dettagliato dell esercizio sulle simmetrie per una particella soggetta a un campo di forze conservativo. Dimostrazione del fatto che un gruppo a un parametro di trasformazioni è il flusso dell equazione che ha per campo vettoriale il generatore del gruppo. Introduzione alla teoria Hamiltoniana delle perturbazioni. 6/4/16 Teoria Hamiltoniana classica delle perturbazioni. Costruzione della forma normale al primo e secondo ordine. Formulazione indipendente dalle coordinate. Formule di soluzione esplicita dell equazione omologica. Principio della media al primo ordine e generalizzazione ad un ordine qualsiasi. 11/4/16 Principio della media al secondo ordine: formule esplicite. Teoria Hamiltoniana quantistica delle perturbazioni. Evoluzione temporale in rappresentazione di Heisenberg. Principio della media al primo ordine. 13/4/16 Esercizio assegnato: calcolo della forma normale al secondo ordine per l oscillatore anarmonico classico. Calcolo esplicito della perturbazione mediata, della generatrice e della deformazione delle autofunzioni nel caso di spettro discreto non degenere. Sistemi infinitodimensionali. Costruzione di Lagrange della corda vibrante (con richiamo al sito) come limite al continuo. Limite continuo delle equazioni di Euler-Lagrange. 18/4/16 Limite continuo della Lagrangiana del sistema discreto. Formulazione Lagrangiana della teoria di campo classica nel caso dimensionale. Principio di azione stazionaria e forma generale dell equazione di Euler-Lagrange. Gradiente nel senso L 2. Esempio dell equazione della corda. Cenni sulla differenziabilità in senso debole (di Gateaux) e forte (di Frechet). Notazione δ della fisica teorica per il differenziale debole. 20/4/16 Formulazione Hamiltoniana della teoria di campo classica (1 + 1 dimensionale) tramite trasformazione di Legendre. Equazioni di Hamilton. Seconda forma del principio di azione stazionaria. Esempio dell equazione della corda. Connessione dell equazione della corda con l equazione di Klein-Gordon. Esercizio assegnato: Lagrangiana e Hamiltoniana dell equazione di Klein-Gordon D + 1 dimensionale. Strutture Hamiltoniane dell equazione della corda vibrante dimensionale (senza richiamo al sito) e soluzione dell equazione. Esercizi assegnati: soluzione dell equazione di corda per separazione di variabili per differenti condizioni al bordo; deduzione della formula di D Alambert nel caso di assenza di richiamo al sito (sulla retta); Lagrangiana e Hamiltoniana dell equazione di corda non lineare; studio qualitativo delle soluzioni di tipo onda solitaria dell equazione di corda non lineare sulla retta. 27/4/16 Simmetrie dell equazione delle onde: applicazioni del teorema di Nöther. Equazione di Euler-Bernoulli: strutture Hamiltoniane ed equivalenza all equazione di Schrödinger di particella libera.

4 4 Maggio /5/16 Equazione di Euler-Bernoulli con segno opposto (o a tempo immaginario): strutture Hamiltoniane ed equivalenza alla coppia equazione del calore (o di diffusione) ed equazione del calore a tempo inverso. Soluzione dell equazione del calore sulla retta e illustrazione del problema per quella a tempo inverso. Soluzione degli esercizi proposti sulle equazioni delle onde. 4/5/16 Fine soluzione esercizi della lezione precedente. Discussione sulla meccanica quantistica. Formulazione Lagrangiana e Hamiltoniana dell equazione di Schrödinger come teoria di campo classica. Problema di applicabilità della trasformazione di Legendre. Esempio finito dimensionale: particella carica non massiva in un campo magnetico. Variabili di Madelung: limite classico della meccanica quantistica. 9/5/16 Confronto tra la rappresentazione di Schrödinger e quella di Heisenberg. Commutatore diviso ı come parentesi di Poisson. Algebra (di Poisson) di Schrödinger e di Heisenberg; isomorfismo tra le due algebre. 11/5/16 Elettrodinamica semiclassica: equazione di Schrödinger accoppiata con le equazioni di Maxwell del campo elettromagnetico (non quantizzato). Formulazione Hamiltoniana del problema. Analisi dei termini di accoppiamento in variabili di Madelung. Discussione qualitativa dei fenomeni di interazione radiazione materia. Interpretazione fisica della funzione d onda. 16/5/16 Esercizi di teoria perturbativa. Oscillatore anarmonico: costruzione della forma normale al secondo ordine. Costruzione della forma normale al primo ordine per una perturbazione dell equazione di tipo Klein-Gordon non lineare, nel limite di massa grande: deduzione dell quazione di Gross-Pitaevskii. 18/5/16 Costruzione della forma normale al primo ordine per una peturbazione dell equazione delle onde (equazione di Boussinesq): deduzione dell equazione di Korteweg-deVries. Approccio probabilistico alla dinamica. Elementi di teoria astratta della probabilità: misure, proprietà, spazio di probabilità. Misure invarianti. 23/5/16 Caratterizzazione delle misure invarianti che ammettono densità regolare: equazione di continuità. Caso Hamiltoniano: equazione di Liouville. Soluzione dell equazione di continuità. Integrali primi dell equazione di Liouville. Problema dell approccio all equilibrio. 25/5/16 Cenni di meccanica statistica di equilibrio; approccio di Gibbs. Misura micro-canonica e sue proprietà; legame con la termodinamica: entropia di Boltzmann. Misura canonica e sue proprietà; legame con la termodinamica: energia libera. 30/5/16 Equivalenza tra misura canonica e micro-canonica nel limite termodinamico. Approccio stocastico: sistemi Hamiltoniani a contatto con un termostato. Modellizzazione del termostato tramite forze dissipative e stocastiche. Equazione di Langevin.

5 5 Giugno /6/16 Rumore bianco e sue proprietà. Discussione sul significato matematico dell equazione di Langevin. Proprietà di regolarità della soluzione in media. Deduzione dell equazione di Fokker-Planck nel caso generale. Riduzione al caso Hamiltoniano. 6/6/16 Studio dell equazione di Fokke-Planck per sistemi Hamiltoniani. Unicità della densità canonica di Gibbs come soluzione di equilibrio dipendente dall Hamiltoniana. Funzionale energia libera: minimo assoluto nella densità canonica. Dimostrazione della stabilità asintotica della densità canonica per ogni dato iniziale. Metodo di Lyapunov (decrescenza monotòna dell energia libera) e dinamica della deviazione.

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