Introduzione alla Fisica Teorica A.A

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1 Introduzione alla Fisica Teorica A.A May 23, 2015 Meccanica Analitica : Presentazione del corso: obiettivi e contenuti. Testi di riferimento e materiale bibliografico on-line. Modalità di svolgimento dell esame : La meccanica Newtoniana come teoria fenomenologica del moto a bassa velocità. Il problema dei vincoli. Coordinate generalizzate : Gradi di libertà. Vincoli cinematici integrabili. Sistemi olonomi e sistemi anolonomi. Spazio delle configurazioni. Velocità generalizzate: definizione e relazione con le velocità nello spazio fisico. Energia cinetica in termini delle velocità generalizzate : Es. Si consideri un sistema di due particelle P 1 e P 2. La particella P 1 è vincolata a muoversi lungo l asse x. La particella P 2 e collegata alla particella P 1 da una sbarra rigida di lunghezza a, di massa trascurabile. Conteggiare il numero di gradi di libertà. Determinare un possibile sistema di coordinate generalizzate. Calcolare l energia cinetica in funzione delle velocità generalizzate : Es. Si consideri un cilindro che rotola, (senza strisciare), su un piano inclinato. Dimostrare che il vincolo di rotolamento è integrabile e determinare il numero di gradi di libertà. 1

2 Si consideri un disco di raggio a vincolato a rotalare, (senza strisciare), su un piano orizzontale, mantenendosi in un piano verticale. Verificare che il vincolo non è integrabile : Forze conservative ed Energia cinetica generalizzate. La funzione di Lagrange. Eq. di Eulero-Lagrange come generalizzazione delle equazioni di Newton. Coordinate cicliche e costanti del moto : Covarianza delle equazioni di Lagrange per trasformazioni generali di coordinate. Moltiplicatori di Lagrange Es. Equazioni del moto di una particella libera in un sistema di coordinate rotante. Pendolo come sistema vincolato. Moto di una particella in caduta libera lungo una guida y = f(x) Coordinate cicliche e costanti del moto. Potenziali centrali: conservazione del momento angolare e potenziale efficace. Potenziali dipendenti dalle velocità. L energia nel formalismo Lagrangiano Es. Particella carica in un campo eletromagnetico esterno. Lagrangiana, equazioni del moto, energia totale del sistema. Particella in caduta lungo una spira rotante. Lagrangiana equazioni, del moto, energia totale del sistema Problema dei due-corpi in un campo di forze centrali. Separazione del moto del centro di massa e del moto relativo. Simmetria sferica e conservazione del momento angolare. La II Legge di Keplero Equazioni del moto. Potenziale efficace e classificazione delle possibili orbite. Equazione dell orbita I Legge di Keplero: orbite ellittiche. III Legge di Keplero: periodo di rivoluzione.

3 Correzioni al potenziale Newtoniano efficace e precessione del perielio di Mercurio Es. Determinare la distanza minima dall origine su: i) un orbita ellittica; ii) un orbita parabolica; un orbita iperbolica Calcolare il periodo di rivoluzione di un satellite in orbita bassa, circolare, a 200 km di altezza. Calcolare il periodo di rivoluzione di un satellite in orbita ellittica, con perigeo a 200 km di altezza, ed apogeo a 7200 km di altezza Il calcolo delle variazioni. Funzionali e derivate funzionali. Principi di minimo secondo Fermat ed Hamilton Es. Determinare il cammino piu breve, nel piano, tra due punti dati, medianti il calcolo delle variazioni. Verificare che la retta è effettivamente un minimo Es. Ricavare la Legge di Snell dal Principio (variazionale) di Fermat. Il problema della brachistocrona Equazioni di Lagrange, e traiettorie classiche, come estremali, dell Integrale di Azione. Variazione ad estremi fissi Es. Calcolare l azione per: i) una particella libera; ii) una particella in un campo di forze centrali; iii) dimostrare che l azione ricavata in ii) soddisfa l equazione di Hamilton-Jacobi. Dimostrare che l invarianza per traslazioni spaziali implica la conservazione del momento lineare, e l invarianza per rotazioni la conservazione del momento angolare Il Teorema di Emi Noether (versione semplificata). Noether. Le cariche di Sistemi dinamici (cenni). Spazio delle fasi. Flusso di fase. Punti fissi.

4 Es. Studiare i punti fissi e lo spazio di fase per: i)un oscillatore armonico, uni-dimensionale; ii)un oscillatore uni-dimensionale con costante elastica negativa; Lo spazio delle fasi ed i punti fissi, per il pendolo. Discussione generale della relazione tra punti fissi e punti di stazionarieta del potenziale, per sistemi conservativi L Hamiltoniana, definizione e significato fisico. Le quazioni di Hamilton. La Trasformata di Legendre e la sua interpretazione geometrica Es. Data la Lagrangiana L = 1 2 qi A ij ( q ) q j V (q i ) (1) Ricavare l Hamiltoniana e le equazioni di Hamilton. Data al Lagrangiana ricavare: i) l Hamiltoninana; ii) le equazioni di Hamilton. L = m 2 qi q i + e φ e q i A i (2) Dimostrare che per un sistema autonomo l Hamiltoniana è una costante del moto Le equazioni di Hamilton da un principio variazionale. L equazione di Hamilton-Jacobi Equazione di Hamilton-Jacobi come limite classico dell equazione di Schrödinger Simmetria tra spazio e tempo in teorie relativistiche (cenni). Covariantizzazione del formalismo Lagrangiano e a non-covarianza del formalismo Hamiltoniano.

5 La forma simplettica (cenni). Le parentesi di Poisson : definizione e proprietà Es. Ottenere le equazioni di Hamilton dalle parentesi di Poisson. Calcolare le seguenti Parentesi di Poisson { q i, q j } =?, { p i, p j } =?, { q i, q j } =?, { L i, L j } =?. (3) Trasformazioni canoniche infinitesime e funzione generatrice. Cariche di Noether come generatori di trasformazioni canoniche Azione ed equazioni di Lagrange per una particella libera relativistica. Coservazione dell energia e del momento in meccanica relativistica Difficoltà nel definire uan formulazione Hamiltoniana della particella relativistica. Moltiplicatore di Lagrange ed azione equivalente on-shell. Hamiltoniana come vincolo di mass-shell La dinamica della particella relativistica nella gauge sincrona. Azione in forma Lagrangiana ed Hamiltoniana L elettromagnetismo come teoria Lagrangiana di un mezzo continuo. Azione Lagrangiana ed equazioni di Maxwell da un principio variazionale. A 0 come moltiplicatore di Lagrange e E = eρ come vincolo. Azione in forma Hamiltoniana. La crisi della fisica classica Il corpo nero. La Legge di Rayleigh-Jeans per la densità spettrale di energia di corpo nero. La catastrofe ultravioletta.

6 Es. Conteggiare i modi normali del campo elettromagnetico in una scatola con pareti conduttrici riflettenti. Ricavare la legge di Rayleigh- Jeans utilizzando il teorema di equipartizione dell energia L ipotesi di Planck: discretizzazione dell energia della radiazione di corpo-nero Es. Calcolare la Funzione di Partizione di Planck: Z P l. ( β ) = n=0 e βn hω, β 1 κ B T (4) Nota Z P l. ricavare la densità spettrale di energia a temperatura T L effetto Foto-elettrico. La spiegazione di Einstein e la natura corpuscolare della luce. Il fotone come quanto di energia elettromagnetica La natura ondulatoria vs la natura corpuscolare delle luce. L esperimento di diffrazione di Young come diffusione di fotoni Diffusione di raggi-x da elettroni. Il picco primario e secondario. L effetto Compton come urto-elastico fotone-elettrone Interpretazione fisica dei picchi principale e secondario, nell effetto Compton. Scattering di Rayleigh e Scattering Compton Il microscopio di Bhor ed il Principio di Indeterminazione di Heisemberg Gli spettri degli atomi idrogenoidi. La costante di Rydberg e la formula di Balmer I postulati di Bohr. La quantizzazione del momento angolare. Spettro degli atomi idrogenoidi. L ipotesi di De Broglie. Velocità di fase e velocità di gruppo.

7 Ricavare la quantizzazione dell energia e del momento angolare dalla condizione di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld Descrizione qualitative del esperimento di Davidson-Germer: diffrazione di elettroni da una doppia fenditura. Comportamento corpuscolare vs comportamento ondulatorio Descrizione quantitativa dell esperimento di Davidson-Germer. Interpretazione probabilistica della funzione d onda. Meccanica Ondulatoria Onde piane come autofunzioni del momento e dell energia. L equazione di Schrodinger L equazione di Schrodinger stazionaria: soluzione col metodo di separazione delle variabili. Equazione di continuità per una particella in moto lungo l asse-x Equazione di continuità in tre dimensioni. Forma esplicita per autofunzioni del momento. Onda piana come pacchetto lungo per una singola particella, o come descrizione effettiva di un fascio di particelle di momento definito Funzione d onda in forma polare. Equazioni per il modulo e la fase. Equazione di Hamilton-Jacobi quantistica e funzioni d onda semi-classiche. Funzioni d onda nello spazio dei momenti Es. Dimostrare che un pacchetto d onde Gaussiano in momento è anche Gaussiano in posizione. Dimostrare che un pacchetto Gaussiano corrisponde ad uno stato di minima indeterminazione per una particella libera.

8 Es. Dimostrare che nel corso della sua evoluzione il pacchetto resta Gaussiano, ma che il picco della distribuzione di probabilità si sposta e la larghezza cresce monotonamente. Dimostrare che i valori medi < x >, < p > soddisfano le equazioni del moto classiche, di una particella libera. Calcolare quanto tempo impiega un pacchetto gaussiano con a = m, e m = kg, per: i) raddoppiare la sua estensione lineare, i.e. calcolare t 2a : a(t 2a ) = 2a; ii) estendersi fino ad una distanza macroscopica A = 10cm; iii) ripetere i conti i) e ii) per una massa m = 0.25kg Es. Si consideri un particella nel potenziale a gradino V (x) = V 0 Θ(x) (5) 1) Discutere le condizioni di continuità di ψ e ψ in x = 0. 2) Risolvere l equazione d onda nel caso E < V 0. 3) Determinare le ampiezze dell onda incidente e di quella riflessa in funzione dell ampiezza dell onda trasmessa. 4) Calcolare il coefficiente di riflession R della barriera, la lunghezza di penetrazione e discuterne la misurabilità Es. Si consideri un particella nel potenziale a gradino V (x) = V 0 Θ(x) (6) Risolvere l equazione d onda per E > V 0. Determinare il coefficiente di riflessione R e trasmissione T. Verificare che T + R = 1. Si consideri una barriera di potenziale rettangolare di base a ed altezza V 0. Calcolare il coefficiente di tramissione ( Effetto Tunnel ). Formula di Gamow e decadimento α dell Uranio Es. Si consideri la buca di potenziale infinita V (x) = 0, 0 < x < L, (7) V (x) =, x < 0, x > L (8)

9 i) Discutere le condizioni di saldatura in x = 0, x = L. ii) Risolvere l equazione d onda e determinare lo spettro dell energia. iii) Normalizzare la funzione d onda. iv) Ricavare l energia dello stato fondamentale dal Prinicipio di Indeterminazione. v) Traslare x x L/2. Discutere le proprieta di simmetria delle auto-funzioni per riflessioni x x. Si consideri la buca di potenziale finita V (x) = 0, 0 < x < L, (9) V (x) = V 0 <, x < 0, x > L (10) Discutere il tipo di soluzioni e lo spettro dell energia, per E < V Es. Si consideri la buca di potenziale finita V (x) = 0, 0 < x < L, (11) V (x) = V 0 <, x < 0, x > L (12) Discutere il tipo di soluzioni e lo spettro dell energia, per E > V 0. Si ricavi il coefficiente di trasmissione e si determini quando T = 1. Determinare l energia minima di un oscillatore armonico quantistico usando il principio di Indeterminazione Es. L equazione di Schrodinger per l oscillatore armonico in una dimensione. Andamenti asintotici della funzione d onda. Soluzione col metodo di ricorrenza ed auto-valori dell energia.