1 Il paradosso del gatto di Schrödinger

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Evangelina Olimpia Pizzi
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1 1 Il paradosso del gatto di Schrödinger by extrabyte Abstract. Una descrizione del paradosso del gatto di Schrödinger 1.1 Introduzione Riportiamo velocemente i postulati della Meccanica Quantistica 1. Ad un sistema quantistico S associamo uno spazio di Hilbert H; lo stato di S è descritto da un vettore unitario di H che nel formalismo di Dirac si scrive: Per quanto detto: α,t (1) α,t 2 = α,t α,t 2 = 1, t (, + ) (2) la funzione d onda nello spazio delle coordinate è: ψ (x,t) = x α, che è soluzione dell equazione di Schrödinger: ħ2 2m 2 ψ (x,t) + V (x)ψ (x,t) = ih ψ (x,t) (3) t Si osservi che la (3) può essere scritta in termini operatoriali: essendo Ĥ l operatore hamiltoniano di S. Ĥ α,t = iħ α,t, (4) t 2. Ogni osservabile è rappresentata da un operatore hermitiano definito in H. In simboli, all osservabile A corrisponde l operatore hermitiano Â. Senza perdita di) generalità supponiamo che Â sia dotato di spettro puramente discreto: σ (Â = σ d. Scriviamo l equazione agli autovalori: Â a k = a k a k, con k = 1, 2,...,N + a k a k = δ kk 1

2 Il sistema { a k } è un sistema ortonormale completo, per cui: α,t = c (t) a k (5) Passando alla funzione d onda: ψ (x,t) = c k (t)u k (x), (6) dove le u k (x) sono le autofunzioni di A. Come è noto: P (A = a k,t) = c k (t) 2, (7) cioè la probabilità di osservare il valore a k al tempo t, è pari al modulo quadro del k-esimo coefficiente dello sviluppo in serie di autofunzioni. 3. Se al tempo t = t eseguiamo una misura dell osservabile A, il vettore di stato collassa in uno dei suoi autovettori: α,t a n, con n {1, 2,...,N} Il valore di A è pari all autovalore a n corrispondente all autovettore a n. Per t t è: α,t t = a n fino a quando non verrà eseguita una misura di una seconda osservabile B tale che [Â, ˆB] ˆ0. In termini di funzioni d onda: ψ (x,t ) u n (x) (8) ψ (x,t t ) = u n (x) Il postulato 3 assegna un ruolo fondamentale all operazione di misura, o ciò che è lo stesso, allo strumento di misura. Più precisamente, l interazione tra il sistema S e lo strumento di misura Σ, determina il collasso della funzione d onda (8). 2

3 Secondo l intepretazione di Copenaghen un operazione di misura è fondamentalmente una registrazione di alcuni segnali caratteristici derivanti dall interazione tra S e Σ. In particolare Σ registra una traccia permanente che ci permette di identificare il processo osservato. La formazione di tale traccia è un processo macroscopico irreversibile. Si osservi che tale interpretazione offre il fianco ad alcune critiche, prime tra tutte la seguente: gli eventi submicroscopici dipenderebbero da processi irreversibili che - come è noto - caratterizzano i sistemi macroscopici. Viceversa, nella cornice concettuale della meccanica statistica, i processi termodinamici sono generati dal comportamento collettivo di un gran numero di microoggetti. In altre parole, sono i processi macroscopici che dipendono da quelli microscopici e non viceversa. 1.2 La teoria della misurazione di Von Neumann Qui il processo di misura è una interazione tra S e Σ, e la legge di evoluzione del sistema composito S + Σ è data dall equazione di Schrödinger. Esaminiamo il caso speciale in cui S si trova nell autostato u n (x), mentre Σ si trova nello stato v 0 (y). Risulta: Ψ (x,y,t) = u n (x)v 0 (y) Ψ (x,y), essendo Ψ (x,y,t) la funzione d onda di S + Σ. Eseguendo una misura di A: u n (x)v 0 (y) u n (x)v n (y) Abbiamo cioè una corrispondenza biunivoca tra gli autostati di S e quelli di Σ. Diversamente, se S si trova in uno stato di sovrapposizione: è facile rendersi conto che: ψ (x,t) = c k (t)u k (x), Ψ (x,y,t) = v 0 (y)ψ (x,t) = c k (t)u k (x)v 0 (y) Eseguendo una misura di A, in forza della corrispondenza biunivoca tra gli autostati di A e quelli di Σ, dovrà aversi: 3

4 c k (t)u k (x)v 0 (y) c k (t)u k (x)v k (y), giacché all autostato u k (x) corrisponde l autostato v k (y). In tal caso Σ viene a trovarsi in una sovrapposizione degli autostati v 1 (y),v 2 (y),... In linea di principio, per determinare lo stato di Σ occorre un secondo strumento di misura Σ 1 che a sua volta verrà a trovarsi in una sovrapposizione di stati del tipo w 1 (z),w 2 (z),... Lo stato potrà essere determinato univocamente solo iterando tale procedimento, generando così una successione infinita: Σ, Σ 1, Σ 2,... (9) Tale successione include gli organi di senso nonchè il sistema nervoso dell osservatore, la cui facoltà di introspezione (coscienza) permette di determinare il proprio stato. Quindi solo postulando l esistenza di un Io che osserva è possibile dotare la (9) di un estremo superiore. Si osservi che le difficoltà interpretative nascono dalla presenza di termini interferenziali nello sviluppo di Ψ 2 : Ψ 2 v k (y) v k (y) Se tali termini intereferenziali sono trascurabilmente piccoli ( v k (y) v k (y) 1) non si pone più il problema della sovrapposizione degli stati di Σ. 1.3 Il paradosso del gatto di Schödinger È una conseguenza della teoria della misurazione di Von Neumann. Esercizio Sia G un gatto posto in una stanza chiusa. Nella stanza c è un contatore Geiger Ω contenente un atomo di uranio. Il circuito del contatore è poi collegato ad un recipiente contenente gas tossico. La disintegrazione dell atomo di uranio (processo quantistico) fa scattare Ω, il quale grazie al circuito apre il recipiente del gas tossico. Si determini lo stato (vivo o morto) del gatto dopo che è trascorso un giorno. Soluzione Sia Ψ (x,y,t) la funzione d onda del sistema G + Ω + S, essendo S il sistema quantistico composto dall atomo di uranio. Le autofunzioni di G sono: 4

5 v 1 (y) corrispondente allo stato di gatto vivo v 2 (y) corrispondente allo stato di gatto morto Ψ (x,y,t) = 2 c k (t)u k (x)v k (y) Prima di guardare nella stanza, G si trova in una sovrapposizione dei due stati v 1 (y) e v 2 (y). Per quanto detto, tali autostati sono in corrispondenza biunivoca con gli autostati del sistema quantistico: particella emessa u 1 (x) v 1 (y) particella non emessa u 2 (x) v 2 (y) la grandezza fisicamente significativa è Ψ 2 ; tale grandezza contiene termini interferenziali del tipo: v 1 (y) v 2 (y) (10) L atto di osservare nella stanza (da parte di un osservatore cosciente) determina il collasso della funzione d onda di G: 2 v k (y) v n (y), con n {1, 2} Per quanto detto nella sezione precedente il paradosso è generato dai termini interferenziali (10) che compaiono nello sviluppo di Ψ 2 : Ψ 2 c 1 (t) 2 u 1 (x) 2 v 1 (y) 2 + c 2 (t) 2 u 2 (x) 2 v 2 (y) 2 +2 c 1 (t) c 2 (t) v 1 (y) v 2 (y) Quindi se v 1 (y) v 2 (y) 1 5

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