La Matematica del Mondo dei Quanti
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1 La Matematica del Mondo dei Quanti Gerardo Morsella Dipartimento di Matematica Scienza Orienta 2017 Università di Roma Tor Vergata 13 febbraio 2017 Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
2 La crisi della fisica classica La radiazione di corpo nero 1/2 Corpo nero: scatola contenente radiazione elettromagnetica in equilibrio termico a temperatura T Problema: calcolare la densità di energia elettromagnetica per unità di volume e di intervallo di frequenza ν Soluzione della fisica classica (elettromagnetismo e termodinamica): u(ν, T ) = 8πν2 kt (legge di Rayleigh-Jeans, 1900) c3 Paradossi: In accordo con esperimenti solo per piccole frequenze energia totale infinita (catastrofe ultravioletta) u teoria esperimenti ν Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
3 La crisi della fisica classica La radiazione di corpo nero 1/2 Corpo nero: scatola contenente radiazione elettromagnetica in equilibrio termico a temperatura T Problema: calcolare la densità di energia elettromagnetica per unità di volume e di intervallo di frequenza ν Soluzione della fisica classica (elettromagnetismo e termodinamica): u(ν, T ) = 8πν2 kt (legge di Rayleigh-Jeans, 1900) c3 Paradossi: In accordo con esperimenti solo per piccole frequenze energia totale infinita (catastrofe ultravioletta) 0 u teoria esperimenti ν Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
4 La crisi della fisica classica La radiazione di corpo nero 2/2 Soluzione di Planck (1900) Planck ipotizzò che la radiazione a frequenza ν non potesse avere una qualunque energia, ma solo energia quantizzata 0, hν, 2hν, 3hν,..., nhν,... con h nuova costante universale con dimensioni J s = kg m 2 s 1 (azione) Rifacendo il calcolo della densità di energia: u(ν, T ) = 8πhν 3 c 3 (e hν kt 1) in accordo con dati sperimentali se h = 6, J s costante di Planck. Per luce visibile ν Hz hν J Ma perché solo valori discreti?? Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
5 La crisi della fisica classica La radiazione di corpo nero 2/2 Soluzione di Planck (1900) Planck ipotizzò che la radiazione a frequenza ν non potesse avere una qualunque energia, ma solo energia quantizzata 0, hν, 2hν, 3hν,..., nhν,... con h nuova costante universale con dimensioni J s = kg m 2 s 1 (azione) Rifacendo il calcolo della densità di energia: u(ν, T ) = 8πhν 3 c 3 (e hν kt 1) in accordo con dati sperimentali se h = 6, J s costante di Planck. Per luce visibile ν Hz hν J Ma perché solo valori discreti?? Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
6 La crisi della fisica classica La radiazione di corpo nero 2/2 Soluzione di Planck (1900) Planck ipotizzò che la radiazione a frequenza ν non potesse avere una qualunque energia, ma solo energia quantizzata 0, hν, 2hν, 3hν,..., nhν,... con h nuova costante universale con dimensioni J s = kg m 2 s 1 (azione) Rifacendo il calcolo della densità di energia: u(ν, T ) = 8πhν 3 c 3 (e hν kt 1) in accordo con dati sperimentali se h = 6, J s costante di Planck. Per luce visibile ν Hz hν J Ma perché solo valori discreti?? Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
7 L effetto fotoelettrico La crisi della fisica classica Esperimenti di irraggiamento di metalli con radiazione ultravioletta (Hertz, 1887): il metallo emette elettroni solo se la frequenza ν della radiazione incidente è sopra una certa soglia il numero di elettroni emessi è proporzionale all intensità della radiazione, ma non alla frequenza l energia degli elettroni emessi è proporzionale alla frequenza, ma non all intensità Inspiegabile classicamente: energia della radiazione proporzionale all intensità, non alla frequenza Spiegazione di Einstein (1905) la radiazione di frequenza ν è formata di particelle (fotoni), ognuna delle quali ha energia hν, in numero proporzionale all intensità Conferma ipotesi di Planck Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
8 L effetto fotoelettrico La crisi della fisica classica Esperimenti di irraggiamento di metalli con radiazione ultravioletta (Hertz, 1887): il metallo emette elettroni solo se la frequenza ν della radiazione incidente è sopra una certa soglia il numero di elettroni emessi è proporzionale all intensità della radiazione, ma non alla frequenza l energia degli elettroni emessi è proporzionale alla frequenza, ma non all intensità Inspiegabile classicamente: energia della radiazione proporzionale all intensità, non alla frequenza Spiegazione di Einstein (1905) la radiazione di frequenza ν è formata di particelle (fotoni), ognuna delle quali ha energia hν, in numero proporzionale all intensità Conferma ipotesi di Planck Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
9 La crisi della fisica classica L atomo di idrogeno 1/2 Modello di Rutherford dell atomo di idrogeno (1911): elettrone (negativo) orbita attorno al protone (positivo) attratto dalla forza di Coulomb, proporzionale a 1/r 2 (come la gravità) Problemi: non spiega lo spettro di emissione di radiazione, fatto di righe con frequenze ( ) 1 ν = R n1 2 1 n2 2 con n 1, n 2 numeri interi (R costante di Rydberg) cariche accelerate classicamente emettono radiazione, quindi perdono energia, e quindi l elettrone dovrebbe alla fine cadere sul nucleo (in s!!) Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
10 La crisi della fisica classica L atomo di idrogeno 1/2 Modello di Rutherford dell atomo di idrogeno (1911): elettrone (negativo) orbita attorno al protone (positivo) attratto dalla forza di Coulomb, proporzionale a 1/r 2 (come la gravità) Problemi: non spiega lo spettro di emissione di radiazione, fatto di righe con frequenze ( ) 1 ν = R n1 2 1 n2 2 con n 1, n 2 numeri interi (R costante di Rydberg) cariche accelerate classicamente emettono radiazione, quindi perdono energia, e quindi l elettrone dovrebbe alla fine cadere sul nucleo (in s!!) Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
11 La crisi della fisica classica L atomo di idrogeno 2/2 Modello di Bohr dell atomo di idrogeno (1913) L elettrone può solo stare su orbite per le quali il momento angolare è un multiplo della costante di Planck ridotta = h/2π mvr = n E = E n = me4 2 2 n 2 L elettrone può saltare da un orbita permessa a un altra assorbendo o emettendo un fotone di frequenza ( ) ν = E n 1 E n2 h = me4 4π 3 1 n 2 1 Ma perché solo queste orbite?? 1 n 2 2 Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
12 La crisi della fisica classica L atomo di idrogeno 2/2 Modello di Bohr dell atomo di idrogeno (1913) L elettrone può solo stare su orbite per le quali il momento angolare è un multiplo della costante di Planck ridotta = h/2π mvr = n E = E n = me4 2 2 n 2 L elettrone può saltare da un orbita permessa a un altra assorbendo o emettendo un fotone di frequenza ( ) ν = E n 1 E n2 h = me4 4π 3 1 n 2 1 Ma perché solo queste orbite?? 1 n 2 2 Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
13 La crisi della fisica classica L atomo di idrogeno 2/2 Modello di Bohr dell atomo di idrogeno (1913) L elettrone può solo stare su orbite per le quali il momento angolare è un multiplo della costante di Planck ridotta = h/2π mvr = n E = E n = me4 2 2 n 2 L elettrone può saltare da un orbita permessa a un altra assorbendo o emettendo un fotone di frequenza ( ) ν = E n 1 E n2 h = me4 4π 3 1 n 2 1 Ma perché solo queste orbite?? 1 n 2 2 Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
14 Onde e particelle La meccanica ondulatoria De Broglie (1923): la radiazione è costituita da fotoni (particelle), ma mostra anche comportamenti ondulatori (interferenza, diffrazione) analogamente le particelle (elettroni) devono avere un aspetto ondulatorio in base alla relazione tra equazione delle onde e ottica geometrica, a una particella di impulso p si associa una lunghezza d onda λ = h p Esperimento di Davisson-Germer (1927): si osserva effettivamente interferenza negli elettroni diffusi da un cristallo Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
15 Onde e particelle La meccanica ondulatoria De Broglie (1923): la radiazione è costituita da fotoni (particelle), ma mostra anche comportamenti ondulatori (interferenza, diffrazione) analogamente le particelle (elettroni) devono avere un aspetto ondulatorio in base alla relazione tra equazione delle onde e ottica geometrica, a una particella di impulso p si associa una lunghezza d onda λ = h p Esperimento di Davisson-Germer (1927): si osserva effettivamente interferenza negli elettroni diffusi da un cristallo Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
16 La meccanica ondulatoria L equazione di Schrödinger Sviluppando le idee di De Broglie, Schrödinger (1926) propose l equazione a cui deve soddisfare l onda associata a un elettrone di energia E soggetto ad una forza di energia potenziale V (in una dimensione). Dove: ψ(x) è la funziona d onda dell elettrone, ed è un numero complesso 2 d 2 ψ (x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x) 2m dx 2 ψ(x) 2 si interpreta come la densità di probabilità di trovare l elettrone nel punto x Permette di spiegare il modello di Bohr? Numeri complessi: z = x + iy con x, y R parte reale e immaginaria di z, e i 2 = 1 unità immaginaria z 2 = x 2 + y 2 Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
17 La meccanica ondulatoria La buca di potenziale infinita 1/3 Elettrone soggetto a un potenziale { 0 se 0 < x < L V (x) = + se x 0 o x L V costretto a muoversi nel segmento 0 < x < L (versione super-semplificata dell atomo di idrogeno, dove V = 1/r 2 ) L equazione di Schrödinger diventa { 2 2m ψ (x) = Eψ(x) ψ(0) = ψ(l) = 0 Soluzione: d 2 dx 2 sin(kx) = d dx k cos(kx) = k 2 sin(kx) k = Analogamente per ψ(x) = cos(kx) 0 2mE Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19 L x
18 La meccanica ondulatoria La buca di potenziale infinita 1/3 Elettrone soggetto a un potenziale { 0 se 0 < x < L V (x) = + se x 0 o x L V costretto a muoversi nel segmento 0 < x < L (versione super-semplificata dell atomo di idrogeno, dove V = 1/r 2 ) L equazione di Schrödinger diventa { 2 2m ψ (x) = Eψ(x) ψ(0) = ψ(l) = 0 Soluzione: d 2 dx 2 sin(kx) = d dx k cos(kx) = k 2 sin(kx) k = Analogamente per ψ(x) = cos(kx) 0 2mE Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19 L x
19 La meccanica ondulatoria La buca di potenziale infinita 1/3 Elettrone soggetto a un potenziale { 0 se 0 < x < L V (x) = + se x 0 o x L V costretto a muoversi nel segmento 0 < x < L (versione super-semplificata dell atomo di idrogeno, dove V = 1/r 2 ) L equazione di Schrödinger diventa { 2 2m ψ (x) = Eψ(x) ψ(0) = ψ(l) = 0 Soluzione: d 2 dx 2 sin(kx) = d dx k cos(kx) = k 2 sin(kx) k = Analogamente per ψ(x) = cos(kx) 0 2mE Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19 L x
20 La meccanica ondulatoria La buca di potenziale infinita 1/3 Elettrone soggetto a un potenziale { 0 se 0 < x < L V (x) = + se x 0 o x L V costretto a muoversi nel segmento 0 < x < L (versione super-semplificata dell atomo di idrogeno, dove V = 1/r 2 ) L equazione di Schrödinger diventa { 2 2m ψ (x) = Eψ(x) ψ(0) = ψ(l) = 0 Soluzione: d 2 dx 2 sin(kx) = d dx k cos(kx) = k 2 sin(kx) k = Analogamente per ψ(x) = cos(kx) 0 2mE Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19 L x
21 La meccanica ondulatoria La buca di potenziale infinita 1/3 Elettrone soggetto a un potenziale { 0 se 0 < x < L V (x) = + se x 0 o x L V costretto a muoversi nel segmento 0 < x < L (versione super-semplificata dell atomo di idrogeno, dove V = 1/r 2 ) L equazione di Schrödinger diventa { 2 2m ψ (x) = Eψ(x) ψ(0) = ψ(l) = 0 Soluzione: d 2 dx 2 sin(kx) = d dx k cos(kx) = k 2 sin(kx) k = Analogamente per ψ(x) = cos(kx) 0 2mE Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19 L x
22 La meccanica ondulatoria La buca di potenziale infinita 1/3 Elettrone soggetto a un potenziale { 0 se 0 < x < L V (x) = + se x 0 o x L V costretto a muoversi nel segmento 0 < x < L (versione super-semplificata dell atomo di idrogeno, dove V = 1/r 2 ) L equazione di Schrödinger diventa { 2 2m ψ (x) = Eψ(x) ψ(0) = ψ(l) = 0 Soluzione: d 2 dx 2 sin(kx) = d dx k cos(kx) = k 2 sin(kx) k = Analogamente per ψ(x) = cos(kx) 0 2mE Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19 L x
23 La meccanica ondulatoria La buca di potenziale infinita 1/3 Elettrone soggetto a un potenziale { 0 se 0 < x < L V (x) = + se x 0 o x L V costretto a muoversi nel segmento 0 < x < L (versione super-semplificata dell atomo di idrogeno, dove V = 1/r 2 ) L equazione di Schrödinger diventa { 2 2m ψ (x) = Eψ(x) ψ(0) = ψ(l) = 0 Soluzione: d 2 dx 2 sin(kx) = d dx k cos(kx) = k 2 sin(kx) k = Analogamente per ψ(x) = cos(kx) 0 2mE Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19 L x
24 La meccanica ondulatoria La buca di potenziale infinita 2/3 La soluzione più generale è dunque ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx), E = 2 k 2 2m ma inoltre ψ(0) = ψ(l) = 0: ψ(0) = B = 0 B = 0 ψ(l) = A sin(kl) = 0 k = nπ L, n = 1, 2, 3,... Quindi tutte le soluzioni possibili sono 2 ( nπx ) ψ n (x) = L sin, E = E n = 2 π 2 L 2mL 2 n2 Solo valori discreti dell energia sono possibili, come nell atomo di Bohr! Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
25 La meccanica ondulatoria La buca di potenziale infinita 2/3 La soluzione più generale è dunque ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx), E = 2 k 2 2m ma inoltre ψ(0) = ψ(l) = 0: ψ(0) = B = 0 B = 0 ψ(l) = A sin(kl) = 0 k = nπ L, n = 1, 2, 3,... Quindi tutte le soluzioni possibili sono 2 ( nπx ) ψ n (x) = L sin, E = E n = 2 π 2 L 2mL 2 n2 Solo valori discreti dell energia sono possibili, come nell atomo di Bohr! Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
26 La meccanica ondulatoria La buca di potenziale infinita 2/3 La soluzione più generale è dunque ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx), E = 2 k 2 2m ma inoltre ψ(0) = ψ(l) = 0: ψ(0) = B = 0 B = 0 ψ(l) = A sin(kl) = 0 k = nπ L, n = 1, 2, 3,... Quindi tutte le soluzioni possibili sono 2 ( nπx ) ψ n (x) = L sin, E = E n = 2 π 2 L 2mL 2 n2 Solo valori discreti dell energia sono possibili, come nell atomo di Bohr! Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
27 La meccanica ondulatoria La buca di potenziale infinita 2/3 La soluzione più generale è dunque ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx), E = 2 k 2 2m ma inoltre ψ(0) = ψ(l) = 0: ψ(0) = B = 0 B = 0 ψ(l) = A sin(kl) = 0 k = nπ L, n = 1, 2, 3,... Quindi tutte le soluzioni possibili sono 2 ( nπx ) ψ n (x) = L sin, E = E n = 2 π 2 L 2mL 2 n2 Solo valori discreti dell energia sono possibili, come nell atomo di Bohr! Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
28 La meccanica ondulatoria La buca di potenziale infinita 2/3 La soluzione più generale è dunque ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx), E = 2 k 2 2m ma inoltre ψ(0) = ψ(l) = 0: ψ(0) = B = 0 B = 0 ψ(l) = A sin(kl) = 0 k = nπ L, n = 1, 2, 3,... Quindi tutte le soluzioni possibili sono 2 ( nπx ) ψ n (x) = L sin, E = E n = 2 π 2 L 2mL 2 n2 Solo valori discreti dell energia sono possibili, come nell atomo di Bohr! Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
29 ,5π π La meccanica ondulatoria La buca di potenziale infinita 2/3 La soluzione più generale è dunque ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx), E = 2 k 2 2m ma inoltre ψ(0) = ψ(l) = 0: ψ(0) = B = 0 B = 0 L = π 2 2m = 1 ψ(l) = A sin(kl) = 0 k = nπ L, n = 1, 2, 3,... Quindi tutte le soluzioni possibili sono ψ n (x) = 2 ( nπx ) L sin, E = E n = 2 π 2 L 2mL 2 n2 Solo valori discreti dell energia sono possibili, come nell atomo di Bohr! Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
30 ,5π π La meccanica ondulatoria La buca di potenziale infinita 2/3 La soluzione più generale è dunque ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx), E = 2 k 2 2m ma inoltre ψ(0) = ψ(l) = 0: ψ(0) = B = 0 B = 0 L = π 2 2m = 1 ψ(l) = A sin(kl) = 0 k = nπ L, n = 1, 2, 3,... Quindi tutte le soluzioni possibili sono ψ n (x) = 2 ( nπx ) L sin, E = E n = 2 π 2 L 2mL 2 n2 Solo valori discreti dell energia sono possibili, come nell atomo di Bohr! Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
31 La meccanica ondulatoria La buca di potenziale infinita 2/3 Ogni altra funzione d onda si può scrivere come una somma infinita delle ψ n ψ(x) = + n=1 c n ψ n (x) Un elettrone con questa funzione d onda non ha un energia ben definita. L unica cosa che si può dire è che ha energia E n con probabilità c n 2. Con queste si può riottenere (approssimativamente) il moto classico di una pallina tra due muri ψ(x, t) = 1 (ψ 2 1 (x)e it + ψ 2 (x)e 4it ) se si vuole localizzare molto bene l elettrone bisogna sommare molte ψ n : 50 ψ(x, t) = c n ψ n (x)e in2 t n=1 Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
32 La meccanica ondulatoria La buca di potenziale infinita 2/3 Ogni altra funzione d onda si può scrivere come una somma infinita delle ψ n ψ(x) = + n=1 c n ψ n (x) Un elettrone con questa funzione d onda non ha un energia ben definita. L unica cosa che si può dire è che ha energia E n con probabilità c n 2. Con queste si può riottenere (approssimativamente) il moto classico di una pallina tra due muri ψ(x, t) = 1 (ψ 2 1 (x)e it + ψ 2 (x)e 4it ) se si vuole localizzare molto bene l elettrone bisogna sommare molte ψ n : 50 ψ(x, t) = c n ψ n (x)e in2 t n=1 Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
33 La meccanica ondulatoria La buca di potenziale infinita 2/3 Ogni altra funzione d onda si può scrivere come una somma infinita delle ψ n ψ(x) = + n=1 c n ψ n (x) Un elettrone con questa funzione d onda non ha un energia ben definita. L unica cosa che si può dire è che ha energia E n con probabilità c n 2. Con queste si può riottenere (approssimativamente) il moto classico di una pallina tra due muri ψ(x, t) = 1 (ψ 2 1 (x)e it + ψ 2 (x)e 4it ) se si vuole localizzare molto bene l elettrone bisogna sommare molte ψ n : 50 ψ(x, t) = c n ψ n (x)e in2 t n=1 Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
34 La meccanica ondulatoria La buca di potenziale infinita 2/3 Ogni altra funzione d onda si può scrivere come una somma infinita delle ψ n ψ(x) = + n=1 c n ψ n (x) Un elettrone con questa funzione d onda non ha un energia ben definita. L unica cosa che si può dire è che ha energia E n con probabilità c n 2. Con queste si può riottenere (approssimativamente) il moto classico di una pallina tra due muri ψ(x, t) = 1 (ψ 2 1 (x)e it + ψ 2 (x)e 4it ) se si vuole localizzare molto bene l elettrone bisogna sommare molte ψ n : 50 ψ(x, t) = c n ψ n (x)e in2 t n=1 Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
35 La struttura matematica della meccanica quantistica Spazio di Hilbert e operatori ψ 3 L insieme di tutte le funzioni d onda è uno spazio a infinite dimensioni (una per ogni ψ n ), detto lo spazio di Hilbert Confrontando l equazione di Schrödinger 2 d 2 ψ (x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x) 2m dx 2 con l espressione dell energia classica ψ 1 ψ 2 E = 1 2 mv 2 + V (x) = p2 2m + V (x) si vede che la posizione x si identifica con l operatore ψ(x) xψ(x) l impulso p si identifica con l operatore ψ(x) i dψ dx (x) Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
36 La struttura matematica della meccanica quantistica Spazio di Hilbert e operatori ψ 3 L insieme di tutte le funzioni d onda è uno spazio a infinite dimensioni (una per ogni ψ n ), detto lo spazio di Hilbert Confrontando l equazione di Schrödinger 2 d 2 ψ (x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x) 2m dx 2 con l espressione dell energia classica ψ 1 ψ 2 E = 1 2 mv 2 + V (x) = p2 2m + V (x) si vede che la posizione x si identifica con l operatore ψ(x) xψ(x) l impulso p si identifica con l operatore ψ(x) i dψ dx (x) Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
37 La struttura matematica della meccanica quantistica Spazio di Hilbert e operatori ψ 3 L insieme di tutte le funzioni d onda è uno spazio a infinite dimensioni (una per ogni ψ n ), detto lo spazio di Hilbert Confrontando l equazione di Schrödinger 2 d 2 ψ (x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x) 2m dx 2 con l espressione dell energia classica ψ 1 ψ 2 E = 1 2 mv 2 + V (x) = p2 2m + V (x) si vede che la posizione x si identifica con l operatore ψ(x) xψ(x) l impulso p si identifica con l operatore ψ(x) i dψ dx (x) Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
38 La struttura matematica della meccanica quantistica Spazio di Hilbert e operatori ψ 3 L insieme di tutte le funzioni d onda è uno spazio a infinite dimensioni (una per ogni ψ n ), detto lo spazio di Hilbert Confrontando l equazione di Schrödinger 2 d 2 ψ (x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x) 2m dx 2 con l espressione dell energia classica ψ 1 ψ 2 E = 1 2 mv 2 + V (x) = p2 2m + V (x) si vede che la posizione x si identifica con l operatore ψ(x) xψ(x) l impulso p si identifica con l operatore ψ(x) i dψ dx (x) Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
39 La struttura matematica della meccanica quantistica Relazioni di commutazione In meccanica classica x e p commutano (sono numeri): xp px = 0 In meccanica quantistica non è più vero: xpψ(x) pxψ(x) = i d dx (xψ(x)) = i ψ(x) i xψ (x) Relazioni di commutazione canoniche xp px = i Ottenute da Heisenberg, Born, Jordan (1925) attraverso una riformulazione astratta delle condizioni di quantizzazione di Bohr solo in termini di grandezze osservabili Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
40 La struttura matematica della meccanica quantistica Relazioni di commutazione In meccanica classica x e p commutano (sono numeri): xp px = 0 In meccanica quantistica non è più vero: xpψ(x) pxψ(x) = i d dx (xψ(x)) = i ψ(x) i xψ (x) Relazioni di commutazione canoniche xp px = i Ottenute da Heisenberg, Born, Jordan (1925) attraverso una riformulazione astratta delle condizioni di quantizzazione di Bohr solo in termini di grandezze osservabili Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
41 La struttura matematica della meccanica quantistica Relazioni di commutazione In meccanica classica x e p commutano (sono numeri): xp px = 0 In meccanica quantistica non è più vero: xpψ(x) = i ψ (x) pxψ(x) = i d dx (xψ(x)) = i ψ(x) i xψ (x) Relazioni di commutazione canoniche xp px = i Ottenute da Heisenberg, Born, Jordan (1925) attraverso una riformulazione astratta delle condizioni di quantizzazione di Bohr solo in termini di grandezze osservabili Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
42 La struttura matematica della meccanica quantistica Relazioni di commutazione In meccanica classica x e p commutano (sono numeri): xp px = 0 In meccanica quantistica non è più vero: xpψ(x) = i xψ (x) pxψ(x) = i d dx (xψ(x)) = i ψ(x) i xψ (x) Relazioni di commutazione canoniche xp px = i Ottenute da Heisenberg, Born, Jordan (1925) attraverso una riformulazione astratta delle condizioni di quantizzazione di Bohr solo in termini di grandezze osservabili Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
43 La struttura matematica della meccanica quantistica Relazioni di commutazione In meccanica classica x e p commutano (sono numeri): xp px = 0 In meccanica quantistica non è più vero: xpψ(x) = i xψ (x) pxψ(x) = i d dx (xψ(x)) = i ψ(x) i xψ (x) Relazioni di commutazione canoniche xp px = i Ottenute da Heisenberg, Born, Jordan (1925) attraverso una riformulazione astratta delle condizioni di quantizzazione di Bohr solo in termini di grandezze osservabili Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
44 La struttura matematica della meccanica quantistica Relazioni di commutazione In meccanica classica x e p commutano (sono numeri): xp px = 0 In meccanica quantistica non è più vero: xpψ(x) = i xψ (x) pxψ(x) = i d dx (xψ(x)) = i ψ(x) i xψ (x) Relazioni di commutazione canoniche xp px = i Ottenute da Heisenberg, Born, Jordan (1925) attraverso una riformulazione astratta delle condizioni di quantizzazione di Bohr solo in termini di grandezze osservabili Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
45 La struttura matematica della meccanica quantistica Relazioni di commutazione In meccanica classica x e p commutano (sono numeri): xp px = 0 In meccanica quantistica non è più vero: xpψ(x) = i xψ (x) pxψ(x) = i d dx (xψ(x)) = i ψ(x) i xψ (x) Relazioni di commutazione canoniche xp px = i Ottenute da Heisenberg, Born, Jordan (1925) attraverso una riformulazione astratta delle condizioni di quantizzazione di Bohr solo in termini di grandezze osservabili Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
46 La struttura matematica della meccanica quantistica Relazioni di commutazione In meccanica classica x e p commutano (sono numeri): xp px = 0 In meccanica quantistica non è più vero: xpψ(x) = i xψ (x) pxψ(x) = i d dx (xψ(x)) = i ψ(x) i xψ (x) Relazioni di commutazione canoniche xp px = i Ottenute da Heisenberg, Born, Jordan (1925) attraverso una riformulazione astratta delle condizioni di quantizzazione di Bohr solo in termini di grandezze osservabili Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
47 La struttura matematica della meccanica quantistica Relazioni di commutazione In meccanica classica x e p commutano (sono numeri): xp px = 0 In meccanica quantistica non è più vero: xpψ(x) = i xψ (x) pxψ(x) = i d dx (xψ(x)) = i ψ(x) i xψ (x) Relazioni di commutazione canoniche xp px = i Ottenute da Heisenberg, Born, Jordan (1925) attraverso una riformulazione astratta delle condizioni di quantizzazione di Bohr solo in termini di grandezze osservabili Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
48 La struttura matematica della meccanica quantistica Relazioni di indeterminazione Le relazioni di commutazione xp px = i implicano le Relazioni di indeterminazione di Heisenberg (1927) Se si misurano simultaneamente posizione x e impulso p di un elettrone, l inevitabile interazione con l apparato di misura introduce perturbazioni imprevedibili x e p nei valori di x e p che devono soddisfare x p ottenute da Heisenberg tramite esperimenti concettuali indicano una impredicibilità intrinseca (inerente a ogni modalità di misura) nel mondo quantistico poiché è molto piccolo è rilevante solo a livello microscopico: per un proiettile (p 1.5 kg m s 1 ) se p/p = 10 3 allora x mm (raggio atomi 10 7 mm) Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
49 La struttura matematica della meccanica quantistica Relazioni di indeterminazione Le relazioni di commutazione xp px = i implicano le Relazioni di indeterminazione di Heisenberg (1927) Se si misurano simultaneamente posizione x e impulso p di un elettrone, l inevitabile interazione con l apparato di misura introduce perturbazioni imprevedibili x e p nei valori di x e p che devono soddisfare x p ottenute da Heisenberg tramite esperimenti concettuali indicano una impredicibilità intrinseca (inerente a ogni modalità di misura) nel mondo quantistico poiché è molto piccolo è rilevante solo a livello microscopico: per un proiettile (p 1.5 kg m s 1 ) se p/p = 10 3 allora x mm (raggio atomi 10 7 mm) Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
50 La struttura matematica della meccanica quantistica Grandezze compatibili Più in generale, ogni grandezza misurabile A (posizione, impulso, energia, momento angolare...) è rappresentata da un operatore (autoaggiunto) sullo spazio di Hilbert Teorema Grandezze fisiche A e B commutano, cioè AB = BA, se e solo se sono simultaneamente misurabili, cioè si può avere A B = 0 L esistenza di grandezze non commutanti è la spiegazione matematica fondamentale della possibilità di fare solo previsioni probabilistiche sui valori delle grandezze misurabili (von Neumann, 1933) Essenza del formalismo matematico della meccanica quantistica La meccanica quantistica si ottiene da quella classica sostituendo a grandezze osservabili commutative (numeri) grandezze osservabili non commutative (operatori) Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
51 La struttura matematica della meccanica quantistica Grandezze compatibili Più in generale, ogni grandezza misurabile A (posizione, impulso, energia, momento angolare...) è rappresentata da un operatore (autoaggiunto) sullo spazio di Hilbert Teorema Grandezze fisiche A e B commutano, cioè AB = BA, se e solo se sono simultaneamente misurabili, cioè si può avere A B = 0 L esistenza di grandezze non commutanti è la spiegazione matematica fondamentale della possibilità di fare solo previsioni probabilistiche sui valori delle grandezze misurabili (von Neumann, 1933) Essenza del formalismo matematico della meccanica quantistica La meccanica quantistica si ottiene da quella classica sostituendo a grandezze osservabili commutative (numeri) grandezze osservabili non commutative (operatori) Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
52 La struttura matematica della meccanica quantistica Grandezze compatibili Più in generale, ogni grandezza misurabile A (posizione, impulso, energia, momento angolare...) è rappresentata da un operatore (autoaggiunto) sullo spazio di Hilbert Teorema Grandezze fisiche A e B commutano, cioè AB = BA, se e solo se sono simultaneamente misurabili, cioè si può avere A B = 0 L esistenza di grandezze non commutanti è la spiegazione matematica fondamentale della possibilità di fare solo previsioni probabilistiche sui valori delle grandezze misurabili (von Neumann, 1933) Essenza del formalismo matematico della meccanica quantistica La meccanica quantistica si ottiene da quella classica sostituendo a grandezze osservabili commutative (numeri) grandezze osservabili non commutative (operatori) Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
53 Sviluppi moderni Sviluppi moderni e prospettive Oggi la meccanica quantistica permette di spiegare e comprendere un grande numero di fenomeni, anche importanti nella vita di ogni giorno: il laser è descritto da molti fotoni con la stessa funzione d onda (coerenti) i semiconduttori con cui si costruiscono i circuiti integrati dei computer i superconduttori, materiali con resistenza elettrica nulla a bassissime temperature, descritti da (coppie di) elettroni coerenti la fissione e la fusione nucleare, con cui si produce energia nelle centrali nucleari e nelle stelle Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
54 Sviluppi moderni e prospettive La teoria quantistica dei campi Il campo elettromagnetico è una grandezza misurabile, quindi deve essere rappresentata da un operatore quantistico. Questa osservazione ha condotto Dirac, Fermi, Wigner... (anni 30) a formulare la teoria quantistica dei campi: fonde meccanica quantistica e teoria della relatività ristretta di Einstein (1905) si è dimostrata in grado di dare una descrizione unificata di tre delle quattro forze fondamentali della natura (elettromagnetica, nucleare debole e nucleare forte) è la teoria fisica verificata con maggiore precisione dagli esperimenti di fisica delle particelle (ex.: LHC, bosone di Higgs) Tuttavia non se ne conosce una formulazione matematicamente rigorosa: i calcoli si fanno usando una procedura poco chiara di rimozione di infiniti (rinormalizzazione). È stato messo in palio un premio di un milione di dollari per chi riuscirà a ottenerla Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
55 Sviluppi moderni e prospettive La teoria quantistica dei campi Il campo elettromagnetico è una grandezza misurabile, quindi deve essere rappresentata da un operatore quantistico. Questa osservazione ha condotto Dirac, Fermi, Wigner... (anni 30) a formulare la teoria quantistica dei campi: fonde meccanica quantistica e teoria della relatività ristretta di Einstein (1905) si è dimostrata in grado di dare una descrizione unificata di tre delle quattro forze fondamentali della natura (elettromagnetica, nucleare debole e nucleare forte) è la teoria fisica verificata con maggiore precisione dagli esperimenti di fisica delle particelle (ex.: LHC, bosone di Higgs) Tuttavia non se ne conosce una formulazione matematicamente rigorosa: i calcoli si fanno usando una procedura poco chiara di rimozione di infiniti (rinormalizzazione). È stato messo in palio un premio di un milione di dollari per chi riuscirà a ottenerla Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
56 Gravità quantistica? Sviluppi moderni e prospettive La quarta forza fondamentale è la gravità, descritta alla scala cosmologica dalla teoria della relatività generale di Einstein (1917). Permette di spiegare e prevedere fenomeni come i buchi neri, il Big Bang, la formazione delle galassie, l espansione dell universo Non esiste a tutt oggi una teoria quantistica della gravitazione (nemmeno non rigorosa). molti si aspettano che sia rilevante per descrivere l origine dell universo, quando la gravità era di intensità comparabile con le altre forze esistono diverse proposte in competizione tra loro: teoria delle stringhe, gravità quantistica a loop, spaziotempo quantistico concordano sul fatto che anche lo spaziotempo sia quantizzato alla scala λ P = G/c 3 = mm (lunghezza di Planck) problema principale: nessuna verifica sperimentale, le energie in gioco sono irraggiungibili dagli acceleratori Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
57 Gravità quantistica? Sviluppi moderni e prospettive La quarta forza fondamentale è la gravità, descritta alla scala cosmologica dalla teoria della relatività generale di Einstein (1917). Permette di spiegare e prevedere fenomeni come i buchi neri, il Big Bang, la formazione delle galassie, l espansione dell universo Non esiste a tutt oggi una teoria quantistica della gravitazione (nemmeno non rigorosa). molti si aspettano che sia rilevante per descrivere l origine dell universo, quando la gravità era di intensità comparabile con le altre forze esistono diverse proposte in competizione tra loro: teoria delle stringhe, gravità quantistica a loop, spaziotempo quantistico concordano sul fatto che anche lo spaziotempo sia quantizzato alla scala λ P = G/c 3 = mm (lunghezza di Planck) problema principale: nessuna verifica sperimentale, le energie in gioco sono irraggiungibili dagli acceleratori Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
58 Di nuovo all inizio Sviluppi moderni e prospettive Immagine del fondo cosmico di microonde radiazione fossile che permea l universo originatasi anni dopo il Big Bang. È una radiazione di corpo nero a T = 2, 725 K. Tutto l universo è un sistema quantistico Dall analisi di questa radiazione si deduce che l energia e la materia osservabili sono solo il 4% del totale! C è molto lavoro per voi! Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
59 Di nuovo all inizio Sviluppi moderni e prospettive Immagine del fondo cosmico di microonde radiazione fossile che permea l universo originatasi anni dopo il Big Bang. È una radiazione di corpo nero a T = 2, 725 K. Tutto l universo è un sistema quantistico Dall analisi di questa radiazione si deduce che l energia e la materia osservabili sono solo il 4% del totale! C è molto lavoro per voi! Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
60 Di nuovo all inizio Sviluppi moderni e prospettive Immagine del fondo cosmico di microonde radiazione fossile che permea l universo originatasi anni dopo il Big Bang. È una radiazione di corpo nero a T = 2, 725 K. Tutto l universo è un sistema quantistico Dall analisi di questa radiazione si deduce che l energia e la materia osservabili sono solo il 4% del totale! C è molto lavoro per voi! Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
61 Di nuovo all inizio Sviluppi moderni e prospettive Immagine del fondo cosmico di microonde radiazione fossile che permea l universo originatasi anni dopo il Big Bang. È una radiazione di corpo nero a T = 2, 725 K. Tutto l universo è un sistema quantistico Dall analisi di questa radiazione si deduce che l energia e la materia osservabili sono solo il 4% del totale! C è molto lavoro per voi! Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta / 19
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