Teoria dello scattering

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Roberta Giusti
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1 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Prof. A. Andreazza Lezione 7 Teoria dello scattering

2 Teoria dello scattering Abbiamo già usato la regola d oro di Fermi per calcolare delle sezioni d urto: L interazione nell elemento di matrice f V i vista come piccola perturbazione sugli stati di particella libera i ed f. Oggi tratteremo un approccio formalmente esatto che permette di mettere in evidenza alcune proprietà generali dei processi di scattering: quali stati di momento angolare contribuiscono alla diffusione limiti alle sezioni d urto processi di risonanza Il processo logico che seguiremo sarà il seguente: Per stati non legati esistono infinite autofunzioni con energia E Una qualunque combinazione lineare di queste è autofunzione di E Possiamo sceglierne una combinazione che abbia la forma di un onda piana incidente ed un onda diffusa L ampiezza dell onda diffusa sarà la sezione d urto A. Andreazza - a.a. 015/16

3 Autostati di particella libera Coordinate cartesiane Coordinate sferiche! m x + y + ψ(r) = Eψ(r)! z m r u(r)+! l(l +1) u(r) = Eu(r) mr Autofunzioni di H e di p ψ ( r) = Ae ik r k = p /! k = me /! ψ r ( ) = u n,l (r) Autofunzioni di H e L, L z r Y l,m (θ,ϕ) ψ ( r) = j l (kr)y l,m (θ,ϕ) Funzioni di Bessel sferiche j 0 (kr) = sinkr kr j 1 (kr) = sinkr (kr) coskr kr j (kr) = 3sinkr (kr) 3 3coskr (kr) sinkr kr j l (kr) sin(kr lπ / ) kr per kr 3 A. Andreazza - a.a. 015/16

4 Autostati di particella libera Possiamo esprimere la funzione d onda di una base, in termini di dell altra: ψ inc Onda piana incidente ( r) = Ae ikz = A i l (l +1) j l (kr)p l (cosθ) Questa costruzione prende il nome di sviluppo in onde parziali Si noti che, avendo scelto k diretto lungo l asse z, in questo sviluppo ci sono solo componenti con L z =0 mancano i termini exp(imφ) A grande distanza (kr ) dalla regione di interazione: ψ inc ( r) A i l (l +1) ei(kr lπ /) e i(kr lπ /) ikr sin(kr + lπ / ) kr P l (cosθ) = A kr i l+1 (l +1) e i(kr lπ /) e Onda sferica entrante i(kr lπ /) Onda sferica uscente P (cosθ) l 4 A. Andreazza - a.a. 015/16

5 Autostati in presenza di potenziale Indipendentemente dai dettagli del potenziale, per r, l equazione radiale si riduce alla forma:! m r u(r)+v(r)u(r)+! l(l +1) u(r) = Eu(r)! mr m che ha soluzioni del tipo: u(r) = Csinkr + Dcoskr che possiamo scrivere in forma generica u(r) = Eu(r) r u(r) = Bsin(kr lπ / +δ l ) C = Bcosδ l, D = Bsinδ l 5 valori di B e δ l determinati dalla continuità con la soluzione esatta dipendente dal potenziale l effetto del potenziale è introdurre uno sfasamento es.: il puro potenziale centrifugo genera δ l =lπ/ un autofunzione rilevante avrà l espressione (per r ) ψ = A i l+1 (l +1) e i(kr lπ /+δ l ) e i(kr lπ /+δ l ) kr P l(cosθ) A. Andreazza - a.a. 015/16

6 Onda incidente e onda diffusa Scegliamo una combinazione lineare leggermente diversa, moltiplicando ogni funzione per il exp(iδl): A l+1 ψ= i (l +1) e i(kr lπ /) ei(kr lπ /+δl ) Pl (cosθ ) kr Possiamo in tal modo riscrivere la soluzione esatta a grandi distanze dalla regione di interazione: A l+1 ψ= i (l +1) e i(kr lπ /) ei(kr lπ /) + ei(kr lπ /) ei(kr lπ /+δl ) Pl (cosθ ) kr A l+1 = i (l +1) e i(kr lπ /) ei(kr lπ /) Pl (cosθ ) kr A l+1 + i (l +1)ei(kr lπ /) 1 e iδl Pl (cosθ ) kr -il Onda piana incidente 6 Aeikr iδl ψ = ψ inc + i(l +1) 1 e Pl (cosθ ) kr Onda sferica diffusa. A. Andreazza - a.a. 015/16

7 Sezione d urto differenziale Aeikr ψ = ψ inc + i(l +1) 1 e iδl Pl (cosθ ) kr Funzione d onda sovrapposizione: dell onda piana incidente, ψinc di un onda sferica uscente dal centro di diffusione ψsc Descrive un processo di scattering: la sezione d urto dipende dalla probabilità di trovare asintoticamente la particella nel cono dω: φ (ψ sc )(r dω) dσ = φ (ψ inc ) = ψ sc (!k / m)(r dω) ψ inc (!k / m) 1 = 4k dσ 1 = dω 4k 7 i(l +1) 1 e iδl Pl (cosθ ) dω i(l +1) 1 e iδl Pl (cosθ ) A. Andreazza - a.a. 015/16

8 Sezione d urto totale Per calcolare la sezione d urto totale dobbiamo integrare su tutto l angolo solido: σ = 1 4k = 1 4k dω i(l 1 +1) 1 e iδ l1 P l 1 (cosθ) l 1 =0 (l 1 +1)(l +1) 1 e iδl1 1 eiδ l l 1 =0 l =0 usando la normalizzazione per i polinomi di Legendre * l =0 dωp l1 (cosθ) P l (cosθ) = 4π l 1 +1 δ l 1,l σ = π k (l +1) 1 e iδ l i(l +1) 1 e iδ l dωp l1 (cosθ) P l (cosθ) σ = 4π k P l (cosθ) (l +1)sin δ l La sezione d urto risulta scomposta in sezioni d urto parziali. Ogni sezione d urto parziale è limitata: σ 4π (l +1) k 8 A. Andreazza - a.a. 015/16

9 Parametro di impatto Sembrerebbe che il calcolo delle sezioni d urto richieda una sommatoria infinita. In realtà alla sezione d urto reale contribuiscono solo un numero limitato di onde parziali. Una particella con momento p=ħk e momento angolare L =l(l+1)ħ, passera tipicamente ad una distanza b. Se il potenziale si estende fino ad un raggio R, influenza gli stati di momento angolare fino a: lħ=pr l=kr Il numero di onde parziali da considerare aumenta con l energia La sezione d urto massima è: σ 4π kr (l +1) k n = 4π (kr +1) = k (l +1) = (n +1) 4π R + 1 k p = 4π ( R + λ) b Lunghezza d onda Compton 9 A. Andreazza - a.a. 015/16

10 Buca di potenziale Per fissare le idee torniamo alla buca di potenziale: in onda s, le soluzioni ad energia positiva sono u( r ) = V ( r ) = V 0 r < R 0 r > R Asink 1 r k 1 = m(e + V 0 ) /! r < R Bsin(k r + δ 0 ) k = me /! r > R e le condizioni di continuità danno: Asink 1 R = Bsin(k R + δ 0 ) Ak 1 cosk 1 R = Bk cos(k R + δ 0 ) e dal rapporto, otteniamo l equazione per lo sfasamento δ 0 : k 1 cot k 1 R = k cot(k R + δ 0 ) E -V 0 R r 10 A. Andreazza - a.a. 015/16

11 Buca di potenziale Indicando per comodità: k 1 cot k 1 R = α k = k con un po di trigonometria si ottiene: cotδ 0 = sin δ 0 = ksin kr + α coskr k coskr α sin kr 1 1+ cot δ 0 = Da cui la sezione d urto: [ coskr (α / k)sinkr ] 1+ α / k E R r ovvero anche al limite k 0, -δ 0 /k: 11 σ = 4π sin δ 0 k [ coskr (α / k)sinkr ] = 4π k + α coskr (α / k)sin kr La lunghezza di scattering: a = α corrisponde al limite k 0, σ=4πa scelta convenzionale -V 0 Bsin(kr + δ 0 ) = Bsink(r a) zero della funzione d onda A. Andreazza - a.a. 015/16

12 Core repulsivo in interazioni tra nucleoni 1 A. Andreazza - a.a. 015/16

13 Risonanze La sezione d urto è massima per sfasamento δl=π/ Sviluppando cotδl cot δl (E) = cot δl (E R ) + (E E R ) e definendo cot δl +... E Si ottiene la sezione d urto risonante: π Γ σ = (l + 1) k Γ / 4 + (E E R ) cot δl 1 Γ= E in prossimità di tale valore dello sfasamento: E ER Γ/ 1 1 sin δl = = 1 + cot δl (E E R ) 1+ Γ / 4 cot δl (E) = Γ / 4 = Γ / 4 + (E E R ) 13 A. Andreazza - a.a. 015/16

14 Sezione d urto e + e ρ ω φ ρ J/ψ ψ(s) Υ Z σ[mb] J/ψ ψ(s) Υ s [GeV] A. Andreazza - a.a. 015/16 Z

15 Generalizzazione a scattering anelastico Nel caso ci sia la possibilità di assorbimento o cambiamento di natura delle particelle, ψ sc diventa: con ψ = ψ inc + Aeikr kr η l 1 Oltre alla sezione d urto elastica σ el = π k Sezione d urto anelastica: e totale: i(l +1) [ 1 η l ]P l (cosθ) (l +1) [ 1 η l ] σ an = π (l +1) 1 η k l σ an = π k (l +1) [ 1 Rη l ] Γ è la larghezza di decadimento totale della risonanza. Se ci sono diversi canali di decadimento, si introducono le larghezze parziali per I vari canali: Γ= Γ i canali La risonanza è prodotta con spin I da particelle con spin s 1 ed s, il fattore l+1 va modificato: Stato iniziale Stato finale σ = π I +1 Γ in Γ out k (s 1 +1)(s +1) Γ / 4 + (E E R ) 15 A. Andreazza - a.a. 015/16

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