La barriera di potenziale: effetto tunnel

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1 La barriera di potenziale: effetto tunnel 1 Barriera di potenziale: caso classico V v V v 0 per a Enrico > x > a Silva - proprietà intellettuale v non ceduta V(x) = 0 Non per x è permessa, > a in particolare, la riproduzione anche parziale -v Per l autorizzazione a riprodurre in parte o in a tutto la 0presente a opera è richiesto il permesso Classicamente: scritto dell autore (E. Silva) x momento p qualunque (può avere qualunque velocità) posizione x energia totale pari a E = p 2 /2m. se E > V 0, la particella supera la barriera. Se E <V 0, la particella rimbalza indietro. 2

2 Barriera di potenziale: caso classico Se E > V 0, la particella supera la barriera; Enrico Silva V- 0 proprietà Se E intellettuale < V non ceduta Non è permessa, in particolare, la riproduzione 0 la particella rimbalza indietro. anche parziale V 0 Se E > V 0, la particella supera la barriera: stato di diffusione (nel caso particolare, va a - ); Se E < V 0 la particella resta nella buca: stato legato. Figure da Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics 3 ψ(x) = 0, x < a Non è proibito trovare la particella nella barriera (zona classicamente proibita) Barriera: la fdo V(x) = 0 per x > a Autofunzioni: risolvere (separatamente nelle varie regioni) l equazione di Schrödinger non dipendente dal tempo: con le seguenti condizioni per le soluzioni: 1 deve essere continua nei punti di discontinuità dell energia potenziale; se non lo fosse, in quei punti la densità di probabilità sarebbe indeterminata. 2 d /dx deve essere continua nei punti di discontinuità dell energia potenziale; se non lo fosse, avrei delle divergenze nell eq. di Schr., nel termine: 4

3 V(x) = 0 per x > a Stati di riflessione classica Enrico Silva - proprietà E < V 0 intellettuale non ceduta x < a della presente x < a opera. x > a dove k, sono reali (verificare). Attenzione: E < V 0 5 Regione classicamente proibita: a < x < a V(x) = 0 per x > a E < V 0 x < Enrico a Silva - proprietà intellettuale non ceduta Per l autorizzazione a riprodurre Soluzione in generale parte o dentro in tutto la barriera la presente (verificate): N.B.: Queste soluzioni, sebbene date da esponenziali reali, non sono proibite perché definite solo per x < a. La fdo complessiva è quindi ancora normalizzabile. 6

4 Regione di propagazione: x > a V(x) = 0 per x > a E < V 0 x > a Soluzione generale (verificate): Per l autorizzazione a x riprodurre < a in parte o in tutto la presente x > a avendo supposto che, nella regione più a destra, non vi sia una particella proveniente da +. Nota: come per la particella libera, non sono soluzioni normalizzabili. Per aggirare il problema, si considerano le probabilità relative di trasmissione e riflessione: R = B 2 A 2 = 1 T 7 Calcolo della fdo (schema) V(x) = 0 per x > a E < V 0 x < Non aè permessa, in particolare, la x riproduzione < a anche parziale x > a dψ(x) dx = ikaeikx ikx dψ(x) ikbe dx = κceκx κde κx dψ(x) dx = ikfeikx avendo supposto che, nella regione più a destra, non vi sia una particella proveniente da +. imponendo la continuità della fdo e della derivata in a e a, ottengo A, B, C, D, F come funzioni di k, e a. 8

5 Trasmissione e riflessione V(x) = 0 per x > a E < V 0 Una particella incidente sulla della barriera presente (da sinistra) opera. con E < V0 può essere riflessa (e questo è il solo possibile risultato classico), ma può anche essere trasmessa. Usando: si noti: 1- per energie E ~ > V 0 si hanno picchi intensi in corrispondenza della barriera 2- la riflessione parziale sulla barriera dà luogo a onde stazionarie per x < a (si faccia caso alla densità di probabilità a sinistra e a destra della barriera, non alla funzione d onda) 9 Trasmissione e riflessione V(x) = 0 per x > a E < V 0 Una particella incidente sulla della barriera presente (da sinistra) opera. con E < V0 può essere riflessa (e questo è il solo possibile risultato classico), ma può anche essere trasmessa. Ricordando: opera è richiesto il permesso scritto dell autore x < a(e. Silva) x > a con le espressioni esplicite di A, B, F si può calcolare il coefficiente di trasmissione: e il coefficiente di riflessione: 10

6 Trasmissione e riflessione E < V 0 Si ottiene: per barriera sufficientemente spessa, ovvero a >1: con e nello stesso limite: La trasmissione è una funzione (circa) esponenziale dello spessore della barriera 11 Simulazioni: Riflessione e trasmissione di un pacchetto d onde da una barriera: Sez (Höhe: altezza; Wellenlänge: lunghezza d onda; Schärfe: acutezza; Breite: larghezza) Non Si è noti permessa, l interferenza particolare, fra pacchetto la riproduzione incidente anche e riflesso, parziale a della sinistra presente della barriera. opera. Riflessione e trasmissione per una situazione stazionaria (flusso continuo di particelle provenienti da sinistra): 12

7 Differenze dal caso classico Se E > V 0, la particella ha probabilità finita Enrico Silva V- 0 proprietà intellettuale di essere riflessa non ceduta dalla barriera; Non è permessa, in particolare, Se E la < Vriproduzione anche parziale 0 la particella ha probabilità finita Per l autorizzazione a riprodurre di proseguire in parte o in nella tutto direzione la presente delle x opera è richiesto il permesso scritto dell autore positive. (E. Silva) V 0 Se E < V 0 la particella ha probabilità finita di proseguire nella direzione delle x positive: non è uno stato legato. Figure da Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics 13 Il microscopio a scansione a effetto tunnel 14

8 STM: Scanning Tunneling Microscope Inventato nel 1981 da Binnig e Rohrer (IBM Zurigo), Nobel 1986 figura da: campione Il principio: una Enrico punta Silva metallica - proprietà scandisce intellettuale una non ceduta superficie, Non in estrema è permessa, prossimità in particolare, di essa. Fra la riproduzione la punta anche parziale e la superficie esiste una differenza della presente di potenziale. opera. punta Richiamo: fra Per la punta l autorizzazione e il materiale sotto a studio riprodurre esiste quindi in parte una o in tutto la presente opera è richiesto il permesso scritto dell autore elettroni (E. che Silva) barriera di potenziale (tipicamente, il vuoto), per cui il coefficiente di trasmissione è: tunnelano Per effetto tunnel elettroni possono fluire fra i due oggetti, dando luogo a una corrente molto sensibile alla distanza fra punta e superficie. La punta è molto acuta (dimensioni ~1 atomo). L effetto tunnel è a raggio molto breve (dipendenza esponenziale con lo spessore della barriera), per cui la corrente di tunnel è molto sensibile alla distanza fra punta e campione. È possibile quindi determinare la morfologia della superficie con estrema accuratezza. 15 STM gif animata da: Un gioco (simulatore di STM): Sez

9 STM imaging Immagine della superficie (100) di oro. Lo stress superficiale (meccanico e chimico) induce Il microscopio tunnel può ottenere immagini la cosiddetta ricostruzione, sulla scala Enrico di 2 Å Silva - proprietà ovvero una intellettuale disposizione non ceduta Non è permessa, in particolare, atomica differente la riproduzione da quella (scala atomica). anche parziale all interno del campione. (immagine da wikipedia) Atomi di S su superficie di Cu, e corrispondenti onde stazionarie degli elettroni. (immagine Stanford University) La scansione è fortemente influenzata, oltre che dalla distanza punta-campione, anche dalla densità elettronica del campione. È possibile quindi ottenere delle immagini delle onde superficiali di carica (densità di probabilità): vedi quantum corrals. Ciò è possibile quando si tratta di onde stazionarie. 17