Elettronica dello Stato Solido Lezione 7: Particelle confinate. Daniele Ielmini DEI Politecnico di Milano

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1 Elettronica dello Stato Solido Lezione 7: Particelle confinate Daniele Ielmini DEI Politecnico di Milano

2 Outline Buca a pareti infinite Buca a pareti finite Oscillatore armonico Buche accoppiate Stati non stazionari Conclusioni D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07

3 Equazione di Schrödinger Tempo dipendente: ħ Ψ( x, t) + V 0 Ψ (, ) = x t iħ m x t Tempoindipendente: ħ d ψ ( x) + V0 ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) m dx Ψ (, ) = ( ) ( ) = ( ) ( 0) i ħ x t ψ x ϕ t ψ x ϕ e E t D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 3

4 La particella nel box La particella è confinata in una buca a potenziale piatto e non può uscirne (potenziale infinito fuori della buca) Dall equazione, se V 0 = allora dev essere ψ(x)=0 V= V=const V= -a/ +a/ D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 4

5 Soluzione L energia potenziale è definita a meno di una costante possiamo arbitrariamente definire V=0 nella buca. Quindi l equazione tempoindipendente di Schrödinger è: ħ ( x ) = E ( x ) m x ψ ψ Mi dice che l energia cinetica è uguale a quella totale (come per la particella libera). La soluzione è: ikx ikx ψ( x) = A' e + B' e k = me ħ D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 5

6 Onda stazionaria Abbiamo già notato in casi simili che se la particella non può oltrepassare una barriera, allora appare come un onda stazionaria (potenziale a gradino con E<V 0 ) La soluzione deve essere stazionaria: ψ( x) = Asinkx + Bcoskx k = me ħ (i nodi di sin e cos sono fermi, non viaggianti) D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 6

7 Condizioni al contorno Annullamento agli estremi della buca a a Asink + Bcosk = 0 a a Asink + Bcos k = 0 V= V=0 V= a Asink = 0 a Bcos k = 0 -a/ +a/ D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 7

8 Condizione sulla derivata? ħ d ψ ( x) + V 0( x) ψ ( x) = Eψ ( x) m dx La derivata seconda può essere infinita in presenza di potenziale infinito La derivata prima è necessariamente discontinua in presenza di potenziale infinito D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 8

9 Soluzioni pari e dispari sin e cos si annullano in punti diversi A e B non possono essere entrambi nulli SOLUZIONI PARI: A=0 e ka/=(1/+n p )π, quindi: ( x ) = B cos kx ψ π λ k = n + a = n + a ( 1) ( 1) p p SOLUZIONI DISPARI: B=0 e ka/=n d π, quindi ψ( x) = Asinkx π k = nd a = nd λ a D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 9

10 Autovalori I valori discreti ammessi per k danno luogo ad autovalori discreti: ( 1) π π π π k = n p + =, 3, 5... a a a a π π 4 π 6 π k = nd =,,... a a a a n = numero quantico π kn = n a ħ kn ħ π h En = = n = n m ma 8ma Risultato generale: particelle confinate sono caratterizzate da set discreto di autovalori D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 10

11 Esempio Buca di larghezza a = 4 nm Set di autovalori discreti: 1. E 1 = 0.04 ev. E = ev 3. E 3 = 0.1 ev 4. E 4 = ev 5. n = dispari ψ(x)=a n cosk n x n = pari ψ(x)=b n sink n x 6,00E-01 5,00E-01 4,00E-01 3,00E-01,00E-01 1,00E-01 0,00E+00-0 x [nm] D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 11

12 Normalizzazione, energia di punto zero Integrando, per ogni n: a/ a/ ψ( x) dx = B cos kxdx = 1 B = a/ a/ a/ a/ ψ( x) dx = A sin kxdx = 1 A = a/ a/ Nota: E 1 =h /(8ma ) 0 (energia di punto zero), contrasta con l idea classica di moto nullo al minimo dell energia (e.g. pendolo) Interpretazione: principio d indeterminazione: x = a p = me = x 1 h a h x p = ħ x D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 1 a a

13 Parità La funzione d onda per potenziale simmetrico deve essere simmetrica o antisimmetrica, cioè: Pari Dispari ψ( x) = ψ( x) 1,00E-01 ψ ( x ) = ψ ( x ) 0,00E+00 Questo assicura che i misurabili siano simmetrici some il potenziale, esempio: ψ( x) = ± ψ( x) = ψ( x) - 0 x [nm] D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 13

14 Onde stazionarie Gli stati confinati nella buca a potenziale infinito possono essere interpretati come stati di particella libera che rimbalza avanti e indietro tra le due pareti onda stazionaria La stazionarietà obbliga la particella ad avere solo certe lunghezze d onda (come i modi nella cavità all equilibrio) ħ k n h n π kn = n En = = a m 8ma ( n = ± 1, ±, ± 3...) Il valore k=0 è proibito (non è un onda) valori negativi sono indistinguibili dai valori positivi (cos(-x) = cosx, sin(-x) = -sinx = e iπ sinx) sono lo stesso stato D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 14

15 Relazione di dispersione È la stessa dell elettrone libero, ma discreta (solo alcuni valori k n ed E n sono ammessi) Per a, ritroviamo la particella libera E [ev] ,00E+10-1,00E+10 0,00E+00 1,00E+10,00E+10 k [m -1 ] π/a π/a 3π/a 4π/a 5π/a π kn = n a ħ kn En = m ( n = ± 1, ±, ± 3...) D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 06 15

16 Box a potenziale finito V=V 0 finito fuori della buca Questo rappresenta il caso realistico di alcune particelle confinate, e.g. elettroni in un metallo o una buca quantica V=V 0 V=0 V=V 0 -a/ +a/ D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 16

17 Soluzione Equazione dentro la buca: ψ( x) = Asinkx + Bcos kx ħ ( x) = E ( x) m x ψ ψ me ħ k = Equazione fuori della buca: ħ ( x ) = ( V0 E) ( x ) α ψ( x) = Ce x + De m x ψ ψ m( V0 E) α = Simmetria: le soluzioni nella buca possono essere solo di tipo cos (pari) o sin (dispari) Le funzioni devono essere finite C=0 per x>a/ e D=0 per x<-a/ ħ αx D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 17

18 Condizioni al contorno: funzioni pari V=V 0 V=0 V=V 0 -a/ +a/ ψ( x)= De αx ψ ( x) = Bcos kx ψ( x) = De αx a a α Bcosk = De a Bk sink = Dαe a α tank a α a me = tan = k ħ V 0 E E D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 18

19 Condizioni al contorno: funzioni dispari V=V 0 V=0 V=V 0 -a/ +a/ ψ( x)= De αx ψ ( x) = Asinkx ψ( x) = De αx a a α Asink = De a Ak cos k = Dα e a α tank a = k tan a me = E α ħ V E 0 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 19

20 Soluzione grafica Esempio: a = 4 nm, V 0 = 9 ev 18 n=1 tan(ka/) n=3 pari n=5 n= n=4 n=6 dispari n=7 0 0, 0,4 0,6 0,8 1 1, E [ev] D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 0

21 Autovalori E [ev] 1,00E+01 9,00E+00 8,00E+00 7,00E+00 6,00E+00 5,00E+00 4,00E+00 3,00E+00,00E+00 1,00E+00 0,00E+00 Buca infinita Buca finita 0,00E+00 5,00E+00 1,00E+01 1,50E+01,00E+01,50E+01 n V=V 0 V=0 V=V 0 -a/ +a/ autovalori buca finita simili ma minori della buca infinita: rilassamento dell onda D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 1

22 Autofunzioni 9,00E+00 8,00E+00 7,00E+00 6,00E+00 5,00E+00 4,00E+00 3,00E+00,00E+00 1,00E+00 0,00E x [nm] D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07

23 Funzioni d onda Autofunzione pari E 1 = 0.01 ev Autofunzione pari E 19 = 7.83 ev Autofunzione dispari E = ev Autofunzione dispari E 0 = 8.6 ev D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 3

24 Oscillatore armonico Per buche di potenziale quadratiche l equazione di Schrödinger tempo indipendente è data da: ħ d 1 α x ( ) ( ) ψ x Eψ x m dx + = Interesse molto vasto, dato che ogni minimo di potenziale in natura può essere approssimato da una parabola, localmente V D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 4 x

25 Soluzioni Autovalori: E n = hν(n+1/) Autofunzioni: Funzioni d onda: ψ ( x) = 0 0 ψ ( x) = A e 1 1 Aue u u / / ( ) ψ 1 ( x) = A u e ( ) u / 3 / ψ 3( x) = A3 u u e 3 u u = x αm 4 ħ E 6 = 13hν/ E 5 = 11hν/ E 4 = 9hν/ E 3 = 7hν/ E = 5hν/ E 1 = 3hν/ E 0 = hν/ D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 5

26 Buca in D Il box a potenziale infinito ammette soluzione analitica anche in dimensioni ħ + (, ) (, ) ψ x y = Eψ x y m x y V= ψ( x, y) = X( x) Y( y) V= V=0 V= V= ħ X ħ Y = E mx x my y ħ X = E x X m x ħ Y = E y Y m y Che può essere separata in: E + E = E D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 6 x y

27 Autofunzioni e autovalori Le autofunzioni sono date dal prodotto di X e Y che hanno la stessa forma funzionale della buca 1D (pari/dispari, etc.) Gli autovalori sono dati dalla somma di autovalori E x ed E y, ciascuno obbediente alla formula del box 1D degenerazione (stessa energia per diversi stati) D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 7

28 Degenerazione n =n x +n y (n x >0, n y >0) n x =1, n y =1 n = n x =1, n y = n =5 n x =, n y =1 n =5 n x =1, n y =3 n =10 n x =3, n y =1 n =10 n x =, n y = n =16 degeneri degeneri Il box 3D si risolve in modo analogo. Esercizio: studiare la degenerazione dei livelli energetici nella buca 3D La buca di potenziale finita in D/3D è risolvibile nello stesso modo? L oscillatore armonico in /3D è risolvibile nello stesso modo? D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 8

29 Outline Buca a pareti infinite Buca a pareti finite Oscillatore armonico Buche accoppiate Stati non stazionari Conclusioni D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 9

30 Buche accoppiate Due buche di potenziale a pareti infinite La barriera intermedia ha spessore nullo delta di potenziale Soluzioni? V= V=u 0 δ(x) V=0 V=0 V= -a +a D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 30

31 Soluzioni Buca sinistra: Buca destra: ψ ( x) = A cos kx + B sinkx ψ ( x) = A cos kx + B sinkx Simmetria del potenziale solo funzioni pari o dispari, distinguiamo per semplicità k = me ħ V= V=u 0 δ(x) V= -a +a D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 31

32 Pari: condizioni al contorno Continuità: Parità pari: ψ ( 0) = ψ ( 0) A = A = A 1 1 ψ ( x) = ψ ( x) 1 A cos kx B sinkx = A cos kx + B sinkx B = B = B La derivata prima non deve essere necessariamente continua, dato che il potenziale è infinito ħ d + uδ ( x) ( ) = ( ) ψ x Eψ x m dx ħ d ψ 0 0 dx + uδ ( x) ψdx = Eψ dx 0 m dx 0 0 ħ ( + ) ħ ψ '( 0 ) ψ '( 0 ) + uψ ( 0) = ( kb kb1 ) + ua = 0 A m m = ħ k B mu D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 3

33 Autofunzioni e autovalori ħ k ψ1( x) = B cos kx Bsinkx mu ħ k ψ( x) = B cos kx + Bsinkx mu Annullamento a bordo buca: 5,00E+00 4,00E+00 3,00E+00,00E+00 1,00E+00 0,00E+00-1,00E+00 -,00E+00-3,00E+00-4,00E+00-5,00E+00 me k = ħ ħ k coska + sinka = mu 0 1E+09 E+09 3E+09 4E+09 tan ka k [m -1 ] = ħ k mu D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido

34 Dispari: condizioni al contorno Continuità: Parità dispari: ψ ( 0) = ψ ( 0) A = A = A 1 1 ψ ( x) = ψ ( x) 1 A cos kx + B sinkx = A cos kx + B sin kx A = 0, B = B = B Condizione sulla derivata prima identicamente verificata: 0 ħ d ψ 0 0 Autofunzione: dx + u δ ( x ) ψ dx = E ψ dx 0 m dx 0 0 ħ ( + ) ħ ψ '( 0 ) ψ '( 0 ) + uψ ( 0) = ( kb kb1 ) + ua = 0 m m ψ ( x) = ψ ( x) = Bsinkx 1 Autovalori: sinka=0 k=nπ/a D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 34

35 Autovalori Coppie di autovalori pari e dispari 5,00E+00 4,00E+00 3,00E+00,00E+00 1,00E+00 0,00E+00-1,00E+00 -,00E+00-3,00E+00-4,00E+00-5,00E E+09 E+09 3E+09 4E+09 tan ka k [m -1 ] = ħ k mu D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 35

36 5,00E+00 4,00E+00 3,00E+00,00E+00 1,00E+00 0,00E+00-1,00E+00 -,00E+00-3,00E+00-4,00E+00-5,00E+00 Forte accoppiamento (u 0) ħ k u 0 tanka = mu 5,00E+01 4,00E+01 3,00E+01,00E+01 1,00E+01 0,00E+00-1,00E E+09 E+09 3E+09 4E+09 -,00E+01-3,00E+01-4,00E+01-5,00E+01 k [m -1 ] 0 1E+09 E+09 3E+09 4E+09 ( 1) k n + a π k = n π a u = Jm nπ h k = E = n a 8m a ( ) D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 36

37 5,00E+00 4,00E+00 3,00E+00,00E+00 1,00E+00 0,00E+00-1,00E+00 -,00E+00-3,00E+00-4,00E+00-5,00E+00 Debole accoppiamento (u ) tanka ħ k u = 0 mu k [m -1 ] 0 1E+09 E+09 3E+09 4E+09 k n π k = n π a a u = x10-8 Jm nπ h k = E = n a 8ma D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 37

38 1,0E+00 E [ev] Autofunzioni 1,0E+00 E [ev] Accoppiamento debole 1,00E+00 u = x10-8 Jm Accoppiamento forte 1,00E+00 u = Jm 8,00E-01 8,00E-01 6,00E-01 6,00E-01 4,00E-01 4,00E-01,00E-01,00E-01 0,00E+00 0,00E x [nm] x [nm] D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 38

39 Stati non stazionari Il caso delle buche debolmente accoppiate è più significativo (l altro ricade nella buca singola) Possiamo combinare due stati adiacenti (i due stati a minore energia) e formare un pacchetto E1 p E1d i t i t ħ ħ 1 pψ 1 p 1 dψ 1 d Ψ ( x, t) = a ( x) e + a ( x) e E p E d E i t i p t ħ ħ 1pψ 1p 1dψ 1d Ψ ( x, t) = e a ( x) + a ( x) e 0,00E D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 39

40 Splitting energetico La frequenza di oscillazione è data da ν 1 = E 1 /h: maggiore lo splitting, maggiore la frequenza Questa affermazione vale anche trasferita alle bande dello stato solido: maggiore l ampiezza della banda, minore la difficoltà (massa efficace) con cui la particella vi si muove D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 40

41 Molecola di ammoniaca Il trasferimento da una buca all altra è un altro esempio di tunneling: la particella confinata in una buca ha probabilità finita di oltrepassare la barriera (classicamente proibita) La molecola di ammoniaca ha un simile flipping del terzetto di H, con frequenza caratteristica 4 GHz usato per alcuni orologi atomici D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 41

42 Conclusioni Stati confinati risolvibili analiticamente: buca a pareti infinite, oscillatore armonico e buca coulombiana (e.g. atomo d idrogeno, non in questo corso) Buca a pareti infinite = equivalente stazionario della particella libera Studio di buche accoppiate: è fondamentale sapere la forza dell interazione, i.e. l altezza/spessore della barriera D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 4