TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE

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1 TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE Francesca Pelosi e Salvatore Filippone Università di Roma Tor Vergata Esempi Pb. Ellittici pelosi/ TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.1/15

2 ESEMPIO 1D Problema Dirichlet omogeneo: u (x) = f(x), 0 < x < 1 u(0) = 0, u(1) = 0 Configurazione di equilibrio di un filo elastico con una tensione pari a 1, fissato agli estremi e soggetto ad una forza trasversale di intensità f(x). La funzione u descrive lo spostamento verticale del filo rispetto alla posizione a riposo u = 0. Se si suppone di applicare un carico concentrato in un punto, la soluzione fisica esiste ed è continua ma non derivabile. TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.2/15

3 ESEMPIO 1D Problema Dirichlet omogeneo: u (x) = f(x), 0 < x < 1 u(0) = 0, u(1) = 0 Configurazione di equilibrio di un filo elastico con una tensione pari a 1, fissato agli estremi e soggetto ad una forza trasversale di intensità f(x). La funzione u descrive lo spostamento verticale del filo rispetto alla posizione a riposo u = 0. Se si suppone di applicare un carico concentrato in un punto, la soluzione fisica esiste ed è continua ma non derivabile. TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.2/15

4 ESEMPIO: Elasticità Lineare div σ(u) = f i, in Ω, i = 1, 2 u i = 0, su Γ D, i = 1, 2 2 j=1 σ ij(u)n j = g i, su Γ N, i = 1, 2 σ ij (u) = λdiv(u)δ ij + 2µε ij (u), div σ(u) = ε ij (u) = 1 2 ( ui + u ) j x j x i = 2 j=1 σ ij x j (u), i = 1, 2 u 1 x ( u 1 x 2 + u 2 x 1 ) 1 2 ( u 1 x 2 + u 2 x 1 ) u 2 x 2 u : spostamento di un corpo elastico che occupa la regione Ω, sotto l azione di una forza per unità di volume di intensità f = (f 1, f 2 ) T, soggetto ad un carico distribuito su Γ N di intensità g = (g 1, g 2 ) T e fissato all estremità Γ D. TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.3/15

5 ESEMPIO: Elasticità Lineare div σ(u) = f i, in Ω, i = 1, 2 u i = 0, su Γ D, i = 1, 2 2 j=1 σ ij(u)n j = g i, su Γ N, i = 1, 2 con la formula di Green σ(u) : ε(v) dω := Ω = 2 i,j=1 Ω 2 i,j=1 Γ σ ij (u)ε ij (v) dω σ ij (u)n j v i dγ 2 i,j=1 Ω σ ij x j (u)v i dω si ottiene: σ(u) : ε(v) dω = f v dω + g v dγ Ω Ω Γ N λdiv(u)div(v) dω + 2µ ε(u) : ε(v) dω = f v dω + g v dγ Ω Ω Ω Γ N TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.4/15

6 ESEMPIO: Elasticità Lineare in lamina con buco una lamina sottile sottoposta a tensione uniforme lungo un asse T x = T x e x con un piccolo foro (r = 1) nell interno La distribuzione può essere alterata solo in prossimità del buco e lo stress mantiene valori uniformi nel resto del dominio È conveniente costruire un cerchio ipotetico con raggio uguale all ampiezza della lamina Per simmetria si può risolvere il problema in un quarto di dominio TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.5/15

7 ESEMPIO Elasticità Lineare div σ(u) = 0, in Ω, i = 1, 2 u i = p i, su Γ D, i = 1, 2 2 j=1 σ ij(u)n j = g i, su Γ N, i = 1, 2 Γ D Γ N Γ N Γ D TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.6/15

8 ESEMPIO: Elasticità Lineare div σ(u) = 0, in Ω, i = 1, 2 u i = p i, su Γ D, i = 1, 2 2 j=1 σ ij(u)n j = g i, su Γ N, i = 1, 2 Configurazione iniziale e finale; Distribuzione dello stress σ 1 TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.7/15

9 ESEMPIO: Problema di Lamè div σ(u) = f, in Ω, i = 1, 2 u i = 0, su Γ D, i = 1, 2 2 j=1 σ ij(u)n j = g i, su Γ N, i = 1, 2 Lamina rettangolare flessibile posta su un piano verticale, soggetta ad una forza f perpendicolare e con un lato fissato ad un sostegno Γ N Γ D ΓN Γ N TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.8/15

10 ESEMPIO: Problema di Lamè div σ(u) = f, in Ω, i = 1, 2 u i = 0, su Γ D, i = 1, 2 2 j=1 σ ij(u)n j = g i, su Γ N, i = 1, 2 Lamina rettangolare flessibile posta su un piano verticale, soggetta ad una forza f perpendicolare e con un lato fissato ad un sostegno TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.8/15

11 ESEMPIO 3: diffusione-trasporto-reazione Una fabbrica immette un agente inquinante nel fiume Ω con concentrazione costante C in attraverso la sezione Γ in ; l inquinante galleggia nel fiume, rimane in superficie per cui si trascura la dipendenza della sua concentrazione con la profondità. Si vuol studiare un modello alle derivate parziali per lo studio della concentrazione C(x, y) di inquinante nel fiume Ω Γ r Γ up Γ in u Γ down Γ r TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.9/15

12 ESEMPIO 3: diffusione-trasporto-reazione Si suppone: Γ r Γ up Γ in u Γ down nella sezione Γ up arriva con una concentrazione fisiologica C f ; nella sezione Γ down sia sufficientemente lontana da ritenere nulla la variazione della concentrazione del flusso (normale al bordo); il tasso di deposito di inquinante sulla riva sia proporzionale alla differenza fra concentrazione naturale C dry e la concentrazione del fiume in prossimità della riva stessa; la diffusività dell inquinante nel fiume è isotropa e costante (quindi rappresentata da unso scalare ɛ); il campo di velocità alla superficie del fiume può essere considerato costante in tempo e a divergenza nulla; un batterio presente nel fiume consuma inquinante con tasso σ; il problema è stazionario. Γ r TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.10/15

13 ESEMPIO 3: diffusione-trasporto-reazione L inquinante è interessato da tre processi: la diffusione nell acqua; il trasporto indotto dal moto del fiume: (u rappresenta la velocità del fiume con u = 0); la reazione dovuta al consumo di inquinante indotto dalla presenza del batterio. ε C + (uc) + σc = 0, x = (x, y) Ω TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.11/15

14 ESEMPIO 3: diffusione-trasporto-reazione Il bordo del fiume può essere suddiviso in: Γ r Γ up Γ in u Γ down Γ in tratto in cui la sostanza entra con concentrazione C in : assegnata con condizioni di tipo Dirichlet; Γ down : sezione di uscita a valle lontana da ritenere nulla la variazione della concentrazione del flusso, assegnata con condizioni di tipo Neumann C n = 0 (n normale uscente dal bordo); Γ up a monte arriva con una concentrazione fisiologica C f : assegnata con condizioni di tipo Dirichlet; Γ r : la riva il tasso di deposito di inquinante sulla riva sia proporzionale alla differenza fra concentrazione naturale C dry e la concentrazione del fiume in prossimità della riva stessa; ε C n = α(c dry C). Γ r TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.12/15

15 ESEMPIO 3: diffusione-trasporto-reazione Complessivamente un modello alle derivate parziali per lo studio della concentrazione C(x, y) di inquinante nel fiume Ω: ε C + (uc) + σc = 0, x = (x, y) Ω R 2, C = C in C = C f ε C u = 0 ε C n + αc = αc dry su Γ in su Γ up su Γ down su Γ r TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.13/15