TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE

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1 TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE Francesca Pelosi e Salvatore Filippone Università di Roma Tor Vergata Problemi di diffusione, trasporto, reazione 2D pelosi/ TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.1/16

2 DIFFUSIONE-TRASPORTO-REAZIONE: 2D div(ε u) + b u + σu = f, in R 2 u = 0, su dove ε, σ, f, b sono funzioni o costanti assegnate: - ε(x) L (), ε(x) ε 0 > 0 - σ(x) L 2 (), σ(x) 0 q.o. in - b [L 2 ()] 2, f L 2 () La forma debole consiste nel trovare u V tale che a(u, v) = F (v), v V = H0 1 () a(u, v) = ε u v d + vb u d + F (v) = fv d Ricordiamo che la norma in L () è definita come: v L () = sup{ v(x), q.o. in } σuv d, TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.2/16

3 DIFFUSIONE-TRASPORTO-REAZIONE: 2D a(u, v) = ε u v d + vb u d + σuv d Coercività di a(, ): a(v, v) α v 2 H 1 (), v V Termine diffusivo: dalla disuguaglianza di Poincaré si ha ε v v d ε 0 v 2 L 2 () ε 0 (1 + CP 2 ) v 2 H 1 () Termine convettivo: vb v d = 1 b (v 2 ) d = v 2 div(b) d+ 1 2 v 2 b n dγ sommando questo termine a quello reattivo e considerando che v = 0 sul bordo: ( vb v d + σv 2 d = v 2 1 ) 2 div(b) + σ d risulta positivo sotto la condizione 1 div(b) + σ 0 e la forma risulta 2 coerciva con α = ε 0 /(1 + C 2 P ) TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.3/16

4 DIFFUSIONE-TRASPORTO-REAZIONE: 2D a(u, v) = ε u v d + vb u d + σuv d Continuità di a(, ): a(u, v) M u H 1 () v H 1 (), u, v V Termine diffusivo: dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e poichè u L 2 () u H 1 () si ha ε u v d ε L () u L 2 () v L 2 () ε L () u H 1 () v H 1 () Termine convettivo: vb u d b L () v L 2 () u L 2 () b L () v H 1 () u H 1 () Termine reattivo: σuv d σ L () u L 2 () v L 2 () σ L () u H 1 () v H 1 () sommando i termini ottenuti si ottiene la continuità prendendo M = ε L () + b L () + σ L () TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.4/16

5 DIFFUSIONE-TRASPORTO-REAZIONE: 2D a(u, v) = ε u vd + b u vd + σu vd Le ipotesi del Lemma di Lax-Milgram sono verificate, esiste una e una sola soluzione e valgono u V 1 α f L 2 (), Per il metodo di Galerkin in un sottospazio V h dal Lemma di Céa : u h V 1 α f L 2 (), u L 2 () C P ε 0 f L 2 () u h L 2 () C P ε 0 f L 2 () u u h V M α inf w h V h u w h V e la costante M/α M α = C ε L () + b L () + σ L () ε 0 è grande se b L ()/ ε L () o σ L ()/ ε L () sono grandi TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.5/16

6 Il metodo della diffusione artificiale può essere generalizzato al caso bidimensionale per problemi del tipo: div(ε u) + b u + σu = f, in u = 0, su si aggiunge alla forma bilineare un termine di tipo Qh u h v h d, Q > 0 equivale ad aggiungere il termine di diffusione artificiale Qh u al problema di partenza. Si ottiene il metodo di diffusione artificiale upwind. La diffusione viene introdotta in tutte le direzioni e non in quella del campo b; si può aggiungere un termine di stabilizzazione di tipo ( ) u Qhdiv[(b u)b] = Qhdiv b b, Q = b 1 nel problema di Galerkin si aggiunge il termine: b h (u h, v h ) = Qh(b u h, b v h ) = Qh ( uh b, v ) h b TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.6/16

7 Il problema discreto diventa: trovare u h V h t.c. a h (u h, v h ) = F h (v h ), v h V h dove a h (u h, v h ) = a(u h, v h ) + b h (u h, v h ), F h (v h ) = F (v h ) si ottiene il metodo stabilizzato streamline diffusion in quanto si aggiunge un termine proporzionale alla derivata seconda in direzione del campo b (dall inglese streamline); anche in questo caso l accuratezza è solo O(h) TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.7/16

8 Galerkin generalizzato: consistenza ed errore di troncamento Definiamo errore di troncamento la differenza tra il primo e il secondo termine quando si sostituisce la soluzione esatta u: τ h (u; v h ) = a h (u, v h ) F h (v h ) Diremo che il metodo di Galerkin generalizzato è consistente se l errore di troncamento tende a zero quando h tende a zero: lim τ h(u; v h ) = 0, v h V h h 0 fortemente consistente se l errore di troncamento è nullo per ogni valore di h: τ h (u; v h ) = 0, v h V h il metodo di Galerkin è fortemente consistente: τ h (u; v h ) = a(u, v h ) F (v h ) = 0, v h V h il metodo di Galerkin generalizzato è in generale solo consistente solo se a a h e F F h tendono a 0 per h che tende a 0. TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.8/16

9 Galerkin generalizzato: consistenza ed errore di troncamento Per i metodi di diffusione artificiale di tipo upwind e streamline-diffusion si ha τ h (u; v h ) = a h (u, v h ) F (v h ) = a h (u, v h ) a(u, v h ) = Qh( u, v h ), upwind; ( ) Qh u b, v h, streamline-diffusion. b sono consistenti ma non fortemente consistenti cercheremo di costruire metodi fortemente consistenti TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.9/16

10 Alcune definizioni preliminari Un operatore L : V V con V L 2 () si dice rispetto al prodotto scalare di L 2 () simmetrico se (Lu, v) = (u, Lv), u, v V antisimmetrico se (Lu, v) = (u, Lv), u, v V Un generico operatore ellittico L può essere scomposto nella somma tra la sua parte simmetrica L S e la sua parte antisimmetrica L SS Lu = L S u + L SS u ad esempio se Lu = ε u + div(bu) + σu div(bu) = 1 2 div(bu) div(bu) = 1 2 div(bu) udiv(b) b u TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.10/16

11 Alcune definizioni preliminari possiamo riscrivere l operatore come Lu = ε u + [σ + 12 ] div(b) u [div(bu) + b u] = L S u + L SS u il coefficiente di reazione è diventato σ = σ div(b) (L S u, v) = ε( u, v) + (σ u, v) = ε( u, v) + (σ u, v) = ε(u, v) + (u, σ v) = (u, L S v) (L SS u, v) = 1 2 (div(bu), v) + 1 (b u, v) 2 = 1 2 (bu, v) + 1 ( u, bv) 2 = 1 2 (bu, v) 1 2 (u, div(bv)) = (u, L SSv) TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.11/16

12 Metodi fortemente consitenti: GLS, SUPG, DW Dato un problema di reazione-trasporto-diffusione Lu = f, in con codizioni di Dirichlet omogenee su tutto il bordo; Consideriamo la forma debole trovare u V = H0 1 () tale che a(u, v) = F (v), v V si ottiene un metodo stabilizzato fortemente consistente considerando il seguente problema trovare u h V h t.c. a(u h, v h ) + L h (u h, v h ) = F (v h ), v h V h scegliendo L h tale che una possibile scelta: L h (u, v h ) = 0, v h V h L (ρ) h (u h, v h ) = δ(lu h f, S (ρ) K (v h)) L 2 (K) K T h TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.12/16

13 Metodi fortemente consistenti: GLS, SUPG, DW L (ρ) h (u h, v h ) = δ(lu h f, S (ρ) K (v h)) L 2 (K) K T h ρ e δ sono parametri da specificare e S (ρ) K (v h) = h K b [L SSv h + ρl S v h ] essendo Lu f = 0 si ha L (ρ) h (u, v h) = 0 per cui τ h (u; v h ) = a(u, v h ) F (v h ) = 0 e quindi il metodo risulta fortemente consistente; alcuni esempi più comuni: ρ = 1: ρ = 0: ρ = 1: Galerkin Least-Squares (GLS) Streamline Upwind Petrov-Galerkin (SUPG) Douglas-Wang (DW) TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.13/16

14 Metodi fortemente consitenti: GLS, SUPG, DW L (ρ) h (u h, v h ) = δ(lu h f, S (ρ) K (v h)) L 2 (K) K T h ρ = 1: Galerkin Least-Squares (GLS) S (1) K (v h) = h K b Lv h prendendo v h = u h, il termine aggiunto in ogni triangolo è proporzionale a K (Lu h) 2 dk e quindi si tratta di un metodo ai minimi quadrati ρ = 0: Streamline Upwind Petrov-Galerkin (SUPG) ρ = 1: Douglas-Wang (DW) S (0) K (v h) = h K b L SSv h S ( 1) K (v h) = h K b (L SS L S ) v h TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.14/16

15 Metodi fortemente consistenti: GLS, SUPG, DW: analisi L (ρ) h (u h, v h ) = δ(lu h f, S (ρ) K (v h)) L 2 (K) K T h Definiamo una norma dipendente da ρ: v (ρ) = ε v 2 L 2 () + γv 2 L 2 () + K T h δ ( (L SS + ρl S )v, S (ρ) dove γ è una costante positiva tale che 1 div(b) + σ γ > 0. 2 Disuguaglianza di stabilità: K (v) )L 2 (K) 1 2 α (γ) : u h (ρ) C α f L 2 () Stima dell errore u u h (ρ) Ch r+1/2 u H r+1 () l ordine di accuratezza cresce all aumentare del grado r dei polinomi utilizzati come per il metodo di Galerkin TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.15/16

16 Metodi fortemente consistenti: GLS, SUPG, DW: analisi L h (u h, v h ) (ρ) = δ(lu h f, S (ρ) K (v h)) L 2 (K) K T h Nella pratica la scelta del parametro δ (parametro di stabilizzazione) risulta di fondamentale importanza: misura quanta viscosità artificiale viene introdotta. Studi teorici mostrano intervalli di valori ammissibili per tale parametro SUPG 0 < δ < 1/C 0 GLS 0 < δ DW 0 < δ < 1/(2C 0 ) C 0 è la costante della seguente disuguaglianza inversa K T h h 2 K K v h 2 dk C 0 v h 2 L 2 (), v h X r h TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.16/16