ANALISI NUMERICA. Elementi finiti bidimensionali. a.a Maria Lucia Sampoli. ANALISI NUMERICA p.1/23

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1 ANALISI NUMERICA Elementi finiti bidimensionali a.a Maria Lucia Sampoli ANALISI NUMERICA p.1/23

2 Elementi Finiti 2D Consideriamo 3 aspetti per la descrizione di elementi finiti bidimensionali: TRIANGOLAZIONE: esistenza di una triangolazione o reticolazione del dominio Ω, che supporremo dominio poligonale; SOTTOSPAZI: la costruzione di sottospazi di dimensione finita; BASI: l esistenza di funzioni di base con supporto limitato. ANALISI NUMERICA p.2/23

3 Elementi Finiti 2D: triangolazione Ω R 2 di forma poligonale, possiamo associare una partizione T h in poligoni K t.c. Ω = K T h K (1) int(k) : l interno di ogni poligono K T h è non vuoto; (2) int(k 1 ) int(k 2 ) = per ogni K 1, K 2 T h con K 1 K 2 ; (3) se F = K 1 K2 con K 1, K 2 T h e K 1 K 2 allora F è un lato o un vertice della griglia; (4) sia h K il diametro di K, definiamo h = max K T h h K, spaziatura della griglia. Ricordiamo che il diametro di un oggetto geometrico K viene definito come la massima distanza tra due elementi appartenenti ad esso h K = max x,y K x y T h viene detta reticolazione o triangolazione di Ω. ANALISI NUMERICA p.3/23

4 Elementi Finiti 2D: triangolazione la condizione (2) richiede che le parti interne di elementi distinti non si sovrappongano; la (3) limita le triangolazioni ammissibili a quelle conformi; Non sono soddisfatte le proprietà (1) (2) (3): Proprietà soddisfatte: ANALISI NUMERICA p.4/23

5 Elementi Finiti 2D: triangolazione si considerano triangolazioni regolari: se esiste una costante β indipendente da h tale che h K ρ K < β con ρ K si indica la sfericità di K ovvero il diametro del cerchio inscritto. Si escludono elementi molto schiacciati. Si possono distinguere le griglie in strutturate: essenzialmente formate da elementi quadrangolari con accesso immediato ai vertici adiacenti ad un dato nodo, grazie alla struttura; codici più efficienti per calcolo e memoria; non strutturate: l associazione tra un elemento della griglia e i suoi vertici deve essere esplicitamente memorizzata nella matrice delle connettività; maggiore flessibiltà per triangolare domini di forma complessa; possibilità di raffinamenti locali. ANALISI NUMERICA p.5/23

6 Elementi Finiti 2D: sottospazi Vogliamo determinare uno spazio a dimensione finita V h, adatto per l approssimazione dello spazio a dimensione infinita V, cercheremo spazi di funzioni polinomiali a tratti: V h = X r h := {v h C 0 (Ω) : v h K P r, K T h } dove con P r denotiamo polinomi algebrici. In particolare denotiamo con P r lo spazio dei polinomi di grado r nelle variabili x, y; P r = {p(x, y) : p(x, y) = n+m r 0 m,n r α mn x m y n } P 1 =< 1, x, y >: Spazio dei polinomi lineari P 2 = P 1 < x 2, xy, y 2 >: Spazio dei polinomi quadratici dim P r = (r+1)(r+2) 2 ad esempio dim P 1 = 3, dim P 2 = 6, dim P 3 = 10. ANALISI NUMERICA p.6/23

7 Elementi Finiti 2D: sottospazi Vogliamo determinare uno spazio a dimensione finita V h, adatto per l approssimazione dello spazio a dimensione infinita V, cercheremo spazi di funzioni polinomiali a tratti: V h = X r h := {v h C 0 (Ω) : v h K P r, K T h } dove con P r denotiamo polinomi algebrici. In particolare denotiamo con Q r lo spazio dei polinomi di grado r in ogni variabile x, y; Q r = {p(x, y) : p(x, y) = 0 m,n r α mn x m y n } Q 1 =< 1, x, y, xy >=< 1, x > < 1, y >: Spazio dei polinomi bilineari Q 2 =< 1, x, x 2 > < 1, y, y 2 >: Spazio dei polinomi biquadratici. dim Q r = (r + 1) 2 ad esempio dim Q 1 = 4, dim Q 2 = 9, dim Q 3 = 16. ANALISI NUMERICA p.7/23

8 Elementi Finiti 2D: sottospazi Definiamo due tipi di sottospazi V h a seconda del tipo di elemento su cui sono definiti (triangolare rettangolare): elementi finiti triangolari: X r h = {v h C 0 (Ω) : v h K P r, K T h } elementi finiti rettangolari: X r h = {v h C 0 (Ω) : v h K Q r, K T h } In entrambi i casi X h H 1 (Ω), r 1 infatti si può dimostrare che condizione necessaria e sufficiente affinchè una funzione v appartenga a H 1 (Ω) è che v C 0 (Ω); v K H 1 (K), K T h. Quindi gli spazi definiti X r h, Xr h sono idonei ad approssimare H 1 (Ω). ANALISI NUMERICA p.8/23

9 Elementi Finiti 2D: gradi di libertà e basi Consideriamo la scelta dei gradi di libertà in ogni elemento K con il vincolo che la funzione v h sia C 0 in tutto il dominio: elementi finiti triangolari: r = 1 : dim P 1 = 3, si devono scegliere 3 gradi di libertà in ogni elemento, la scelta più semplice: valori ai vertici di K. r = 2 : dim P 2 = 6, si scelgono i valori nei seguenti nodi i vertici di K e i punti medi di ogni lato. r = 3 : dim P 3 = 10, si scelgono i valori nei seguenti nodi i vertici di K, 2 equispaziati per ogni lato e il centro di gravità. r = 1 r = 2 r = 3 Sui nodi scelti costruiamo la base lagrangiana (nodale). ANALISI NUMERICA p.9/23

10 Elementi Finiti 2D: gradi di libertà e basi Consideriamo la scelta dei gradi di libertà in ogni elemento K con il vincolo che la funzione v h sia C 0 in tutto il dominio: elementi finiti rettangolari K = [0, 1] 2 : r = 1 : dim Q 1 = 4, valori ai vertici del quadrato. r = 2 : dim Q 2 = 9, si scelgono i valori nei seguenti nodi i vertici di K, i punti medi di ogni lato e centro di gravità. r = 3 : dim Q 3 = 16, si scelgono i valori nei seguenti nodi i vertici di K e i punti di coordinate 1/3, 2/3. r = 1 r = 2 r = 3 ANALISI NUMERICA p.10/23

11 Elementi Finiti 2D: elemento di riferimento Anche nel bidimensionale è possibile ricondursi ad un elemento di riferimento tramite una trasformazione affine invertibile: Φ K : K K Φ K (ξ) = B K ξ + b K, B K R 2 2, b K R 2 Φ K ( K) = K la scelta dell elemento di riferimento K non è univoca. Consideremo i seguenti due casi: K è un triangolo di vertici allora K = Φ K ( K) è un triangolo. K è un quadrato di vertici (0, 0), (0, 1), (1, 0), (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) allora K = Φ K ( K) è un parallelogramma/rettangolo. ANALISI NUMERICA p.11/23

12 Elementi Finiti 2D: elemento di riferimento { K, P r, Σ} {K, P r, Σ} Φ K ( K) = K Φ K (ξ) = x v(ξ) = v(φ K (ξ)) P r v(x) = v(φ 1 K (x)) P r P r = {v : K R : v Φ K P r } ANALISI NUMERICA p.12/23

13 Pb. di POISSON (2D) con elementi finiti Consideriamo il caso di Dirichlet omogeneo, sul dominio limitato Ω R 2 : u = f, in Ω u = 0, su Ω Posto V h = X r h e V 0h = {v h V h : v h Ω = 0}, la forma debole risulta trovare u V 0h : Ω u h v h dω = Ω fv h dω, v h V 0h. Scegliamo una base lagrangiana definita sull insieme dei nodi N i, i = 1,..., N h della triangolazione T h esclusi quelli di bordo in cui v h = 0, dove N h = dim V 0h : ϕ i (N j ) = δ ij = 1, i = j 0, i j una generica v h V 0h può essere espressa come v h (x) = N h i=1 i = 1,..., N h v i ϕ i (x), x Ω, v i = v h (N i ). ANALISI NUMERICA p.13/23

14 Pb. di POISSON (2D) con elementi finiti Esprimendo la soluzione discreta u h come u h (x) = N h i=1 u iϕ i (x), u i = u h (N i ) ed imponendo a(u h, ϕ i ) = F (ϕ i ), i = 1,..., N h si ottengono N h equazioni in N h incognite: Ω ϕ j ϕ i dω = Ω fϕ i dω Si ottiene il sistema lineare Au = f - A R N h N h : A ij = Ω ϕ j ϕ i dω; - f R N h: vettore dati, f i = Ω fϕ i dω; - u R N h: vettore incognite, u i = u i = u h (N i ). ANALISI NUMERICA p.14/23

15 Pb. di POISSON (2D) non omogeneo u = f, u = g, in Ω su Ω Nel caso non omogeneo ci si può ricondurre al caso omogeneo attraverso un rilevamento di un approssimazione del dato di bordo: l insieme totale dei nodi {N i : i = 1,..., Nh t } può essere diviso in {N i : i = 1,..., N h }: nodi interni di T h {N i : i = N h + 1,..., Nh t }: nodi di bordo, con N h b = N h t N h Una approssimazione del dato di bordo g: g h = N t h i=n h +1 g(n i )ϕ i Ω (x), x Ω Il suo rilevamento R gh X r h : N t h i=n h +1 g(n i )ϕ i (x), x Ω ANALISI NUMERICA p.15/23

16 Pb. di POISSON (2D) non omogeneo La formulazione ad elementi finiti diventa: trovare ũ h V 0h t.c. ũ h v h dω = fv h dω R gh v h dω v h V 0h Ω Ω Ω la soluzione approssimata sarà u h = ũ h + R gh Grazie alla scelta del rilevamento si ottiene un sistema lineare della forma Au = f Bg - A R N h N h : A ij = Ω ϕ j ϕ i dω; - f R N h: vettore dati, f i = Ω fϕ i dω; - u R N h: vettore incognite, u i = u i = ũ h (N i ). -g R N b h: g i = g(n i+nh ), i = 1,..., N b h, -B R N h N b h: b i,j = Ω ϕ j+n h ϕ i dω, i = 1,..., N h, j = 1,..., N b h. Anche la matrice B è sparsa e in particolare ha nulle le righe corrispondenti a nodi non adiacenti ad un nodo di bordo. ANALISI NUMERICA p.16/23

17 Pb. di POISSON (2D) con elementi finiti r = 1: Il supporto della generica funzione di base ϕ i è formato dai triangoli che hanno N i come nodo; A è sparsa e il numero degli elementi diversi da zero è dell ordine di N h : a ij 0 N j, N i, sono nodi dello stesso triangolo; nel caso di elementi triangolari A non ha in generale una struttura definita ma dipende da come sono ordinati i nodi gli a ij possono essere calcolati come somma dei contributi dei differenti elementi a ij = a K (ϕ j, ϕ i ), a K (ϕ j, ϕ i ) := ϕ j (x) ϕ i (x) dx K T K h nel caso triangolare supponiamo N i, N j, N k siano i vetrici del triangolo K, si ottiene una matrice locale relativa a K: a K (ϕ i, ϕ i ) a K (ϕ j, ϕ i ) a K (ϕ k, ϕ i ) a K (ϕ i, ϕ j ) a K (ϕ j, ϕ j ) a K (ϕ k, ϕ j ) a K (ϕ i, ϕ k ) a K (ϕ j, ϕ k ) a K (ϕ k, ϕ k ) La matrice globale può essere calcolata utilizzando le matrici locali relative ad ogni K T h, procedimento chiamato assemblaggio. ANALISI NUMERICA p.17/23

18 Pb. di POISSON (2D) : implementazione Consideriamo le trasformazioni affini Φ K, K T h e restringiamo gli integrali della matrice di stiffness ai singoli elementi K = Φ K (K): K ϕ j (x) ϕ i (x) dx = ϕ i (Φ K (ξ)) = ϕ α (ξ) K ϕ j (Φ K (ξ)) ϕ i (Φ K (ξ)) det J ΦK (ξ) dξ x = x(ξ) = Φ K (ξ) ξ = ξ(x) = Φ 1 K (x) ϕ i (Φ K (ξ)) = J T Φ 1 ϕ α(ξ) K (x) = J T Φ 1 (x) ϕ α(ξ) J T K Φ 1 ϕ β(ξ) det J K (x) ΦK (ξ) dξ K i termini J T dipendono dalla geometria del problema; Φ 1 K (ξ) i termini ϕ possono essere calcolati a mano una volta per tutte. ANALISI NUMERICA p.18/23

19 Condizionamento della Matrice di rigidezza κ 2 (A) = Ch 2 La matrice A associata al problema di Galerkin in generale e al metodo degli elementi finiti, in particolare, è definita positiva e simmetrica solo se la forma bilineare a(, ) è simmetrica. Per cui il condizionamento in norma 2 è dato da: κ 2 (A) = λ max(a) λ min(a) Gli autovalori di A verificano Av = λ h v, v autovettore associato all autovalore λ h. Sia v h V h unico elemento che assume nei nodi i valori v i componenti di v. Poichè A è definita positiva e simmetrica, λ h > 0 e λ h = vt Av v 2 = a(v h, v h ) v 2. Supponiamo che le triangolazioni T h, h > 0 siano regolari e quasi-uniformi: min K Th h K τh, τ > 0, h > 0 in tal caso vale la disuguaglianza inversa C I > 0 : v h V h v h L 2 (Ω) C Ih 1 v h L 2 (Ω) ANALISI NUMERICA p.19/23

20 Condizionamento della Matrice di rigidezza κ 2 (A) = Ch 2 Denotando con d la dimensione spaziale, esistono due costanti C 1, C 2 > 0 t.c. C 1 h d v 2 v h 2 L 2 (Ω) C 2h d v 2 ne segue per quanto visto prima e applicando continuità e coercività di a(, ): v h 2 H α 1 (Ω) v 2 λ h = a(v h, v h ) v h 2 H v 2 M 1 (Ω) v 2 abbiamo v h 2 H 1 (Ω) v h 2 L 2 (Ω) per definizione di norma in H 1 (Ω), mentre per la disuguaglianza inversa C 3 > 0 t.c. v h H 1 (Ω) C 3h 1 v h L 2 (Ω), si ottiene v h 2 L α 2 (Ω) v 2 v h 2 H α 1 (Ω) v 2 λ h M v h 2 H 1 (Ω) v 2 vh 2 2 L MC 3 h 2 (Ω) v 2 αc 1 h d v 2 v h 2 v 2 α L 2 (Ω) v 2 vh 2 2 L λ h MC 3 h 2 (Ω) v 2 αc 1 h d λ h MC 3 h 2 C 2 h d v 2 v 2 λ max(a) λ min(a) MC 3 h 2 C 2 h d v 2 v 2 MC 2C 3 h 2 αc 1 ANALISI NUMERICA p.20/23

21 Errore di discretizzazione in V h Grazie al Lemma di Cèa: u u h V M α inf w h V h u w h V dove V = H 1 (Ω) vogliamo saper quanto può essere piccolo u w h V. Tale quantità dipende dallo spazio scelto. Come nel caso monodimensionale inf u w h V u Π r h u V = w h V h ( Ω...) 1/2 = K T h K... Consideriamo l errore di interpolazione in ogni elemento, m r + 1, r 1: 1/2 u Π r h u H m (K) C hr+1 K ρ m K u H r+1 (K), u Hr+1 (K) da cui l errore di interpolazione globale per triangolazioni regolari ( h K ρk m = 0, 1 u Π r h u H m (Ω) C h 2(r+1 m) K u 2 H r+1 (K) K T h u Π r h u H m (Ω) Ch r+1 m u H r+1 (Ω) 1/2 < β), u H r+1 (Ω) ANALISI NUMERICA p.21/23

22 Errore di discretizzazione in V h da cui si ottiene la seguente stima apriori per l errore di discretizzazione per u H r+1 (Ω) u u h H 1 (Ω) M α C h 2(r) K u 2 H r+1 (K) K T h 1/2 u u h H 1 (Ω) Ch r u H r+1 (Ω) Anche in questo caso, per aumentare l accuratezza si può diminuire h, ovvero raffinare la griglia aumentare r, ovvero utilizzare elementi finiti di grado più elevato, (solo se la soluzione è sufficientemente regolare). Infine possiamo concludere che se u H p+1 (I), p > 0 u u h H 1 (Ω) Chs u H s+1 (Ω), s = min{r, p} ANALISI NUMERICA p.22/23

23 Cenni sull adattività della griglia Una griglia efficiente deve ottimizzare gli elementi necessari per ottenere l accuratezza desiderata. Analizzando la stima dell errore dipendente da h occorre raffinare la reticolazione ovunque h K possiamo tener conto del comportamento locale della soluzione da e raffinare solo dove necessario: u H r+1 (K) si vuol equidistribuire l errore, ovvero vorremmo che K T h h r K u H r+1 (K) η dove η è una costante dipendente dall accuratezza richiesta. grandi valori di u H r+1 (K) devono essere bilanciati da h K piccoli : h adattività; r grandi : p adattività. In generale la soluzione non è nota, quindi non si può utilizzare la stima a priori dell errore, ma si possono seguire le seguenti strategie: adattività a priori: si usa la stima a priori dell errore su una approssimazione della soluzione esatta facilmente calcolabile su ogni singolo elemento. adattività a posteriori: necessita di una stima dell errore tramite la soluzione approssimata u h, si tratta di iterare le fasi di risoluzione, stima errore e modifica griglia fin a raggiungimento della precisione richiesta. ANALISI NUMERICA p.23/23