PROBLEMI NON-LINEARI NEL CALCOLO STRUTTURALE

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1 PROBLEMI NON-LINEARI NEL CALCOLO STRUTTURALE 1/ Non-linearità geometrica: spostamenti e deformazioni finiti / Non-linearità materiale: legge costitutiva non-lineare, plasticità, meccanica del danno, ipoelasticità, RIF: M.Crisfield, Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structures, John Wiley & Sons, 1991 Cap 1 e Cap. 9 1

2 Soluzione di problemi NON-LINEARi 1 attivazione di una procedura iterativoincrementale basata sul Metodo di Newton-Raphson scelta della procedure di controllo dell evoluzione della curva strutturale.1 controllo di carico. controllo di spostamento. controllo misto carico/spostamento

3 SOLUZIONE DI UN EQUAZIONE NON-LINEARE Data la funzione a(b Essa puo essere espressa come: h(a(-b Risolvere a(b ~ risolvere h(0 In campo nonlineare la risoluzione di h(0 si affronta con una tecnica iterativa 3

4 SOLUZIONE DI UN EQUAZIONE NON-LINEARE 1. Si parte dal valore iniziale 0. Si genera una sequenza di valori iterativi n-1, n, n+1 convergenti alla soluzione * 3. Si itera secondo una procedura iterativa del tipo : n+1 F( n 4

5 METODO DI NEWTON-RAPHSON 5

6 METODO DI NEWTON-RAPHSON Si sostituisce f( con la sua versione linearizzata iterativa funzione f d df d df f f Taylor Series d df f f 1 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( * * * Nota: ad ogni step occorre valutare f and f 6

7 Processo iterativo: ripeti da 0 a. METODO DI NEWTON-RAPHSON ( 1 df + 1 Fino a convergenza d DEF: una sequenza iterativa { ( } converge con l ordine q ad un valore * se esiste un vettore norma tale che per ogni N: + 1 * f ( * q 7

8 METODO DI NEWTON-RAPHSON Sappiamo che, se * e la soluzione di f(0, lo sviluppo in serie nell intorno di diventa df ( d d f ( ~ d * * * 0 f ( f ( + ( + ( Sappiamo inoltre che in base al Metodo di Newton Raphson 0 f ( + df ( d ( + 1 8

9 Sottraendo Moltiplicando per l inverso del gradiente 1 ( d f( d ( d df( * * ( ( f( d df ( * * + METODO DI NEWTON-RAPHSON Convergenza quadratica ( ( * * 1 1 K allora K d f d d df Sia + 1 ( ( d f( d d df ( * * + 9

10 METODO DI NEWTON-RAPHSON Vantaggi: -Convergenza quadratica quando si hanno radici con molteplicita semplice ed il gradiente esiste e si parte da una soluzione di tentativo sufficientemente vicina alla soluzione Svantaggi: -Occorre calcolare il gradiente, ma non sempre esso esiste -Occorre partire da una soluzione di tentativo sufficientemente vicina alla soluzione 10

11 Esempio di non-linearità geometrica ad 1 grado di libertà l Equilibrio verticale W Nsin θ N w + z l N w + l z 11

12 Deformazione nell asta Esempio di non-linearità geometrica ad 1 grado di libertà w 1 w z l (z l w z ( Deformazione nell asta supponendo piccolo θ ottenuta applicando il Teorema di Pitagora Sforzo nell asta 1 l w 1 l w l z l (z l (z l w (z ε + ε l w 1 l w l z EA EA N l z w l w 1 l w l z l z w N W Componente verticale

13 Esempio di non-linearità geometrica ad 1 grado di libertà W EA 3 (z w + zw + 3 l 1 w 3 W EA l z 3 w z 13

14 Esempio di non- linearità geometrica ad 1 grado di libertà con molla W EA (z w + zw + w + K 3 l S w W l EA z 3 1.3EAz K S 3 l EAz K S 3 l w z 14

15 Risoluzione del problema di non- linearità geometrica ad 1 grado di libertà mediante il METODO DI NEWTON- RAPHSON Introduciamo la differenza (detta residuo tra la forza interna, calcolata usando il legame costitutivo N-w, e la forza esterna reale applicata EA g (z w + zw + w W 0 3 l forza interna forza esterna Il nostro obiettivo è soddisfare esattamente l equazione g0, che, tuttavia, è non lineare in w Se g 0 l equazione di equilibrio non risulta soddisfatta Si supponga ora di adottare una procedura approssimata iterativa alla N-R per la soluzione dell equazione g0 15

16 Risoluzione del problema di non- linearità geometrica ad 1 grado di libertà mediante il METODO DI NEWTON-RAPHSON Approssimiamo il residuo valutato nella posizione n (new come polinomio di Taylor nell intorno della posizione precedente o (old troncato al I ordine 0 g n g 0 + dg0 dw δw + 1 d g dw 0 ( δw trascurabile Tangente Calcolata nella posizione old o 16

17 Risoluzione del problema di non- linearità geometrica ad 1 grado di libertà mediante il METODO DI NEWTON-RAPHSON Passo 3/ Si pone il residuo valutato nella posizione n uguale a 0 g n 0 Passo 4/ Si risolve l equazione ottenuta nell incremento δw 1 δw dg dw 0 0 g 0 ( w 0 Passo 5/ si ottiene una nuova stima per lo spostamento w w w + δw

18 Risoluzione del problema di non-linearità geometrica ad 1 grado di libertà mediante il METODO DI NEWTON-RAPHSON Si riparte quindi dall inizio con una nuova valutazione: δw dg dw 1 1 w 1 g ( 1 1 Fino a convergenza ovvero fino a quando g tol Si osservi che nel nostro caso g N(z + l w W Pertanto dg dw (z + w l dn dw + N l K t RIGIDEZZA TANGENTE 18

19 METODO DI NEWTON-RAPHSON 19

20 METODO DI NEWTON-RAPHSON:problemi connessi al calcolo della rigidezza tangente K t In generale K t può essere >0, 0, <0 oppure può non esistere Si preferiscono quindi metodi basati non sulla rigidezza tangente ma su approssimazioni della derivata dg/dw 0

21 METODO DI NEWTON-RAPHSON modificato secondo la rigidezza di inizio passo 1

22 METODO DI NEWTON-RAPHSON modificato secondo la rigidezza elastica iniziale

23 NB: errore numerico tra il percorso calcolato e quello reale 3

24 Tipologie di controllo della risposta strutturale carico-spostamento a Controllo di carico : Si procede incrementando il carico Finora abbiamo adottato questa procedura di incremento di carico b Controllo di spostamento : Si procede incrementando lo spostamento quando non e possibile incrementare il carico 4

25 Controllo di carico 5

26 Controllo di spostamento Si procede incrementando lo spostamento Se si controllasse l incremento di carico si perderebbe convergenza 6

27 Controllo di spostamento 7 Corso di Meccanica delle Strutture- ing. Elena Benvenuti

28 Necessità di tecniche avanzate: presenza di snap bac e snap through Controllo di spostamento e di carico falliscono: Arc length 8

29 Necessità di tecniche avanzate: presenza di snap bac e snap through Controllo di spostamento e di carico falliscono: Arc length 9

30 Necessita di tecniche avanzate: presenza di snap bac e snap through 30

31 Necessita di tecniche avanzate: presenza di snap bac e snap through 31

32 Necessita di tecniche avanzate: presenza di snap bac e snap through 3

33 METODO ARC-LENGTH Si consideri l equazione di equilibrio seguente g(p, λ qi (p λqef 0 dove: q i (p : forze interne funzioni del vettore spostamenti p q ef : vettore delle forze nodali esterne fissate λ: parametro di carico che moltiplica q ef 33

34 METODO ARC-LENGTH Si consideri l equazione di equilibrio g( p, λ q i λq ef Il metodo arc-length (Ris 197- Wempner 1971 si basa sulla ricerca dell intersezione tra la curva del percorso strutturale e l arco di circonferenza centrato nel punto iniziale del passo di equazione 0 s ds ds dp t dp + dλ ψ q t ef q ef Dove ψ e un parametro dimensionale necessario per poter calcolare ds 34

35 METODO ARC-LENGTH Dato l arco di raggio costante l, si studia la curva di equazione a T p p + λ ψ q q l T ef ef 0 Si tratta di un equazione non lineare, pertanto la si risolve con il metodo di N-R facendo sistema con l equazione di equilibrio g g gn g0 + δp + δλ g0 + K1δp qefδλ 0 p λ a n a 0 + p t δp + λδλψ q t ef q ef 0 35

36 METODO ARC-LENGTH 36

37 ARC-LENGTH sferico 37

38 ARC-LENGTH cilindrico 38

39 ARC-LENGTH ellittico 39

40 ARC-LENGTH linearizzato 40

41 Tecniche per aumentare la velocità di convergenza λ n n I d λ 0 I 0 Valore di tentativo iniziale 41

42 ANALISI ITERATIVA-INCREMENTALE 1/ Si applica un incremento di carico/spostamento e si risolve il problema nel passo finito / Anche il problema incrementale nel passo finito e non lineare e pertanto viene risolto con una procedura non-lineare alla N-R 4

43 ANALISI ITERATIVA-INCREMENTALE 43

44 ANALISI ITERATIVA-INCREMENTALE: ciclo 44

45 Esempio: von Mises truss 45

46 Esempio: von Mises truss 46

47 Esempio: von Mises truss Controllo di carico fallisce 47

48 Esempio: von Mises truss arc length robusto ed efficiente 48

49 Esempio: von Mises truss 49

50 Esempio: Lee frame 50

51 Esempio: Lee frame La convergenza non e sempre garantita 51