MECCANICA COMPUTAZIONALE

Транскрипт

1 MECCANICA COMPUTAZIONALE Capitolo 6 Introduzione all analisi non-lineare Rev. 1/06/006 (rev. 1/06/006) Capitolo 6: 1/5 Argomenti trattati nel capitolo 6 Non-linearità fisica e geometrica Metodi di analisi Procedura incrementale Metodi iterativi Criteri di convergenza Esempio di non-linearità geometrica: biella in formulazione lagrangiana totale Esempio di non-linearità fisica: biella con legame elastico non-lineare (rev. 1/06/006) Capitolo 6: /5 1

2 Introduzione P Struttura INPUT (carichi esterni) Sistema fisico = P (,"t" ) sistema di equazioni (in generale non-lineare) OUTPUT (spostamenti, deformazioni, sforzi, ) (rev. 1/06/006) Capitolo 6: 3/5 antaggi: -1 (,"t" ) Caso lineare = P = K P sistema di equazioni lineari e soluzione con metodi standard computazionalmente poco oneroso vale il principio di sovrapposizione degli effetti (combinazioni di carico, sovrapposizione modale, ) L approssimazione lineare non è sempre applicabile! (rev. 1/06/006) Capitolo 6: 4/5

3 Possibili fonti di non-linearità Gruppi di equazioni fondamentali STATICHE (equilibrio) COSTITUTIE (legame) CINEMATICHE (congruenza) non-linearità fisica (plasticità dell acciaio, fessurazione del cls, ) σ = σ (,"") ε ij ij t 1 u u i j u u εij = + + x j xi xi xj non-linearità geometrica (equilibrio della struttura deformata: l eq. in conf. indef. è un controsenso fisico!!) (rev. 1/06/006) Capitolo 6: 5/5 Condizione di equilibrio di un sistema discreto e linearizzazione Immaginiamo di poter scrivere l equilibrio in forma vettoriale come: F int P ( ) ( ) ( ) = Fint KT 0 0 F int int () = P vettore delle forze interne (dipendente dalla struttura) spostamenti nodali (incogniti) carichi esterni (dati) Caso lineare: F int ()=K lin Caso non-lineare: linearizzazione attorno a 0 in equilibrio (F int ( 0 )=P 0 ): F F + Δ = F + Δ +... = P + ΔP = P int int int K Δ P F T int matrice di rigidezza tangente condizione di equilibrio equilibrio linearizzato (rev. 1/06/006) Capitolo 6: 6/5 3

4 Obbiettivo dell analisi non-lineare e la procedura incrementale-iterativa Obbiettivo: tracciare la risposta carico-spostamento della struttura. Si assume il carico dipendente da un solo parametro scalare λ (moltiplicatore di carico): P = λ P ref Come il FEM discretizza la struttura nello spazio, la procedura incrementale effettua la discretizzazione del percorso caricospostamento: dato uno stato in equilibrio definito dalla coppia ( i,λ i ) la procedura incrementale stabilisce come si debba ricercare il successivo stato ( i+1,λ i+1 ). Poiché le equazioni di equilibrio sono non-lineari, ogni coppia in equilibrio è ricercata con l ausilio di un metodo iterativo. (rev. 1/06/006) Capitolo 6: 7/5 Ingredienti Procedura incrementale (criterio con cui vengono ricercate le coppie (,λ)): Controllo di carico Controllo di spostamento A lunghezza d arco Metodo iterativo (metodo con cui si risolvono le equazioni di equilibrio): Rigidezza tangente aggiornata (Newton-Raphson o N-R ) Rigidezza tangente non aggiornata (metodi modificati ) Rigidezza elastica (o rigidezza costante o rigidezza lineare ) Rigidezza secante (quasi-newton) Criterio di convergenza (grandezza con cui si misura l errore e che determina la fine delle iterazioni): Norma dei residui Norma degli spostamenti Norma energetica (rev. 1/06/006) Capitolo 6: 8/5 4

5 Esempio: contr. di carico + N-R + err. ass. residui Si parte da una posizione di equilibrio nota (e.g. supponendo che la struttura scarica sia in configurazione indeformata). All inizio di ogni passo incrementale si assume come prima ipotesi per gli spostamenti il valore al passo precedente. Con esso si valutano le forze interne e la rigidezza tangente (metodo di Newton). Si calcola il vettore dei residui. Si calcola la correzione degli spostamenti e il relativo valore aggiornato. Si verifica la bontà dell approssimazione (in questo esempio con l errore assoluto misurato sui residui): se non c è convergenza si continua ad iterare, altrimenti si accetta il valore * i, come in equilibrio con il moltiplicatore λ i. La procedura ha termine quando si raggiunge un valore massimo prestabilito di λ. Il risultato sono le coppie ( i,λ i ). (λ 0 =0, 0 =0) λ i = λ i-1 +Δλ * i,0 = i-1 F int = F int ( * i,-1 ) K T = K T ( * i,-1 ) R i, = λ i P ref -F int Δ * i, = K T -1 R i, * i, = * i,-1 +Δ* i, R i, <δ toll sì i = * i no ciclo iterativo (=1,, ) λ i λ max no sì FINE (rev. 1/06/006) Capitolo 6: 9/5 ciclo incrementale (i=1,, ) Procedura incrementale: controllo di carico λp ref punto limite (snap-through) ( i,λ i (,λ ( 1,λ 1 corrisponde ad un modo naturale di applicare il carico per passi impossibile seguire il percorso di equilibrio oltre il punti limite (rev. 1/06/006) Capitolo 6: 10/5 5

6 Procedura incrementale: controllo di spostamento P punto limite (snap-through) (λ 1 ref,p 1 ) (λ ref, P ) (λ i ref,p i ) punto di ritorno (snap-bac) Il moltiplicatore si applica agli spostamenti e si ricercano i carichi corrispondenti: tutti gli spostamenti assegnati devono essere fra loro proporzionali, ciò accade solo in pochi modelli fisici (e.g. carichi concentrati in prove sperimentali). consente di superare i punti limite ma non i punti di ritorno λ ref (rev. 1/06/006) Capitolo 6: 11/5 Procedura incrementale: a lunghezza d arco λp ref punto limite (snap-through) ( c ) = Δ λ + Δ (,λ ( i,λ i punto di ritorno (snap-bac) ( 1,λ 1 non si ha il controllo né sul carico né sugli spostamenti è possibile seguire ogni percorso di equilibrio (rev. 1/06/006) Capitolo 6: 1/5 6

7 λp ref Metodi iterativi: Newton-Raphson Κ T ( * i,1) Κ T ( * i,) ( i+1,λ i+1 λ i+1 P ref Κ T ( i ) ( * i,,f int (* i, )) R i,1 R i, λ i P ref ( i,λ i ) ( * i,1,f int (* i,1 )) Convergenza quadratica (poche iterazioni). K T viene T calcolata ed ed invertita ad ad ogni ogni passo (onere computazionale). Δ * i,1 Δ* i, Δ * i,3 (rev. 1/06/006) Capitolo 6: 13/5 Metodi iterativi: Newton-Raphson modificato λp ref λ i+1 P ref Κ T ( i ) Κ T ( i ) ( i+1,λ i+1 λ i P ref Κ T ( i ) ( i,λ i ) R R i, i,1 ( * i,,f int (* i, )) ( * i,1,f int (* i,1 )) K T viene T calcolata ed ed invertita una una sola sola volta: ciascuna iterazione è più più rapida. La La convergenza diviene lineare e dunque sono sono necessarie più piùiterazioni. Δ * i,1 Δ* i, Δ * i,3 (rev. 1/06/006) Capitolo 6: 14/5 7

8 Metodi iterativi: quasi-newton (della secante) λp ref λ i+1 P ref λ i P ref Κ T ( i ) ( i,λ i ) Κ S ( * i,1) Κ S ( * i,) ( i+1,λ i+1 R i, ( * i,,f int (* i, )) R i,1 ( * i,1,f int (* i,1 )) K T viene T calcolata ed ed invertita solo solo al al primo passo, ai ai passi successivi si si utilizza la la matrice di di rigidezza secante (più (piùrapida da da calcolare). La La velocità di di convergenza è intermedia fra fra il il metodo di di N-R N-R standard e quello modificato Δ * i,1 Δ * i, Δ* i,3 (rev. 1/06/006) Capitolo 6: 15/5 Metodi iterativi: rigidezza iniziale Il metodo della rigidezza iniziale (o elastica o costante) utilizza sempre la matrice di rigidezza elastica. Il metodo richiede in genere molte iterazioni e presenta la convergenza più lenta. In alcuni casi tuttavia rende l analisi più stabile. (rev. 1/06/006) Capitolo 6: 16/5 8

9 Metodi iterativi applicati alla procedura a lunghezza d arco iterazioni lungo normale fissa iterazioni lungo arco di circonferenza iterazioni lungo normale aggiornata (R-W-W) Esistono diverse varianti della procedura a lunghezza d arco che, assieme al tipo di iterazione con cui vengono implementati, prendono nomi specifici (e.g. il metodo di Ris-Wemper-Wessels è una procedura a controllo di lunghezza d arco che proietta lungo la normale, e itera alla Newton aggiornando le matrici). (rev. 1/06/006) Capitolo 6: 17/5 Criteri di convergenza La procedura iterativa termina quando: e δ δ errore relativo o assoluto dell iterazione corrente (calcolato dal programma) = < eref Le possibili varianti sono: a) nella scelta della grandezza da normare: 1) norma dei residui (R i, ) toll precisione ricercata (fissata dall utente) ) norma delle correzioni degli spostamenti (Δ * i, ) 3) norma energetica (prodotto di R i, per Δ * i, ) b) nella scelta del tipo di norma (euclidea, max-abs, sum-abs, ). c) nella scelta della quantità di riferimento (se si considera l errore assoluto è e ref = 1.0, se si considera l errore relativo è e ref = e 1 ). (rev. 1/06/006) Capitolo 6: 18/5 9

10 Scelta dell algoritmo Non è possibile definire a priori l algoritmo migliore, ma va scelto di volta in volta in base a: Non-linearità fisica o geometrica Hardening o softening Dimensione del problema Carichi applicati in singoli punti o su intere superfici Non-linearità improvvise o graduali (rev. 1/06/006) Capitolo 6: 19/5 Esempio di elemento geometricamente N-L: biella in formulazione lagrangiana totale y coordinate locali x v 1 Interpolazione degli spostamenti: derivate degli spostamenti: v v 4 v 3 E A Deformazioni (congruenza non-lineare): Sforzi (legame lineare): σ xx = Eε xx 1 ξ 1+ ξ v1 0 0 ux v u = y 1 ξ 1+ ξ v v 4 ux u u 1+ u 3 4, y u + u = = x x trascurabile rispetto al termine lineare ux 1 ux 1 u y ε xx = + + x x x (rev. 1/06/006) Capitolo 6: 0/5 10

11 Rigidezza elastica e rigidezza geometrica 1 1 EA u 1 u y x U = d d σxxεxx = Energia interna: EAε 0 xx x = + = x x 4 trascurabile rispetto al EA ux u uy 1 uy x termine del terzo ordine = x + + x x 4 x EA ( v3 v1) N ( v4 v) AE + dove: N = ( v3 v1) U Primo teorema di Castigliano: ij = vi vj Matrice di rigidezza tangente AE N in coordinate locali: T = E + G = E rigidezza elastica (si ottiene considerando la congurenza lineare). G rigidezza geometrica (dipende dallo stato di sollecitazione). E (rev. 1/06/006) Capitolo 6: 1/5 G Trasformazione di coordinate e commento Trasformazione di coordinate: T glob = T Q TQ con: c s 0 0 s c 0 0 Q = 0 0 c s 0 0 s c c = cosα s = sinα y Y x α X coordinate globali L approccio classico appena visto, è formulato in modo tale che l espressione delle forze interne abbia la forma approssimata: la cui derivata non è T! ( ) = ( ) f v v v int glob glob T glob glob (rev. 1/06/006) Capitolo 6: /5 11

12 Esempio di elemento fisicamente N-L: legge elastica bi-lineare a trazione σ Legame: Eε se ε ε0 σ = Eε 0 + E1( ε ε0) se ε > ε0 E 1 E 1 Legame tangente: σ E D = = ε E se ε ε 0 se ε > ε 1 0 ε 0 1 σ ε Attenzione: in scarico e ricarico segue sempre lo stesso percorso, NON è un comportamento plastico nel quale i percorsi di scarico hanno pendenza parallela al tratto iniziale: ε (rev. 1/06/006) Capitolo 6: 3/5 Congruenza (lineare): Legame (non-lineare): ettore delle forze interne in coordinate locali (equilibrio): Matrice di rigidezza tangente in coordinate locali: Biella elastica bi-lineare a trazione v v 4 v3 v1 ε = v 1 v 3 Eε se ε ε0 σ = Eε0 + E1( ε ε0) se ε > ε0 Linearizzazione del N 1 legame: 0 0 σ E se ε ε 0 fint = = Aσ D = = N 1 ε E1 se ε > ε fint fint σ ε AD T = = = v σ ε v Segue la consueta trasformazione in coordinate globali. Naturalmente è possibile formulare elementi con non-linearità fisiche e geometriche contemporaneamente! (rev. 1/06/006) Capitolo 6: 4/5 1

13 Nel prossimo capitolo Cenni di stabilità computazionale (rev. 1/06/006) Capitolo 6: 5/5 13