Compositi: teoria dei laminati

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1 Compositi: teoria dei laminati Introduzione Il laminato singolo Equazioni costitutive e proprietà Criteri di rottura Fibre fuori asse

2 Introduzione: progettazione Materiali e frazione fibre Spessore laminato Design laminato singolo Dimensione sublaminato Angoli possibili Ranking method Carichi massimi ammissibili Ranking rottura Verifica deformazioni Massime deformazioni Ranking per rigidezza Verifica a rottura Disposizione laminati Specifiche multilaminato

3 Introduzione: design multilaminato Design laminato: Materiali e proprietà (lezioni precedenti Equazioni costitutive (progettazione a rigidezza Criteri di rottura (progettazione a rottura Laminato con fibre fuori asse Multilaminato Equazioni costitutive multilaminato Criteri di rottura Il sublaminato The ranking method Disposizione laminati e regole per un buon design

4 Il laminato singolo: ipotesi di base Lavoriamo in regime lineare elastico: frazione fibre elevata => rottura quando abbiamo rottura delle fibre Sforzo piano: si considera il laminato sottile per cui lo sforzo nella direzione perpendicolare al laminato è trascurabile e il laminato è libero di deformarsi nella direzione perpendicolare Laminato a fibre unidirezionali: le proprietà di base possono essere calcolate o misurate sperimentalmente Regime di piccole deformazioni.

5 Equazioni costitutive laminato Sforzo piano: " z = 0 " = Q# dove: # " = $ " x " y " s ' ( Q = e in maniera esplicita: $ E x ' # x Q yy 0 1"# x # y E # y Q y xx 0 1"# x # y 0 0 E s ( " y = " x E y E x # " = $ $ E x # y E x ' 0 1"# x # y 1"# x # y # Q = x E y E y 0 1"# x # y 1"# x # y 0 0 E s ( " x " y " s ' (

6 Equazioni costitutive laminato Nel caso isotropo otteniamo: $ E #E 0 1"# 2 1"# 2 #E E Q = 0 1"# 2 1"# E 2 1+ # ( esplicitando otteniamo le equazioni per sforzo piano: " x = E ( 1#$ + $ 2 x y " y = E 1#$ 2 y + $ x " s = = G' = ( E 2( 1+ $ s ' (

7 Proprietà per alcuni laminati

8 Resistenze e deformazioni a rottura X = Resistenza longitudinale a trazione X = Resistenza longitudinale a compressione Y = Resistenza trasversale a trazione Y = Resistenza trasversale a compressione S = Resistenza a taglio longitudinale

9 Criterio di rottura lineare Per un laminato ortotropico soggetto a sforzi o deformazioni combinati il criterio di rottura 2- dimensionale lineare si scrive come: " max = R" appl " max = R" appl R viene definito come il rapporto tra lo sforzo (o deformazione a rottura e quello applicato (applicata. Di conseguenza abbiamo: se R=1, si ha rottura se R>1, ad esempio R=2, il fattore di sicurezza è 2, cioè possiamo avere un incremento dello sforzo quasi doppio senza rottura. se R<1 lo sforzo eccede quello a rottura e indica che il laminato è sottodimensionato di 1/R

10 Criterio di rottura quadratico Il criterio lineare non funziona bene nel caso di carichi biassiali. F ij " j + F i #1, i, j = x, y,s dove: F xx = 1 XX', F yy = 1 YY', F ss = 1 S 2 F x = 1 X " 1 X', F y = 1 Y " 1 Y', F s = 0 F xy = F xy * F xx F yy, "1< F xy * <1 F xy * è il termine normalizzato di interazione e deve essere determinato sperimentalmente tramite un test biassiale. Altrimenti va preso con buona approssimazione come -0.5.

11 Caso isotropo Nel caso isotropo si può dimostrare che il criterio equivale a Von Mises. In tal caso abbiamo: X = X'= Y = Y' S = X 3 inoltre poniamo: otteniamo allora: F xy * = "0.5 (" x #" 2 y + 3" 2 s $ X 2 che corrisponde a Von Mises nel caso generale (con x e y assi principali di sforzo, il taglio diventa 0.

12 Elissoidi di rottura nello spazio degli sforzi

13 Criterio di rottura quadratico per gli sforzi Si ha rottura per combinazione di sforzi che escono dagli elissoidi, utilizzando il rapporto R come per il criterio lineare possiamo scrivere: F ij " j R 2 + F i R #1= 0, R $1 Risolviamo l equazione in R: ar 2 + br "1= 0 a = F ij " j, b = F i solo la soluzione positiva è quella corretta: R = " b 2a + # b ( $ 2a' a

14 Criterio quadratico nello spazio delle deformazioni Analogamente agli sforzi: G ij " j + G i #1, i, j = x, y,s dove: G xx = F xx Q 2 2 xx + 2F xy Q xx Q xy + F yy Q xy G yy = F xy Q 2 2 xy + 2F xy Q yy Q xy + F yy Q yy ( + F yy Q yy Q xy 2 G xy = F xx Q xx Q xy + F xy Q xx Q yy + Q xy 2 G ss = 4F ss Q ss G x = F x Q xx + F y Q xy G y = F x Q xy + F y Q yy risolvendo l equazione in R: G ij " j R 2 + G i R #1= 0, R $1 ar 2 + br "1= 0 a = G ij " j, b = G i R = " b 2a + # b ( $ 2a' a

15 Elissoidi di rottura nello spazio delle deformazioni

16 Caso con fibre di Kevlar

17 Laminato con fibre fuori asse Le proprietà, equazioni costitutive etc. si ottengono tramite trasformazione d assi rispetto alle equazioni già viste. Per un laminato con fibre ruotate di un angolo! basta analizzare il laminato uniassiale ruotato di un angolo!. La trasformazione d assi si ottiene dalle relazioni geometriche usuali: " = Q# "' = T" = TQ# "' = TQT T #' "' = Q'#' Q' = TQT T

18 Le matrici di trasformazione La matrice T si scrive in termini dell angolo di rotazione! # m 2 n 2 "2mn ( m = cos" T = n 2 m 2 2mn ( $ mn "mn m 2 " n 2 ' ( n = sin" e la matrice Q in funzione di Q diventa: Q xx Q yy Q xy Q ss Q xx m 4 n 4 2m 2 n 2 4m 2 n 2 Q yy n 4 m 4 2m 2 n 2 4m 2 n 2 Q xy =Q yx m 2 n 2 m 2 n 2 m 4 +n 4-4m 2 n 2 Q ss m 2 n 2 m 2 n 2-2m 2 n 2 (m 2 -n 2 2 Q sx =Q xs m 3 n -mn 3 mn 3 -m 3 n 2(mn 3 -m 3 n Q sy =Q ys mn 3 -m 3 n m 3 n- 2(m 3 n-mn 3