Micromeccanica e Macromeccanica dei MaterialiCompositi

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1 Micromeccanica e Macromeccanica dei Materialiompositi orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino

2 Micromeccanica Micromeccanica La micromeccanica studia le proprietà della singola lamina note le proprietà delle fibre e della matrice. orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino

3 Micromeccanica istema di Riferimento Locale Direzione : longitudinale rispetto alla direzione delle fibre Direzione : ortogonale rispetto alla direzione delle fibre Lamina orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino 3

4 Micromeccanica Proprietà in direzione direzione direzione delle fibre P L P F V F + P M V M P L : Proprietà lamina direzione Dir.: proprietà fibre P F : P M : V F : V M : Proprietà fibra Proprietà matrice Frazione volumetrica di fibre Frazione volumetrica di matrice orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino 4

5 Micromeccanica Proprietà in direzione direzione direzione ortogonale alle fibre P L V P F F + V P M M P L : Proprietà lamina direzione P F : Proprietà fibra P M : Proprietà matrice V F : Frazione volumetrica di fibre Dir. : proprietà matrice V M : Frazione volumetrica di matrice orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino 5

6 Micromeccanica Noti E E F M Micromeccanica E L E L E F V E V F F F + E V + E Lo studio delle lamine si effettua sulle zone che non risentono degli effetti di bordo. M M M V M orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino 6

7 Micromeccanica E E E V + Risultati ottenuti G E f f G f E V f f m f G V f m E Em + E f m G m + G V m m m m V V υ υ V + υ V f m f Ipotesi assunte: Entrambe le fasi hanno comportamento elastico lineare; Le fibre hanno tutte lo stesso modulo elastico; Le fibre sono continue, cilindriche e perfettamente parallele; Esiste una perfetta adesione tra le fibre e la matrice. MATRIE E υ υ E FIRE INTERFAIA orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino 7

8 Micromeccanica alcolo di E nelle direzioni principali Materiali: Resina poliestere E m 4000 MPa Fibre di vetro E f MPa orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino 8

9 Micromeccanica Legame costitutivo Il legame sforzi deformazioni è dato dalla legge di Hooke: Q Q è una matrice di 998 elementi Ma se ipotizziamo:. omportamento elastico lineare: In forma matriciale: τ τ τ γ γ 3 γ 3 36 componenti per la matrice Q orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino 9

10 Micromeccanica. Indipendenza dell Energia Potenziale dalla direzione di carico: Energia potenziale Ep δ è la stessa direzione di carico Matrice simmetrica: ij ji da 36 a componenti 3. Lastra sottile: direzione 3 trascurabile da a 6 componenti orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino 0

11 Micromeccanica Equazione costitutiva L equazione costitutiva della lamina è: τ Q Q Q Q Q Q Q3 Q3 Q γ Data l equazione costitutiva della lamina, se conosco le deformazioni, posso determinare lo stato di sollecitazione(,) della lamina. orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino

12 Micromeccanica Legame costitutivo τ γ [] Matrice di rigidezza orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino

13 Micromeccanica Legame costitutivo 3 γ [] Matrice di edevolezza τ orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino 3

14 Micromeccanica viluppo del modello viluppando la notazione matriciale: τ γ τ τ orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino 4

15 Micromeccanica + + τ 3 arico in direzione 0, τ 0 E orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino 5

16 Micromeccanica E Per determinare posso quindi agire in due modi: a) Applico il teorema della media: E E f V f + E m V m ; dai dati dalla micromeccanica calcolo E e ne faccio l inverso; a) Faccio la prova di trazione in direzione e misuro ed dai quali ricavo. orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino 6

17 Micromeccanica + + τ 3 arico in direzione 0, τ 0 E orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino 7

18 Micromeccanica γ τ Applico un taglio puro τ 0, 0 γ 33τ 33 τ γ G orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino 8

19 Micromeccanica γ τ τ γ τ τ e carico lungo l asse un pezzo geometricamente simmetrico, anche la deformazione sarà simmetrica, non ci devono essere scorrimenti γ, quindi: tesso discorso per la direzione : orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino 9

20 Micromeccanica - γ τ τ τ 3 33 Osservazione: υ υ E E υ υ E E υ E E υ E >> E υ >> υ Preferiamo lavorare con ν perché è più facile da misurare. orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino 0

21 Micromeccanica oncludendo E υ E 0 υ E E G Ho bisogno di tre prove per il calcolo dei coefficienti della matrice: -TrazionenelladirezioneperdefinireE -TrazionenelladirezioneperdefinireE -TaglioperdefinireG orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino

22 Micromeccanica Matrice di rigidezza Q Dobbiamo invertire la matrice: Elementi della matrice di rigidezza: Q Q Q 0 E υ υ Q E υ υ Q 33 G υe υe υ υ υ υ orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino

23 Macromeccanica Macromeccanica La Macromeccanica studia i modelli analitici che prevedono il comportamento del composito conoscendo le proprietà di ogni singola lamina (proprietà studiate con la micromeccanica ). orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino 3

24 Macromeccanica LAMINA LAMINATO y chema riferimenti: +Ѳ onoscendo le proprietà in direzione di una lamina, se gli assi di riferimento del laminato sono y, con una matrice di trasformazione T posso passare dalle tensioni (o deformazioni) della lamina a quelle del laminato. orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino 4

25 Macromeccanica Tensioni τ y y [ ] T τ orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino 5

26 Macromeccanica Deformazioni y [ ] T γ γ y orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino 6

27 T cos ϑ sin ϑ sinϑcos ϑ Macromeccanica Matrice di rotazione T sin ϑ cos ϑ + sinϑcosϑ sinϑcosϑ sinϑcosϑ cos ϑ sin ϑ quindi: y τ y cos sin ϑ + ϑ + τ ϑ τ sinϑcosϑ sinϑcosϑ sinϑcosϑ + sinϑcosϑ + τ ϑ + sin cos ( ϑ ϑ) cos sin orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino 7

28 Macromeccanica Proprietà della lamina assi valori di disorientamento delle fibre della lamina rispetto alla direzione di carico causano una notevole perdita della resistenza orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino

29 Macromeccanica Matrice di rotazione T onoscendo,, τ, conoscendo l angolo ϑ, calcoliamo, y e τ y attraversoiltensoret; Posso così passare da LAMINA a LAMINATO. tesso discorso vale per le deformazioni. orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino 9

30 Macromeccanica Legame costitutivo Dobbiamo ora cercare il legame costitutivo: [ Q ] Q [ ] [ ] [ ] T Q T Volendo calcolare le deformazioni conoscendo le tensioni: γ y y [ ] Q τ y y orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino 30

31 Macromeccanica [ ] T [ ] [ ] T [ ] [ ] T [ ] [ ] Q [ ] [ ] T [ ] T Q [ ] T Q T [ ] Q [ ] orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino 3

32 Macromeccanica Legame costitutivo Volendo calcolare le deformazioni conoscendo le tensioni: γ y y [ ] Q τ y y orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino 3

33 Macromeccanica arichi esterni e deformazioni Nella progettazione noi ragioniamo sui carichi esterni (di tipo meccanico, termico, etc.) e vogliamo determinare le deformazioni che ne derivano: N A A A N N M M M y y y y A A 6 6 A A 6 6 A A D D D 6 6 D D D 6 6 D D D γ K K K 0y 0y y y orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino 33

34 Macromeccanica oefficienti tensore A ij ij D ij n i ij i i Q ( h h ) n numero di lamine n Q i ij ( hi h i n 3 3 Q i ij ( hi h i ) ) 3 h i -h i- spessore h i distanza dall asse della faccia superiore della i-esima lamina h i- distanza dall asse della faccia inferiore della i-esima lamina i dimostra che: A ij dipendono dallo spessore e non dalla posizione della lamina nel laminato ij e D ij dipendono dalla posizione della lamina s h i- h i orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino 34

35 Macromeccanica Laminato simmetrico i parla di LAMINATO IMMETRIO quando lamina orientata di θ, ad una certa distanza dall asse, ce n è un altra uguale dall altra parte. i dimostra che in tali condizioni otteniamo: b ij h ij 0 0 N 0y Ny γ 0y aij 0 Ny K 0 dij M K M K y y M y y orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino 35

36 Macromeccanica Laminato simmetrico Ho così separato ciò che accade nel piano da ciò che accade fuori del piano: 0 a a a6 a a a6 a a a N N 0y y γ 0 y N y Nel piano K K K y y d d d 6 d d d 6 d d d M M M y y Fuori del piano orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino 36

37 Macromeccanica Laminato equilibrato isogna ora annullare gli scorrimenti: si dimostra che ciò avviene se faccio un laminato EQUILIRATO cioè ad ogni angolo -θ corrisponde un angolo +θ. 0 +θ θ +θ θ orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino 37

38 Macromeccanica Laminato equilibrato N N N M M M y y y y A A A 6 6 A A A 6 6 A A A D D D 6 6 D D D 6 6 D D D γ K K K 0 0y 0y y y orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino 38

39 Macromeccanica Laminato simmetrico-equilibrato 0 +θ θ θ +θ Osserviamo che tale laminato rispetta entrambe le condizioni. γ 0 0y 0y a a 0 a a a 66 N N N y y In tal modo otteniamo da parte del laminato un comportamento isotropo, cioè si allunga nella direzione del carico e si restringe in direzione ortogonale al carico. orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino 39

40 Macromeccanica OMPOITI A FIRE ORTE I moduli di rigidità differenti generano nel composito deformazioni diverse tra fibra e matrice e quando si applica un carico nascono sollecitazioni di taglio attraverso le quali si trasferiscono i carichi dalla matrice alla fibra. orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino

41 Macromeccanica OMPOITI A FIRE ORTE Per il calcolo della lunghezza critica della fibra si uguaglia la forza per rompere a trazione la fibra con quella che si sviluppa sulla superficie laterale per la sollecitazione di taglio. πd f πdl F rott. fibre f 4 c τ traz f τ d l c orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino

42 Macromeccanica Proprietà di compositi a fibre corte L equazione di Halpin-Tsaiè una relazione empirica per la valutazione delle proprietà di un materiale composito a partire dalle proprietà della matrice e del rinforzo considerando I fattori geometrici (llunghezza fibra, ddiametro) e le proporzioni delle fasi. ζ l/d orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino

43 Fine orso di Tecnologie dei Materiali non onvenzionali - Prof. Luigi arrino 43