LEGAME COSTITUTIVO. Le costanti che caratterizzano la tipologia del materiale nelle equazioni costitutive vanno definite da prove di laboratorio.

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1 LEGAME COSTITUTIVO Le equazioni indefinite di equilibrio e le equazioni indefinite di compatibilità prescindono dalla natura del materiale che costituisce la trave elastica. Tali equazioni che ne governano la Statica e la Cinematica si scrivono indipendentemente le une dalle altre. È da tener presente che nella realtà deformazioni e spostamenti nascono in seguito all applicazione di forze esterne e/o di carichi distorcenti (escursioni termiche, ad esempio). Per risolvere il problema strutturale, dunque, occorre associare alle equazioni di equilibrio e di congruenza un ulteriore set di equazioni, dette di legame costitutivo, che descrivano la legge secondo cui il materiale costituente la struttura si deforma per effetto delle sollecitazioni. Le costanti che caratterizzano la tipologia del materiale nelle equazioni costitutive vanno definite da prove di laboratorio. 1

2 LEGAME COSTITUTIVO Scorrimento angolare Raggio di curvatura Dilatazione assiale du = u = ( ρ) dρ+ C1 ; per cost δ = u ( L) = L= d 0 T M = ; γ = ; κ =. k kz k ϕ Equazioni Costitutive PL k 2

3 Equazioni Indefinite di Equilibrio e Compatibilità d d dt d dm d + p () = 0; + p () = 0; z T () + m () = 0. dq d T BQ + f = 0 p () T f = pz ; Q T() ; B = = m M γ κ du = d du d dϕ = d. ; z = + ϕ ; du q = BU + ; d u U = uz ; q γ ; B = =. ϕ κ

4 Equazioni Costitutive Equazioni costitutive 4

5 Trave di Bernoulli-Eulero γ κ du = ; d du z = + ϕ d dϕ =. d ; IPOTESI di Bernoulli-Eulero (o di Bernoulli-avier) γ ( ) 0 ϕ κ du = ; d duz = d = 2 duz 2 d ;. T γ 0 Trave di Bernoulli-Eulero (o di Bernoulli-avier ) γ = 0 5

6 Trave di Bernoulli-Eulero IPOTESI di Bernoulli-Eulero(o di Bernoulli-avier): γ ( ) = 0 Equazioni che governano il problema per travi a sezione costante d + p = 0; d dt + pz = 0; d dm T = 0. d Equazioni indefinite di Equilibrio = κ = Il problema della trave di Bernoulli-Eulero è governato da sette equazioni sette incogn ite : k M k ϕ Equazioni Costitutive ;. du d 2 duz = = κ. 2 d Equazioni indefinite (5 differenziali e 2 algebriche) con, κ, u u, T, M,, z. LASOLUZIOE E' UICA 6 di Compatibilità ;

7 Trave di Bernoulli-Eulero IPOTESI di Bernoulli-Eulero(o di Bernoulli-avier): ( ) 0 γ = Schema di soluzione per struttura ISOSTATICA Si valutano dapprima le caratteristiche della sollecitazione:, T, M. κ = = k M k ϕ ;. κ u z = = du dϕ d d ( ρ) ( ρ) 1 = 0 u = dρ + C 0 ϕ = κ dρ + C ρ ϕ ρ dρ + C = κ ρ dρ dρ + C+ C ; ;. 7

8 Comportamento del materiale Comportamento elastico del materiale k = P EA Comportamento elastico lineare u L k = = PL EA Il parametro E, noto come modulo di elasticità longitudinale o di Young del materiale, si determina dalla prova di trazione o di compressione. Comportamento plastico del materiale 8

9 IL VETTORE TESIOE Si supponga di suddividere in due porzioni un mezzo continuo, soggetto a forze di volume ed a forze di superficie sulla frontiera. Affinché ciascuna porzione resti in equilibrio occorre postulare la presenza di forze di superficie sulla frontiera di separazione. t n DF n S DS P n M P n -n -t DS n F n n n cosα n= ny = cosα y n z cosα z

10 IL VETTORE TESIOE Considerata la frontiera di separazione un intorno di area DS, centrato nel punto P ed ortogonale al versore n (uscente). Indicati con DF e DM la forza risultante ed il momento risultante, si postula secondo Cauchy il vettore tensione (o sforzo) t n = t n (P) nel punto P. Il vettore tensione t n varia al variare del punto P e del versore n.

11 TESIOE ORMALE e TESIOE TAGEZIALE Il vettore tensione può essere decomposto secondo una terna assoluta o secondo una terna cartesiana avente un asse orientato come la normale alla sezione: tensioni normali e tangenziali τ nr n τ n τ ns τ = + τ n τ nr ns

12 TESIOE ORMALE e TESIOE TAGEZIALE F y F t F z F S t = lim F / S; = lim F / S; τ = lim F / S; τ = lim F / S A 0 y y z z A 0 A 0 A 0 12

13 TESIOE ORMALE e TESIOE TAGEZIALE Se la trave di Bernoulli-Eulero, soggetta a solo sforzo normale, è tagliata lungo la sezione trasversale, le tensioni tangenziali sono nulle. τ = = Pcosθ Psin θ tn A 0 A 0 = P/ A 0 13

14 TESIOE ORMALE Prima di analizzare la prova di trazione si determinano le tensioni normali in una trave elastica soggetta a sforzo normale, prescindendo dagli effetti locali = A, dimensionalmente pari ad una forza/superficie è la tensione normale Esperimento di Saint-Venant = A Effetti locali Privo di attrito 14

15 TESIOE ORMALE Prima di analizzare la prova di trazione si determinano le tensioni normali in una trave elastica soggetta a sforzo normale, prescindendo dagli effetti locali = A La tensione normale rappresenta l azione interna media s av = PAin direzione normale alla sezione trasversale. Essa coincide con quella effettiva se il punto di misura è ad un opportuna distanza dalla sezione di estremità (Postulato di SAIT-VEAT). 15

16 LA PROVA a TRAZIOE La rigidezza assiale e le tensioni di snervamento e rottura di una trave soggetta a sforzo normale, costituita da materiale metallico, si determinano con la prova di trazione. Elastico Snervamento Incrudimento Strizione s Massimo Rottura Inizio snervamento Retta interpolante Andamento elastico lineare effettivo 16

17 LA PROVA a TRAZIOE - Attrezzatura Cunei di afferraggio Braccetti Estensimetro Andamento sperimentale dello sforzo durante la prova di trazione per una barra di acciaio da c.a. Zwick/Roell 600K 17

18 LA PROVA a TRAZIOE Valutazione della rigidezza assiale mediante la prova di trazione. = A 18

19 LA PROVA a TRAZIOE s E tensione di snervamento del materiale; deformazione estensionale al limite elastico; R tensione di rottura del materiale; R dilatazione a rottura. s am R s am R Materiale duttile E R Acciaio a basso tenore di carbonio. E R Lega di alluminio. µ µ = duttilità del materiale. R E am s = ; am tensione ammissibile del materiale; γ am γ am coefficiente di sicurezza del materiale. 19

20 LA PROVA a TRAZIOE Un materiale fragile non avendo capacità dissipative non può dissipare energia. E R am µ R E 0 Materiale fragile 20

21 LA PROVA a TRAZIOE Comportamento elastico del materiale elastico lineare elastico non lineare Comportamento elastico lineare s 2 s Comportamento plastico del materiale Deformazione permanente s 21

22 LA PROVA a FLESSIOE Valutazione della rigidezza flessionale mediante la prova a flessione. + Diagramma momento flettente 22

23 M e LA PROVA a FLESSIOE Quando nella trave di Bernoulli-Eulero si supera, nella sezione inflessa, il momento limite elastico la sezione si plasticizza. Quando poi la sezione è interamente plasticizzata si forma la cerniera plastica. Si hanno così rotazioni a momento costante sino alla rottura che avviene quando oltre il momento anche la curvatura raggiunge il valore limite. Cerniera plastica M( B) = M Comportamento elasto-plasico 0 M 0 M M e M < M( B) < M e 0 Comportamento elastico lineare Cerniera plastica s s s s κ κ e M( B) = PL Me 23

24 MODULI DI ELASTICITA Valori indicativi di del modulo di Young o di elasticità longitudinale E determinato mediante la prova di trazione. Materiale Acciaio Ghisa Alluminio Legnami Tufo vulcanico Calcestruzzo Vetro E [k/mm 2 ] n