Soluzione numerica di equazioni differenziali

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1 Soluzione numerica di equazioni differenziali Laboratorio di programmazione e calcolo (Chimica e Tecnologie chimiche) Pierluigi Amodio Dipartimento di Matematica Università di Bari Soluzione numerica di equazioni differenziali p.1/10

2 Problema Si considera la soluzione numerica del seguente problema di Cauchy (problema a valori iniziali) y = f(t,y) t [t 0, t f ] y(t 0 ) = y 0 Si suppone che il problema abbia un unica soluzione (ad esempio che la funzione f : [t 0, t f ] R R sia Lipshitziana). Essendo la soluzione y una funzione, il metodo numerico è in grado di calcolare un approssimazione di essa in un numero finito di punti dell intervallo. Soluzione numerica di equazioni differenziali p.2/10

3 Approssimazione Sia h = t f t 0 n, dove n rappresenta il numero di punti in cui vogliamo calcolare la soluzione. Indichiamo con t i = t 0 + ih, i = 1,...,n, la discretizzazione dell intervallo [t 0,t f ]. Il metodo numerico più semplice si ottiene dalla formula di Taylor y(t i+1 ) = y(t i ) + hy (t i ) + h2 2 y (ξ i ). Trascurando l errore e sostituendo al valore esatto y(t i ) la sua approssimazione numerica y i si ha il metodo di Eulero esplicito y i+1 = y i + hf(t i,y i ). Soluzione numerica di equazioni differenziali p.3/10

4 Metodo di Eulero esplicito noto y 0, questo metodo determina ricorsivamente y 1,y 2,... il metodo si può anche ottenere approssimando y (t i ) con il rapporto incrementale y(t i+1) y(t i ) h graficamente il metodo corrisponde ad approssimare y(t 1 ) con il valore dato dalla retta tangente ad y(t) nel punto t 0 calcolata nel punto t 1 τ i = h2 2 y (ξ i ) è detto errore di troncamento locale e rappresenta solo l errore commesso al passo (i + 1)-esimo, supposto y i = y(t i ) Soluzione numerica di equazioni differenziali p.4/10

5 Errore Per calcolare l errore vero è necessario tener presente che l errore commesso al passo i viene amplificato al passo successivo, ed ad esso viene inoltre aggiunto l errore al passo i + 1. Posto e i = y(t i ) y i, si ha (considerando le formule precedenti) e i+1 = e i + h(f(t i,y(t i )) f(t i,y i )) + τ i. L obiettivo è di avere formule che mantengano l errore limitato quando il numero di punti considerato è basso, e che siano convergenti quando n (h 0). Soluzione numerica di equazioni differenziali p.5/10

6 Problema test scalare Si considera il problema con f(t,y) = λy di cui si conosce la soluzione teorica y(t) = e λ(t t 0) y 0. Tale soluzione oscilla se λ è complesso mentre è monotona se λ è reale. Inoltre: tende a zero se la parte reale di λ è negativa tende a infinito se la parte reale di λ è positiva è limitata se la parte reale di λ è nulla Il caso Re(λ) 0 corrisponde ad un problema ben condizionato e quindi al metodo numerico si richiede che sia stabile quando risolve tale problema. Soluzione numerica di equazioni differenziali p.6/10

7 Metodo di Eulero esplicito Si ha y i+1 = (1 + hλ)y i = (1 + hλ) i+1 y 0 da cui si ottiene che se 1 + hλ < 1 la soluzione tende a 0, viceversa se è maggiore di 1 tende a infinito (se è uguale a 1 allora la soluzione resta limitata. Quindi il metodo è stabile sull asse reale per λ [ 2, 0] e nel caso complesso nel cerchio di centro 1 e raggio 1. Questa è detta regione di assoluta stabilità. Analogamente l errore è e i 1 + hλ i+1 1 h 2 M, dove M 1 + hλ 1 2 è una maggiorazione della derivata seconda di y. Se h 0, allora 1 + hλ i+1 0, inoltre 1 + hλ > 0 e quindi e i hm 2 λ. Il metodo è convergente con ordine di convergenza 1 Soluzione numerica di equazioni differenziali p.7/10

8 Stabilità, consistenza, convergenza Il metodo numerico y i+1 = s(q)y i, q = hλ che approssima l equazione y = λy, Re(λ) < 0 si dice assolutamente stabile in q se s(q) < 1 convergente con ordine p se τ i+1 = O(h p+1 ) consistente se p 1 Soluzione numerica di equazioni differenziali p.8/10

9 Metodo di Eulero implicito y i+1 = y i + hf(t i+1,y i+1 ) τ i = O(h 2 ); ordine 2 e i+1 = 1 1 hλ e i hλ τ i = regione di assoluta stabilità: n ( ) i j 1 1 τ j 1 hλ 1 1 hλ 1, cioè la j=0 regione esterna al cerchio di centro 1 e raggio 1 il metodo richiede l applicazione del metodo di Newton per calcolare y i+1, noto y i Soluzione numerica di equazioni differenziali p.9/10

10 Metodo dei trapezi y i+1 = y i + h 2 (f(t i,y i ) + f(t i+1,y i+1 )) τ i = O(h 3 ); ordine 2 e i+1 = 1 + hλ/2 1 hλ/2 e i hλ/2 1 hλ/2 τ i = n j=0 ( ) i j hλ/2 τ j 1 hλ/2 1, cioè la regione di assoluta stabilità: 1 + hλ/2 1 hλ/2 regione del piano complesso con parte reale negativa il metodo richiede l applicazione del metodo di Newton per calcolare y i+1, noto y i Soluzione numerica di equazioni differenziali p.10/10