Laboratorio di Calcolo Numerico Laboratorio 7: Quadratura numerica

Transcript

1 Laboratorio di Calcolo Numerico Laboratorio 7: Quadratura numerica Claudia Zoccarato Dispense: Moodle Dipartimento ICEA 19 Aprile 2017

2 Introduzione Implementazione in MATLAB delle formule di quadratura numerica per l approssimazione dell integrale I = b f(x)dx: a Formula dei trapezi f(a) + f(b) I T (b a) 2 Formula dei trapezi composta I T,n (b a) n Formula di Cavalieri-Simpson I CV (b a) 6 Formula di Cavalieri-Simpson composta I CV,n (b a) 6n ( ) f0 + f n + f 1 + f f n 1 2 [ f(a) + 4f ( a + b 2 ) ] + f(b) (f 0 + 4f 1 + 2f 2 + 4f f 2n 2 + 4f 2n 1 + f 2n)

3 La formula dei trapezi semplice in MATLAB Si vuole calcolare l integrale I con la formula dei trapezi semplice: I = π/2 0 cos(x) dx % A p p r o s s i m a z i o n e d i un i n t e g r a l e con % l a f o r m u l a d e i t r a p e z i s e m p l i c e c l e a r c l o s e a l l % A p e r t u r a f i l e d i o u t p u t f i d = f o p e n ( r i s u l t. dat, w ) ; % D a t i i n i n p u t a = 0 ; b = p i / 2 ; % Chiamata a l l a function trap i n t = t r a p a, b ) ; % S c r i t t u r a f i l e d i o u t p u t f p r i n t f ( f i d, %e, i n t ) % C h i u s u r a f i l e f c l o s e ( f i d ) f u n c t i o n i n t e g r a l e = t r a p ( f, a, b ) % f u n c t i o n i n t e g r a l e = t r a p ( f, a, b ) % f u n c t i o n p e r i l c a l c o l o a p p r o s s i m a t o d i un % i n t e g r a l e con l a f o r m u l a d e i t r a p e z i % % I n p u t : f > f u n z i o n e da i n t e g r a r e % a, b > e s t r e m i d i i n t e g r a z i o n e % Output : i n t e g r a l e > v a l o r e i n t e g r a l e % a p p r o s s i m a t o i n t e g r a l e = ( b a ) 0.5 ( f ( a )+f ( b ) ) ; end

4 La formula dei trapezi composta in MATLAB Si vuole calcolare l integrale I = b a f(x) dx con la formula dei trapezi composta generalizzata al caso con n sotto-intervalli. Posti h = (b a) /n e x 0 = a, l integrale I viene approssimato con: I I T,n = n 1 i=0 h 2 (f (x i) + f (x i+1 )) (1) dove x i+1 = x i + h. L intervallo di integrazione è uniformemente suddiviso in n sotto-intervalli ciascuno di ampiezza h.

5 La formula dei trapezi composta in MATLAB Scrivere uno script chiamato integrale.m che: legge da file i valori a, b, ed n. Lo script chiama la funzione trapcomp che restituisce il valore approssimato dell integrale, I T,n. Alla fine dello script si effettuano le stampe. % A p p r o s s i m a z i o n e d i un i n t e g r a l e con % l a f o r m u l a d e i t r a p e z i composta c l e a r c l o s e a l l % A p e r t u r a f i l e d i o u t p u t f i d = f o p e n ( r i s u l t. dat, w ) ; % C a r i c o i n p u t DD = l o a d ( i n p u t. dat ) a = DD( 1 ) ; % estremo i n f e r i o r e b = DD( 2 ) ; % estremo s u p e r i o r e n = DD( 3 ) % numero s o t t o i n t e r v. % Chiamata a l l a function trapcomp i n t = trapcomp a, b, n ) ; i n t 2 = trapcomp2 a, b, n ) ; % S c r i t t u r a f i l e d i o u t p u t f p r i n t f ( f i d, %e %e, i n t, i n t 2 ) % C h i u s u r a f i l e f c l o s e ( f i d )

6 La formula dei trapezi composta in MATLAB Scrivere uno script chiamato integrale.m che: legge da file i valori a, b, ed n. Lo script chiama la funzione trapcomp che restituisce il valore approssimato dell integrale, I T,n. Alla fine dello script si effettuano le stampe. f u n c t i o n i n t e g r a l e = trapcomp ( f, a, b, n ) % f u n c t i o n i n t e g r a l e = t r a p ( f, a, b ) % f u n c t i o n p e r i l c a l c o l o a p p r o s s i m a t o d i un % i n t e g r a l e con l a f o r m u l a d e i t r a p e z i composta % % I n p u t : f > f u n z i o n e da i n t e g r a r e % a, b > e s t r e m i d i i n t e g r a z i o n e % n > numero s o t t o i n t e r v a l l i % Output : i n t e g r a l e > v a l o r e i n t e g r a l e % a p p r o s s i m a t o % V a l u t o ampiezza s o t t o i n t e r v a l l o h = ( b a ) /n ; % I n i z i a l i z z a z i o n e i n t e g r a l e = 0. 0 x0 = a ; % C i c l o su n s o t t o i n t e r v. f o r i =1:n x1 = x0 + h ; % secondo estremo i n t e g r a l e = i n t e g r a l e + t r a p ( f, x0, x1 ) ; % a g g i o r n o i n t e g r a l e x0 = x1 ; % a g g i o r n o primo estremo end end

7 La formula dei trapezi composta in MATLAB È possibile automatizzare il calcolo dell integrale per valori di n = 1, 2, 4,... scrivendo n = ( 2 0, 2 1, 2 2,... ). Il calcolo di I al variare di n si ottiene inserendo la chiamata alla funzione trapcomp all interno di un ciclo nello script principale: f o r j =0,8 n = 2ˆ j ; i n t = trapcomp ( f, a, b, n ) ; end

8 La formula dei trapezi composta in MATLAB Nell ipotesi di suddivisioni in parti uguali dell intervallo, la formula dei Trapezi composta si può scrivere in modo piú compatto come: ( ) (b a) f0 + f n I T,n + f 1 + f f n 1 n 2 f u n c t i o n i n t e g r a l e = trapcomp2 ( f, a, b, n ) % f u n c t i o n i n t e g r a l e = t r a p ( f, a, b ) % f u n c t i o n p e r i l c a l c o l o a p p r o s s i m a t o d i un % i n t e g r a l e con l a f o r m u l a d e i t r a p e z i compatta % % I n p u t : f > f u n z i o n e da i n t e g r a r e % a, b > e s t r e m i d i i n t e g r a z i o n e % n > numero s o t t o i n t e r v a l l i % Output : i n t e g r a l e > v a l o r e i n t e g r a l e % a p p r o s s i m a t o % V a l u t o ampiezza s o t t o i n t e r v a l l o h = ( b a ) /n ; % C o s t r u i s c o v e t t o r e con n o d i d e l l a f o r m u l a x = [ a : h : b ] ; % Valuto l a funzione in x y = f ( x ) ; % C a l c o l o i n t e g r a l e i n t e g r a l e = 0. 5 ( y ( 1 )+y ( n+1) + sum ( y ( 2 : n ) ) ; i n t e g r a l e = i n t e g r a l e h ; end

9 ESERCIZI 1 Approssimare l integrale I = 2 1 xln(x) dx con la formula composta dei Trapezi su suddivisioni uniformi dell intervallo dato. In particolare, si usino n = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 suddivisioni dell intervallo. Valutare analiticamente il valore dell integrale vero e, per ogni suddivisione, calcolare l errore di integrazione E T,n = I I T,n. Per ogni valore di n, stampare in una tabella i valori di: n, I, I T,n, E T,n, E T,n/2 /E T,n. Commentare la convergenza del rapporto tra gli errori E T,n/2 /E T,n. 2 Implementare uno script in MATLAB per il calcolo approssimato dell integrale I = π/2 0 cos(x)dx con la formula di Cavalieri-Simpson, mediante la funzione cavalieri.m che restituisce il valore approssimato dell integrale. I dati di input sono letti da file. Stampare in un file di output il valore dell integrale esatto I, dell integrale approssimato I CV e dell errore di integrazione E CV = I I CV.

10 ESERCIZI 3 Svolgere l esercizio (2) usando la formula di Cavalieri-Simpson composta e confrontare i risultati ottenuti con la formula dei Trapezi composta. 4 Svolgere l esercizio (1) con la formula di Cavalieri-Simpson composta. 5 Implementare la formula di estrapolazione di Richardson applicata alla formula di Cavalieri-Simpson per svolgere l esercizio (1). Commentare come evolve il rapporto tra gli errori ad ogni suddivione successiva dell intervallo di integrazione.