Calcolo Numerico Laurea di I livello in Ingegneria Elettronica ed Ingegneria delle Comunicazioni

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1 Calcolo Numerico Laurea di I livello in Ingegneria Elettronica ed Ingegneria delle Comunicazioni Prof.ssa Laura Pezza (A.A ) I Lezione del Tutte le informazioni e gli avvisi relativi al corso saranno reperibili all indirizzo laura.pezza/ 1

2 INFORMAZIONI GENERALI Orario del corso Lunedí: ore Aula 7 di Via Scarpa 16 Martedí: ore Aula 3 di Via Scarpa 16 Giovedì : ore Aula 3 di Vi Scarpa 16 Orario di spiegazioni Giovedì h , Stanza n.16, Palazzina RM002, Dip. SBAI, Via A. Scarpa 16. 2

3 Testi di riferimento: L. Gori Calcolo Numerico, Ed. Kappa (2006) L. Gori, M.L. Lo Cascio, F.Pitolli Esercizi di Calcolo Numerico, Ed. Kappa (2007) Testi consigliati per consultazione: M.L. Lo Cascio, Fondamenti di Analisi Numerica, Ed. (2008) McGraw-Hill S.D. Conte, C.de Boor, Elementary Numerical Analysis - An Algorithmic Approach McGraw-Hill (1981) W. Gautschi, Numerical Analysis - An introduction. Birkahaüser Ed. (1997) E. Süli, D. Mayers, An introduction to Numerical Analysis. Cambridge University Press (2006) 3

4 Modalità d esame E opzionale per la prova d esame una esercitazione sperimentale (da sviluppare, per esempio, in MATLAB) su un problema numerico, che lo studente dovrà consegnare al momento della prova scritta. L argomento della prova verrà assegnato individualmente. L esame comprende - una prova scritta (esercizi sui metodi studiati) - una domanda di teoria da sviluppare per iscritto - una prova orale (facoltativa) che include eventualmente la discussione sulle procedure adottate ed i risultati ottenuti nell esercitazione sperimentale. Per accedere all esame lo studente dovrà prenotarsi attraverso INFOSTUD presso il Centro Calcolo Didattico di V. Scarpa entro la data di scadenza fissata per ogni appello. 4

5 Date indicative degli appelli d esame 1 o Appello 12 Giugno o Appello 12 Luglio o Appello 18 Settembre 2018 Appello straordinario 10 Novembre 2018 Appello di recupero seconda metá di Gennaio 2019 Appello di recupero prima metá di Febbraio 2019 Appello straordinario Marzo/Aprile

6 Cos è il CALCOLO NUMERICO? Il Calcolo o Analisi Numerica è l area della matematica che - crea e analizza i metodi per ottenere una soluzione numerica dei problemi della matematica continua - studia gli algoritmi, implementabili su un calcolatore, dedotti dai metodi stessi. 6

7 Problemi della matematica continua (Punto di partenza): Problemi matematici in cui sono coinvolte variabili appartenenti a domini del campo reale R o complesso C (coppie di numeri reali). Sono i problemi, costruiti dalle scienze applicate, quali l ingegneria o la medicina, formalizzati attraverso modelli matematici nel continuo - per esempio, integrali, equazioni differenziali, sistemi lineari. Soluzione numerica (Punto di arrivo): è sempre costituita da un insieme discreto di numeri, che rappresenta la soluzione del problema ottenuta mediante l uso di un calcolatore sul quale si è implementato l algoritmo. Algoritmo è una successione finita (sequenza) di operazioni logicomatematiche. 7

8 Esempio Problema di Cauchy: { y (x) = f(x, y(x)) y(x 0 ) = y 0 Il metodo Fissati x 0 = a, x i = x 0 + ih, i = 1, 2,... [a, b] y (x i ) y(x i+1) y(x i ) h = f(x i, y(x i )) y i+1 = y i + hf(x i, y i ), i 0, y j y(x j ) 8

9 * = y(x i ) o= y i

10 La soluzione numerica x 0 = y 0 = 0, h 0 = 0.3 x i y(x i ) y i (h = h 0 ) y i (h = h 0 /2) y i (h = h 0 /8) x i e i (h = h 0 ) e i (h = h 0 /2) e i (h 0 /8)

11 Schema di procedura problema-modello matematico scelta del metodo/algoritmo numerico implementazione dell algoritmo verifica del programma esecuzione del programma analisi dei risultati!!! nel continuo nel discreto. in un linguaggio di programmazione su problemi test sul problema posto La soluzione numerica è accettabile solo se si sa stimare l attendibilità dei risultati perchè nei vari passaggi si introducono inevitabilmente degli errori 10

12 Quali errori? Errori di arrotondamento: dovuti essenzialmente al fatto che in un calcolatore si possono rappresentare solo numeri di lunghezza finita Errori di discretizzazione o troncamento: legati alla trasformazione di un problema nel continuo in un problema nel discreto 11

13 Il sistema di numeri macchina L insieme F dei numeri disponibile su un calcolatore è detto sistema di numeri macchina - F è un sottoinsieme di R discreto - F contiene numeri costituiti da un numero finito di cifre [ M, m] {0} [m, M], m > 0, M > 0 dipendenti dal tipo di calcolatore e/o di linguaggio usato. 12

14 Analisi Matematica Geometria, Algebra R: Numeri reali insieme infinito Analisi Numerica F: Numeri macchina insieme finito numeri di lunghezza infinita numeri di lunghezza finita 13

15 Esempi Errori di arrotondamento π e x R x F 10 x F 15 π Definizione x R valore esatto, x valore approssimato Errore assoluto e(x) = x x Errore relativo e r (x) = x x x (x 0) 14

16 Tabella degli errori sui valori π, 137 F 10 F 15 v R e(v) e r (v) e(v) e r (v) π -.41e e-9.32e-14.10e e-9.61e-10.25e-13.21e-14 L errore assoluto misura il numero di cifre decimali esatte L errore relativo misura il numero di cifre significative esatte x è il valore di x arrotondato sulla k-sima cifra decimale e sulla t-sima cifra significativa se k e t sono il massimo intero positivo per cui e(x) k, e r (x) t+1 15

17 Esempio: x = valore esatto, x = 0.01 valore approssimato. errore assoluto= = errore relativo= = = 0.33 = 33.3% = 1/3

18 Osservazione - L errore assoluto si considera (spesso) dotato di segno: errore assoluto positivo x approssimazione per difetto errore assoluto negativo x approssimazione per eccesso - Generalmente, non essendo disponibile x, si valuterà l errore relativo con x, disponibile, al posto di x. e r (x) = x x x (x 0) 16

19 Quando si introducono gli errori di arrotondamento? - sui dati di input quando / F. Esempio: (0.1) 10 = ( ) 2, 100 k=1 0.1 = (Matlab). - su ogni risultato che eccede la rappresentabilità di memoria Esempio: x = e 15 = Matlab ( F 16 ) fornisce: x = L arrotondamento sui numeri è la prima fonte di errore. 17

20 Propagazione dell errore di arrotondamento Legge generale x, y R operandi, x, y F valori approssimati f(x, y) legge di calcolo e (f(x, y)) = f(x, y) f(x, y ) = = f x (x, y )e(x) + f y (x, y )e(y) + R[e 2 (x), e 2 (y)] (Ip. f C 1, e(x) << 1, e(y) << 1) e (f(x, y)) f x (x, y )e(x) + f y (x, y )e(y). 18

21 Propagazione dell errore nelle operazioni algebriche Caso 1: somma algebrica f(x, y) = x ± y, x, y 0. e(x ± y) = e(x) ± e(y), e r (x ± y) x e r (x) ± y e r (y). x ± y Caso 2: prodotto f(x, y) = xy e(xy) y e(x) + x e(y) e r (xy) e r (x) + e r (y). Caso 3: divisione f(x, y) = x/y, y 0. e(x/y) y e(x) x e(y) (y ) 2, e r (x/y) e r (x) e r (y) 19

22 Esempio: x = 5, y = valore esatto, y = valore approssimato. errore assoluto sul secondo dato: y y = = Operazione con dati esatti: x/y = = Operazione con dato (y ) approssimato x/y = = 500 con y = y e(x/y) = x/y x/y = 166.6, (Approssimazione per difetto) e r (x/y) = = 0.33 condizionamento: = 33320

23 Errori di arrotondamento: alcuni danni Esempio 1 - L uguaglianza fra numeri reali q 1 (x) = (x 1) 7 q 2 (x) = x 7 7x x 5 35x x 3 21x 2 + 7x 1 Per l algebra q 1 (x) e q 2 (x) sono identiche x. MATLAB. 20

24 Grafico di q 1 e q 2 per x [0.9998, ] 1.5 x x I valori assunti da q 1 e q 2 non solo non coincidono, ma hanno ordine di grandezza sensibilmente differente: L uguaglianza fra numeri reali può non avere significato! Se p 1 p p 1 = p 2 nella precisione di macchina 21

25 Esempio 2 - La cancellazione numerica Consideriamo l equazione di secondo grado q(x) = ax 2 + bx + c = 0 e la formula classica che fornisce le soluzioni x 1 = b+ 2a x 2 = b 2a = b 2 4ac 22

26 a = 1, b = , c = ; Soluzione x 1 = , x 2 = n. cifre x 1 x 2 e r (x 1 ) e r (x 2 ) e-6.12e e e e-1.35e e-11 Le soluzioni dell equazione di secondo grado fornite dalla formula classica non si ottengono con la stessa accuratezza 23

27 Perchè? b, esatti nella precisione fissata b nel calcolo di x 2 = b 2a vicini si sottraggono numeri molto perdita di cifre significative, ovvero viene amplificato l errore relativo. (Cancellazione numerica) allora......bisogna evitare la sottrazione. 24

28 Ricordando che x 1 x 2 = c/a un altro algoritmo di calcolo è il seguente x 1 = b + sign( b) x 2 = c 2a a x 1 La radice di massimo modulo resta inalterata e per la radice x 2 si ottiene n. cifre x 2 e r (x 2 ) e e e-14 25

29 Stabilità e condizionamento Al problema della propagazione degli errori di arrotondamento sono associati il concetto di stabilità di un algoritmo condizionamento di un problema Un algoritmo si dice (numericamente) stabile se l output subisce solo piccole variazioni quando i dati di input subiscono piccole variazioni; si dirà instabile se non verifica tale condizione. 26

30 Modello matematico Stabilità di un algoritmo: esempio I n = 1 e Integrando per parti si ottiene ( I n = 1 e e 1 0 nxn 1 e x dx ) 1 0 xn e x dx = 1 ni n 1 Algoritmo di calcolo I 0 = 1 1 e I n = 1 ni n 1, n 1 (legge ricorsiva) 27

31 Osservazioni - x n e x > 0 per x (0, 1] I n > 0 n finito - x n < x n 1 per x (0, 1] I n < I n 1 ovvero {I n } è una successione monotona decrescente di valori positivi. Applichiamo la ricorrenza: I n = 1 ni n 1, n 1 I = I 0 numero macchina I 1 = 1 I 0 1 I 0 = = I 1 I 2 = 1 2I 1 1 2I 1 = = I

32 n In qualcosa non va! valori negativi? impossibile!!! E proseguendo si ha I 19 = I 20 = I 21 =

33 Tutta colpa della propagazione dell errore iniziale! Algoritmo applicato In = 1 nin 1 valore iniziale I 0, numero di macchina Algoritmo esatto I n = 1 ni n 1 valore iniziale I 0 R Ad ogni passo si commette un errore e n = I n I n = 1 ni n 1 (1 ni n 1 ) = ne n 1, n 1 e 1 = e 0, e 2 = 2e 1 = 2e 0, e 3 = 3e 2 = 2 3e 0 30

34 per induzione e n = ( 1) n n! }{{} e 0 Coeff. di amplificazione Il valore di innesco, I0, è arrotondato sulla 14a cifra decimale e , ma l errore iniziale cresce in modo proporzionale al fattoriale e diventa dominante rispetto ai valori esatti I n. e 20 20! e5 L algoritmo non è stabile! 31

35 Un nuovo algoritmo - la I n = 1 ni n 1 può essere letta anche I n 1 = 1 n (1 I n) (ricorsione all indietro) - poichè I n 0, per n sufficientemente grande si può assumere I n I n 1 I n = 1 ni n I n 1 n+1. Da I35 = applicando la ricorsione all indietro si ha = , che è il valore esatto nella precisione usata. I 20 Verificate che in questo caso l errore iniziale e 35 viene progressivamente abbattuto e pertanto L algoritmo è stabile! 32