kπ cos, k = 0, 1, 2,, n (NB: sono n +1) n

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1 Esempio di nodi NON equispaziati Nodi di Lobatto - Chebyshev: x k = kπ cos, k = 0, 1, 2,, n (NB: sono n +1) n Mappa: da t in [-1, 1] a x in [a, b]: x = b a a + b t Esercizio 1 Interpolare la funzione 1 f ( x) 2 1+ x, in [a, b] = [-5, 5] usando come nodi n+1 nodi di Lobatto - Chebyshev mappati in [a, b] ; provare per n = 2, 4, 8, 10, 12 e controllare l andamento dell errore. Esercizio 2 Per ciascun valore di n utilizzato sopra, visualizzare il polinomio nodale ω ( x) = n i= 0 ( x x i ) in corrispondenza della scelta di nodi equispaziati e di Chebyshev e commentare i risultati.

2 Spline Lineari Interpolanti Esercizio 3 Assegnati i punti di coordinate >> x=[ ]; >> y=[ ]; si disegni la spline interpolante lineare e i punti della tabella evidenziati con un cerchietto. Allo scopo si utilizzi il comando: >> pp = interp1(x, y, linear, pp ) che crea e memorizza la spline in pp-form (N.B. in alcune versioni Matlab x ed y devono essere vettori colonna). Per disegnarne il grafico valutare la spline in un vettore di punti ausiliari con il comando ppval. Esercizio 4 1 Approssimare con una spline lineare la funzione f ( x) 2 1+ x, nell intervallo [-5,5] suddiviso in m sottointervalli di ampiezza H. Definire punti equidistanti ausiliari in [-5, 5] e usarli: per disegnare sullo stesso grafico la funzione e la spline; per calcolare l errore di approssimazione (massimo modulo della differenza tra f e la spline). Riportare i risultati ottenuti nella sottostante tabella: m H=10/m Errore Verificare che: per m che tende all infinito l errore tende a zero; l errore è un O(H 2 ).

3 Spline Cubiche Interpolanti Esercizio 5 Assegnati i punti di coordinate x y si disegnino, sovrapposte, le spline cubiche interpolanti: not-a-knot comando: pp = spline(x, y) naturale comando: pp = ppspline(x, y, naturale ) vincolata comando: pp = ppspline(x, [alfa, y, beta], vincolata ) alfa e beta valori delle derivate prime seconda comando: pp = ppspline(x, [alfa, y, beta], seconda ) alfa e beta valori delle derivate seconde I comandi spline e ppspline creano e memorizzano la spline in pp-form. Valutare la spline per il grafico con il comando ppval. Commentare i risultati Esercizio 6 Fare il grafico delle derivate prima, seconda e terza di una delle spline costruite nell esercizio precedente (per la derivazione usare il comando ppder) e verificarne la regolarità

4 Esercizio 7 Ripetere l Esercizio 4 utilizzando spline cubiche naturali. Riportare i risultati ottenuti nella sottostante tabella: m H=10/m Errore Verificare che: per m che tende all infinito l errore tende a zero; l errore è un O(H 4 ). Esercizio 8 Ripetere l esercizio 7 con i seguenti dati: f(x) = sin(x), [a, b] = [0, pi]. Verificare che l errore è sempre un O(H 4 ). Determinare con quale ordine le derivare prima seconda e terza della spline approssimino rispettivamente le derivate prima seconda e terza di f(x).

5 Approssimazione ai minimi quadrati (polyfit) Esercizio 9 Assegnati i punti di coordinate: x y si calcoli il polinomio dei minimi quadrati di grado n. Si disegnino sullo stesso grafico il polinomio (linea continua) e i punti usati per calcolarlo (cerchietti). Si provi per n = 1, 2, 3. Che accade per n = 6? Verificare che la retta di regressione lineare (n = 1) passa per il punto che ha per coordinate rispettivamente la media delle ascisse e la media delle ordinate dei dati in tabella. Esercizio 10 Si considerino le coppie di dati definiti come >> x=linspace(0,1,10); >> y=10*x+rand(size(x)); Si calcoli il polinomio p 9 (x) di grado 9 che interpola i dati assegnati Si calcoli inoltre la retta di regressione che approssima i dati nel senso dei minimi quadrati. Si confrontino graficamente i polinomi calcolati rispetto ai dati assegnati. Se si ripete il calcolo dei dati, il vettore rand cambia e quindi anche i valori delle ordinate. Si commentino le proprietà rispettive dell'approssimazione ai minimi quadrati e dell'interpolazione di Lagrange in termini di sensibilità rispetto alle perturbazioni sui dati.

6 Esercizio 11 Data la funzione sin(x) in [0, 3*pi] si costruiscano polinomi di grado crescente che la approssimano nel senso dei minimi quadrati in 100 nodi equidistanti. Di ogni polinomio visualizzare i coefficienti e la somma degli scarti quadratici e stabilire quale grado sia il più conveniente. Esercizio 12 In un esperimento di laboratorio viene misurata la posizione di un corpo che cade soggetto alla forza di gravità. Le misurazioni vengono effettuate ad intervalli di tempo uniformi e i dati sono riportati nel file gravita.m (da scaricare alla pagina web del corso). Si costruisca il polinomio T2 di grado 2 che approssima i dati sperimentali nel senso dei minimi quadrati. Si rappresentino sul medesimo grafico i dati e il polinomio T2. Ricordando che la legge di moto che assegna la posizione del corpo in funzione del tempo è data da d(t) = d 0 + v 0 t +gt 2 /2 dove d 0 è la posizione iniziale, v 0 è la velocità iniziale e g l'accelerazione di gravità, sulla base dell'espressione di T2, si approssimi il valore dell'accelerazione di gravità g. Si compari il valore che si calcola in questo modo con il valore esatto g = m/s 2.

7 Esercizi aggiuntivi 1. I dati della tabella seguente riportano le aspettative di vita per gli abitanti dell Europa occidentale in diversi anni Si trovi la retta dei minimi quadrati che approssima questi dati e la si usi per stimare l aspettativa di vita della popolazione nel 1970, 1983 e Si verifichi poi che la retta passa per il punto che ha per coordinate i valori medi delle ascisse e delle ordinate dei dati in tabella. 2. Nella tabella seguente sono riportate le misure della densità r dell acqua di mare (in Kg/m 3 ) in funzione della temperatura T (in gradi Celsius) T r A partire da tali dati si calcolino i polinomi dei minimi quadrati di grado 1, 2, 3. Si considerino quindi le seguenti misurazioni e si deduca se le approssimazioni trovate sono ragionevoli o meno: T r