x i f(x i ) Soluzione: Primo metodo : interpolazione polinomiale, approccio di Newton ; Tavola delle differenze divise :

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1 ESERCIZIO 1 Si forniscano due approssimazioni polinomiali (ottenute con due metodi diversi) della funzione f(x) definita per punti dalla seguente tabella x i f(x i ) Primo metodo : interpolazione polinomiale, approccio di Newton ; Tavola delle differenze divise : x i f(x i ) parabola interpolatrice : p 2 (x) = (x+0.5) (x+0.5)(x-1). Secondo metodo : minimi quadrati, calcolo la retta sistema per il calcolo della retta dei minimi quadrati : a0 dalla cui risoluzione si trova a = retta dei minimi quadrati : p 1 (x) = a 0 + a 1 x + = x. a0 a = ESERCIZIO 2 Assegnata per punti la funzione f(x) : x i f(x i ) la si approssimi con una costante mediante il metodo dei minimi quadrati. la costante dei minimi quadrati coincide con il valor medio : y = a 0 = 5 i= 1 f ( x i )/5 =

2 ESERCIZIO 3 x i f(x i ) i) si imposti il sistema lineare per il calcolo della retta dei minimi quadrati ; ii) se ne esegua la fattorizzazione LU con pivoting parziale ; iii) si esegua la sostituzione in avanti ed indietro ; iv) si scriva l espressione della retta dei minimi quadrati. i) sistema per il calcolo della retta dei minimi quadrati : a0 a = ii) fattorizzazione LU della matrice del sistema : scambio prima e seconda riga [2 1] , m 21 = 5/11.5= , ; avremo L = e U = ; iii) risoluzione dei due sistemi triangolari : b [ ] Ly = b y = ; Ua = y a = ; iv) retta dei minimi quadrati : p 1 (x) = a 0 + a 1 x + = x. ESERCIZIO 4 x i f(x i ) i) si imposti il sistema lineare per il calcolo della retta dei minimi quadrati ; ii) se ne esegua la fattorizzazione LU con pivoting parziale ; iii) si esegua la sostituzione in avanti ed indietro ; iv) si scriva l espressione della retta dei minimi quadrati a0 i)sistema per il calcolo della retta dei minimi quadrati : a = ii) fattorizzazione LU della matrice del sistema : scambio prima e seconda riga [2 1]

3 , m 21 = 5/11.5= , ; avremo 1 0 L = e U = ; iii) risoluzione dei due sistemi triangolari : b [ ] Ly = b y = ; Ua = y a = ; iv) retta dei minimi quadrati : p 1 (x) = a 0 + a 1 x + = x ESERCIZIO 5 F() i) si imposti il sistema per il calcolo della parabola dei minimi quadrati ii) si esegua la fattorizzazione LU della matrice del sistema iii) si risolvano i due sistemi triangolari iv) si scriva l espressione della parabola dei minimi quadrati. i)sistema per il calcolo della parabola dei minimi quadrati : a 0 3 a1 = 5 a2 15 ii) fattorizzazione LU della matrice del sistema : scambio prima e terza riga [3 2 1] , m 21 = 0, m 31 = 0.4, ; poiche` m 32 = 0 avremo

4 L = e U = ; iii) risoluzione dei due sistemi triangolari : b [15 5 3] Ly = b y = 5 ; Ux = y x = 05. ; iv) parabola dei minimi quadrati : p 2 (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 = x x 2. ESERCIZIO 6 F() i) si imposti il sistema per il calcolo della parabola dei minimi quadrati ii) si esegua la fattorizzazione LU della matrice del sistema iii) si risolvano i due sistemi triangolari iv) si scriva l espressione della parabola dei minimi quadrati. i)sistema per il calcolo della parabola dei minimi quadrati : a 0 3 a1 = 7 a2 35 ii) fattorizzazione LU della matrice del sistema : scambio prima e terza riga [3 2 1] , m 21 = 0, m 31 = 0.2, ; poiche` m 32 = 0 avremo

5 L = e U = ; iii) risoluzione dei due sistemi triangolari : b [35 7 3] Ly = b y = ; Ux = y x = 035. ; iv) parabola dei minimi quadrati : p 2 (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 = x x 2. ESERCIZIO 7 x i f(x i ) i) si imposti il sistema lineare per il calcolo della retta dei minimi quadrati ; ii) se ne esegua la fattorizzazione LU con pivoting parziale ; iii) si esegua la sostituzione in avanti ed indietro ; iv) si scriva l espressione della retta dei minimi quadrati i)sistema per il calcolo della retta dei minimi quadrati : a0 a = ii) fattorizzazione LU della matrice del sistema : scambio prima e seconda riga [2 1] , m 21 = 4/4.5= , ; avremo L = e U = ; iii) risoluzione dei due sistemi triangolari : b [ ] Ly = b y = ; Ua = y a = ; iv) retta dei minimi quadrati : p 1 (x) = a 0 + a 1 x + = x. ESERCIZIO 8

6 Data la funzione f(x) = senx +x 2 : a) se ne calcoli il polinomio interpolatore nei tre nodi di Chebyshev in [-1, 1] ; b) si scriva la formula dell errore di interpolazione ; c) si calcoli un maggiorante dell errore. a) 3 nodi di Chebyshev in [-1, 1] : x k = cos( ( 2 k + 1) π ), k = 0, 1, 2 con n = 3 ossia 2n x 0 = cos(π/6) = 3 /2 x 1 = cos(π/2) = 0 x 2 = cos(5π/6) = - 3 /2. Calcolo il polinomio interpolatore con il metodo di Newton alle Differenze Divise : x i f(x i ) 0, , , , , , parabola interpolatrice : p 2 (x) = (x ) + (x )x. b) errore di interpolazione e(x) = f(x) -p 2 (x) = f (3) (ξ) (x-x 0 )(x-x 1 )(x-x 2 )/(n+1)! nel nostro caso e(x) = -cos(ξ) x (x 2 - ¾) /6 c) e(x) = -cos(ξ) x (x 2 - ¾) /6 ; poiche cos(ξ) 1 e il valore massimo di x (x 2 - ¾) in [-1, 1] e ¼ e(x) 1/24. ESERCIZIO 9 Si fornisca l espressione in forma di Newton del polinomio di terzo grado che interpola i seguenti dati : F() , ,5 0,5 1 Tabella delle Differenze Divise :

7 F() , , , p(x)=1-6(x+1)+11(x+1)(x+0.5)-10(x+1)(x+0.5)x. ESERCIZIO 10 Si fornisca l espressione in forma di Newton del polinomio di terzo grado che interpola i seguenti dati : F() Tabella delle Differenze Divise : F() -0, ,5 0, p(x)=1-6(x+0,5)+11(x+0,5)x-10(x+0,5)x(x-0,5) ESERCIZIO 11 Eseguendo il minor numero possibile di operazioni costruire il polinomio p 3 (x) che interpola i dati F() e il polinomio p 4 (x) che interpola i dati F()

8 Si utilizza il metodo di Newton che consente, al contrario di quello di Lagrange, di sfruttare i conti già fatti ogniqualvolta si aggiunge un punto di interpolazione. Si trova prima p 3 (x) che interpola f nei punti dati ad esclusione di (2,-1.5), poi p 4 (x) calcolando una sola riga aggiuntiva della tabella delle differenze divise. F() -2 1,2-1,5 2,1 1,8 1-0,5-1,04-0, ,5 0,7 0,8 0,46 0, p 3 (x) = *(x+2) *(x+2)(x+1.5) *(x+2)(x+1.5)(x-1) aggiungo una riga alla tabella : F() -2 1,2-1,5 2,1 1,8 1-0,5-1,04-0, ,5 0,7 0,8 0,46 0, ,5 4,4 3,6 0, , p 4 (x) = p 3 (x) *(x+2)(x+1.5)(x-1)(x-2).