IDENTIFICAZIONE DEI MODELLI E ANALISI DEI DATI (Prof. S. Bittanti) Ingegneria Informatica 10 CFU. Appello 07 Luglio 2014 Cognome Nome Matricola

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1 IDENTIFICAZIONE DEI MODELLI E ANALISI DEI DATI (Prof. S. Bittanti) Ingegneria Informatica 10 CFU. Appello 07 Luglio 2014 Cognome Nome Matricola Verificare che il fascicolo sia costituito da 8 pagine. Scrivere le risposte ai singoli esercizi negli spazi che seguono ogni domanda. Non consegnare fogli addizionali. Non scrivere sul retro. Non si possono consultare libri, appunti, dispense etc. La chiarezza e precisione nelle risposte saranno oggetto di valutazione =============================================================================================================== 1. Si consideri il sistema rappresentato nella seguente figura: dove 1.1 Determinare la funzione di trasferimento da a e disegnare poli e zeri nel piano complesso. Funzione di trasferimento: Poli: Zeri: 1.2 Dire perché è un processo stazionario. Perché i suoi poli hanno entrambi modulo pari a 1.3 Dire se il processo è un AR, un MA o un ARMA. È un ARMA(2,1). 1.4 Calcolare la varianza di. 1

2 () Risolvendo il sistema mi risulta: 1.5 Mediante la funzione di trasferimento trovata al punto 1.1 disegnare l andamento dello spettro di. Per quali pulsazioni si ha un minimo? Si ha un minimo in Dire quanto vale l area sottesa da tra e. È pari alla varianza del processo moltiplicata per : 2

3 2. È dato il processo MA(1): E si consideri il predittore: 2.1 Determinare il valore di che minimizza la cifra di merito: La cifra di merito vale: Dove: Derivando la cifra di merito rispetto ad ed uguagliando a zero si ottiene: 2.2 Si consideri quindi l errore di predizione del predittore associato ad : Determinare la funzione di covarianza a un passo e dire se. L errore di predizione si può scrivere come: La sua funzione di covarianza a un passo vale: Perché possa essere un rumore bianco, si deve avere, che è possibile solo se Se allora e. 3. Si consideri il seguente sistema: con 3.1 Scrivere le equazioni del predittore ottimo a un passo dello stato e dell uscita. Predittore ottimo a un passo dello stato: In cui: 3

4 Predittore dell uscita: 3.2 Scrivere l equazione algebrica di Riccati e dire quanto vale la varianza dell errore di predizione a regime. ARE: quindi due soluzioni: e La varianza dell errore di predizione dello stato a regime può dunque assumere valore 0 o, a seconda della condizione iniziale su P. Qualora lo stato iniziale sia perfettamente noto, la varianza a regime sarà nulla, altrimenti sarà. La dell errore di predizione dell uscita a regime sarà invece: 2+ 2( )= Dire quanto vale il guadagno del predittore di regime e determinare la funzione di trasferimento da a di tale predittore. La funzione di trasferimento diventa quindi: 3.4 Trovare la funzione di trasferimento da a e portarla in forma canonica. Il fattore spettrale canonico corrispondente è: Con: 3.5 Trovare il predittore ottimo a partire da quanto trovato al punto

5 3.6 Confrontare i predittori ottenuti ai punti 3.3 e Si consideri il sistema 4.1 Trovare per quali valori del parametro il sistema è stabile. Il sistema è stabile per ogni 4.2 Per i valori di trovati al punto precedente, si determinino e quando e. Per quale valore di è minima? Walker: è un AR(1) a media nulla, quindi la varianza di è fornita direttamente dalla formula di Yule che è minima nel punto in cui si annulla la sua derivata prima (e la sua derivata seconda è positiva), ovvero La soluzione è sensata, in quanto la varianza di genera. In, il sistema è in anello aperto e. è sempre maggiore o uguale di quella del rumore bianco che lo 4.3 Si trovi il valore di che rende minimo quando e. In tal caso,, ovvero il processo non è più a media nulla. Ne consegue che: Il minimo di si ottiene quando il denominatore (funzione di ) è massimo. Quindi: 5

6 Le soluzioni che annullano la derivata sono in (non ammissibile) e Quest ultima è un punto di massimo, in quanto la derivata seconda è Quindi, per la derivata seconda è uguale a che è minore di. Il valore di α che rende minimo è quindi 5.In cosa consiste e a cosa serve il metodo della cross-validazione? 6