w(0 + i y(0 0*) IDENTIFICAZIONE DEI MODELLI E ANALISI DEI DATI 1 (Prof. S. Bittanti) - 5 CFU Appello del 6 Luglio 2011 Cognome Nome Matricola

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Filiberto Pellegrini
4 anni fa
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1 IDENTIFICAZIONE DEI MODELLI E ANALISI DEI DATI 1 (Prof. S. Bittanti) - 5 CFU Appello del 6 Luglio 2011 Cognome Nome Matricola Vevificare che i/fascicolo sia costiltiilo da 6 pagine. Scrivere Ic risposte ai singoli esercizi negli spazi clie scgiiono ogni domanda. Non consegnare fogli addizionali. Tempo disponbilie: lora e 30 minuti. SCEGLIERE TRA _ Imad 1-5 CFU (AA 10/11) Imad 5 CFU (fino a AA 09/10) Non si possono consultare libri, appunti, dispense etc. La chiarezza e precisione nelle risposte saranno oggetto di valutazione 1. Si consideri il processo y(t) uscita di regime del seguente schema: w(0 + i y(0 dove: e(t) ~WN(0,13) e(t)ld2(t) II segnale di(t) verra definito nei successivi punti. 1.1 Sia di(t) = 0 Vt. Si dica per quali valori (reali) di a e di /? il processo y(t) è un processo stocastico stazionario. 0*) I 1/1 * - / OC

2 1.2 Posti: di(t) = 0 Vt si scriva il processo w(t) in forma canonica e, successivamente, come equazione alle differenze. indicando la classe dei modelli cui appartiene. 1.3 Sotto le stesse assunzioni del punto 1.2, si valutino media ruy e varianza yy(0) del processo vft).^y(^v ^( "^V 4t(^^ 1.4 Sotto le stesse assunzioni del punto 1.2, si tracci in modo qualitativo (nocalcoli) lo spettro Ty{(x)) del processo y(t), giustificando la risposta attraverso I'analisi della posizione dei poli e degli zeri del processo. 2

3 4 1.5 Sia ora di(t) = 13 Vt. Si dica come cambiano media, varianza e spettro del processo v(t). 2. Si consideri il seguente processo stocastico stazionario (dato in forma canonica): y(t)=e(t)+0.5e(t-2)+0.4e(t-4), e(t)~wn(2,l) 2.1 Si calcolino media e varianza dell'errore di predizione ^(0 = y(t) - y(t\t k) per k = 1,2,3,... ^O.ii ii't) (-0.1. (t-u),(*)= Ct^

4 E[I^ ^/ ^ 2.2 Si supponga ora clie il processo del punto 2.1 sia l'uscita di un sistema S (sistema di generazione dei dati). Si assuma di avere raccolto, dopo un set di prove sul sistema S, un numero finito A^di misure di y(t): yaiyc2),y(3),...y(n) Sulla base di queste si vogliono stimare i parametri i9 = [i9i ^2] della seguente famiglia di modelli M: M(T9): y(t) =?7(t) + -f??(t-2)+^?7(t-4), r](t)-wn(o.a^) minimizzando la cifra di merito: 1 " JNW=jjY.^yiO-ni\i-i')f Dal momento che il processo y (t) è a media non nulla, dire quale operazione preliminare fondamentale bisogna effettuare sulle N misure del sistema S al fme di ottenere una stima corretta del vettore dei parametri i Utilizzando la precedente famiglia di modelli M, valutare a che valore T9 tendono i parametri ^ qualora si minimizzi: J M = Var[yit)-y(t\t-l)] ovvero quando si abbiano idealmente a disposizione un numero infinito di dati del sistema S (si assuma il processo del punto 2.1 gia scritto in forma canonica). In corrispondenza di T9, che valore assume la cifra di merito, i.e., /oo(i9)? l9i 4 ipt

5 3. Si è raccolto un batch di dati costituito da N misure ingresso/uscita di un sistema di generazione dei dati S: Si consideri la seguente famiglia di modelli ARX: {y (1), y (2),... y (w)}, «(2),... u(yv)} M(a, b): y(t) = ^ay(t - 1) + 4bu(t - 1) + e(t), e(t) «V!/Af(0, A^) Si scriva la formula che esprime la stima ottima a^j e bj^ dei parametri aeb in funzione dell'insieme dei dati raccolti, ovvero la stima ottima che si ottiene minimizzando la cifra di merito: JV (y ifecovco-^^^^^^^^ "^^^ 2 yg-lvo'i \r3 > b 5. <^ i ^1

6 4 Si consideri un processo ARMA dato in rappresentazione canonica. Spiegare perché la varianza dell'errore di predizione ad 1 passo coincide con la varianza del rumore bianco che genera il processo. 5 Dato un processo stazionario y(t) si consideri il corrispondente predittore a k passi f(t\t - k). Sia A = Var[y(t) - f(t\t - k)] la varianza dell'errore di predizione. Si dica a che valore tende Al quando I'orizzonte predittivo tende all'infinito. 6

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