FENS- ENS esame del 24 febbraio 2006

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1 FENS- ENS esame del 24 febbraio 26 L allievo é invitato a dare una ragionata e succinta risposta a tutti gli argomenti proposti, per dimostrare il livello di preparazione globale. I calcoli devono essere sviluppati nel seguito. Gli esercizi devono essere risolti solosuifoglideicoloriindicatiedevonoessereconsegnati anche i fogli di brutta copia; si consiglia una lettura attenta del testo degli esercizi. Per esiti e soluzioni si usi l indirizzo Internet: e per la discussione dello scritto si contatti il docente via rocca@elet.polimi.it. Le prime domande degli esercizi sono molto piu facili; le si svolgano per prime per superare la prova, prima di tentare le domande successive. La registrazione dei voti avverrà mercoledì marzo alle ore 2. Esercizio ENS - FENS ( foglio bianco) (punti 4): Trasformate z: Si consideri un sistema la cui risposta all impulso è: h n = ρ n ; ρ < < n < a) (4 punti) Si trovi la trasformata z della sequenza h n esenetrovinoipoli. b) (4 punti) Si trovi la trasformata z della sequenza l n l n = ρ n ρ n ; ρ < < n < esenetrovinoipolielozero. a) (6 punti) Si trovino per entrambe le sequenze h n,l n, anche con giustificazioni intuitive e approssimativamente, le frequenze a cui il guadagno è massimo e lo si calcoli. Esercizio 2 ENS -FENS (f oglio rosa) (punti 4) Filtro IIR a partire dai coefficienti di riflessione Un sistema numerico IIR ha i seguenti coefficienti di riflessione: c =.9; c 2 =.7; c 3 =.98; a) [5 punti] Si determinino le funzioni di trasferimento del sistema per N =, 2, 3,trovandone via via i poli e approssimativamente i grafici; quanto vale la radice reale per N =3? b) [4 punti] Si calcoli la funzione di autocorrelazione dell uscita, qualora il sistema numerico sia alimentato da un processo bianco di varianza unitaria. c) [5 punti] Si tracci la struttura del filtro numerico (le due convenzionali e quella a traliccio ricorsivo) e si determini la risposta all impulso del sistema nei vari punti, partendo dalla condizione iniziale in cui tutte le celle di memoria sono scariche. Esercizio 3 - FENS. (f oglio azzurro) (punti 4) Filtro a campionamento in frequenza Si progetti un filtro a campionamento in frequenza in grado di selezionare due bande disgiunte attorno alle frequenza di 8Hz e 24Hz (frequenza di campionamento 8Hz). Il filtro sia vincolato ad avere una durata della risposta all impulso non maggiore di 5ms, ma si desidera che la banda passante attorno ad ognuna delle due frequenze sia minima. Si vuole realizzare il sistema con due oscillatori reali. a) [4 punti] Si determini il numero e la posizione degli zeri e dei poli e li si rappresenti sul piano complesso. Si dica quale risulta essere (approssimativamente) l ampiezza della banda passante a 3dB attorno alle due frequenze centrali (8Hz e 24Hz). b) [4 punti] Si tracci la struttura del filtro e si valuti il costo computazionale. È importante il segno con cui si sommano le uscite dei due sommatori? Cosa cambierebbe se le due frequenze fossero più vicine? c) [6 punti] Quale è il numero minimo di bit con cui sarebbe ragionevole quantizzare i coefficienti del filtro, per avere una soluzione a minimo costo computazionale, ma senza avere effetti di instabilitá? Motivare la risposta in modo esauriente. Esercizio 3 ENS ( foglio azzurro) [ punti 4 ]: Sistema adattativo per la predizione Una sequenza n è ottenuta filtrando un processo bianco u n con un filtro passabassoa e larghezza di banda a 3dB pari a π/. Questa sequenza é disturbata dalla somma di un altra sequenza bianca z n di varianza unitaria. a) (2 punti) Si determinino i parametri del filtro (a, b) e la potenza dell eccitazione (σ 2 u) imponendo che la potenza di uscita sia unitaria (σ 2 =): n = a n + u n

2 n = n + z n b) (4 punti) Si calcoli il predittore lineare di lunghezza 2 campioni ˆ n = a n + a 2 n 2 e si valuti la potenza dell errore di predizione. c) (4 punti) Si calcoli lo stimatore di lunghezza 2 campioni ˆ n = b n + b 2 n+ e si valuti la potenza dell errore di stima. d) (4 punti) Si scriva l equazione dell aggiornamento del filtro adattativo per la stima di n nel caso c) e si valuti il numero di passi necessario per la convergenza dell algoritmo. Si valuti il minimo numero di passi per la convergenza dell algoritmo adattativo. Esercizio 4 - ENS (foglio bianco - MATLAB) (punti 8): Periodogramma di processo colorato Una sequenza del segnale (n), di lunghezza N = 2 campioni, è ottenuta filtrando un processo gaussiano bianco w(n) a valore medio nullo e potenza σ 2 =25con un filtro passabasso IIR con frequenza di taglio pari π/3. Si vuole simulare l esperimento per generare il segnale (n) e stimare la densita spettrale di potenza mediante il periodogramma. a) Si costruisca un vettore w rappresentativo della sequenza w(n) costituito da N = 2 campioni. b) Si calcolino i coeff. diunfiltro di Butterworth di ordine 5 con frequenza di taglio a π/3. c) Si costruisca il vettore costituito dai campioni del segnale (n) ottenuto filtrando il rumore w(n) con il filtro calcolato al punto b) d) Si stimi la densita spettrale di potenza mediante il periodogramma su N = 2 campioniesene rappresenti graficamente l andamento. e) si confronti la stima ottenuta al punto d) con la densita spettrale di potenza calcolata conoscendo la funzione di trasferimento del filtro f) Si stimi la densita spettrale di potenza mediante il periodogramma su campioni ottenuto suddividendo la sequenza di N = 2 campioni in L = 2 sottosequenze disgiunte e facendo la media dei periodogrammi cosi ottenuti. Si rappresenti graficamente la stima della densita spettrale di potenza cosi ottenuta NOTA: Per la soluzione dei punti d), f) NON si faccia uso delle routine Matlab psd, spectrum. 2

3 Corso di Elaborazione Numerica dei Segnali Soluzione Esercizio Esame del 24 febbraio 26 H (z) = ρz + ρz = ρ 2 ( ρz )( ρz) ρ 2 z L (z) = ( ρz )( ρz) Soluzione Esercizio 2 : =

4 +.9z z.7z z.4354z z ,Solutionis: , z.7z 2 =.46z.4354z z 3 = ±.692i. Si osservi che la radice - é sempre esclusa dal fatto che i coefficienti di riflessione sono tutti minori di. z = e iφ Soluzione Esercizio 3 a) Il filtro IIR di ordine 2 H(z) = az bz 2 = 2ρ cos ϑz + ρ 2 z 2 () ha due poli complessi coniugati ρ ep(±iϑ) =ρ ep(±iπ/5) con ω = π =2( ρ) = ρ = π 2 =.842 (2) 4

5 Si ottiene: a =2.842 cos(π/5) = , b = ρ 2 = b = Il guadagno a centro banda può essere approssimato con il metodo vettoriale: H.842 2sin(π/5) =5. 4 (3) Lapotenzainuscitaè σ 2 σ 2 u H 2 2 ω 2π = σ2 u H 2 =2.9σ2 u, (4) imponendo σ 2 =si ottiene σ 2 u =/2.9 = d) Volendo aggiornare iterativamente i coefficienti del predittore a n =[a (n) a 2 (n) ] T con la tecnica LMS si ha: a n+ = a n + γ n+ ε n+ dove ε n+ = n+ n+ T a n+ rappresenta l errore di stima. a n+ = a n + γe n+ n+ n+a T n (5) = a n + γ [r Ra n ]=(I 3 γr) a n + γr (6) Per N si ha a n+ = a n = a e a = R r (7) cioe il filtro tende al predittore MMSE. Dalle equazioni (6)-(7) si ottiene la differenza fra il filtro al passo n +e il valore asintotico g n+ = a n+ a =(I 3 γr) g n (8) Per la convergenza senza oscillazioni il coefficiente γ deve soddisfare la condizione γ /λ ma,doveλ ma e l autovalore massimo di R. GliautovaloridiR si ottengono risolvendo l equazione R λi 3 =: Soluzione Esercizio 4 (Matlab) Esame Periodogramma Generazione di 2 campioni di rumore w(n) con varianza =25 w=randn(,2)*sqrt(25); Costruzione del filtro di Butterworth del 5o ordine, con ft=pi/3 [B,A]=butter(5,/3); Costruzione del segnale filtrato (n) =filter(b,a,w); Costruzione del periodogramma P (su 2 campioni) P=(abs(fft())).^2/2; Costruzione del risultato teorico, dalla conoscenza del filtro f=filter(b,a,[, zeros(,999)]); risposta all impulso del filtro Pteor=25*(abs(fft(f))).^2; Confronto dei due risultati figure, fpos =[:/2:/2]; fais=[fpos,fliplr(-fpos(2:end-))]; costruzione asse delle frequenze normalizzate 5

6 semilog(fpos,p(:), -k,fpos,pteor(:), :k ), disegno delle densità spettrali di potenza ais([.5 e-5 e2]); label( freq. norm. ) grid legend( D.Spet. stimata, D.Spet. teorica ) Costruzione del periodogramma P2 (media di 2 period. su campioni) 2=reshape(,,2); divido in 2 sottosequenze P2=mean( (abs(fft(2))).^2/,2); Confronto dei due risultati figure, fpos =[:/:/2]; fais=[fpos,fliplr(-fpos(2:end-))]; costruzione asse delle frequenze normalizzate semilog(fpos,p2(:5), -k,fpos,pteor(:2:), :k ), disegno delle densità spettrali di potenza ais([.5 e-5 e2]); label( freq. norm. ) grid legend( D.Spet. stimata (2 sotseq), D.Spet. teorica ) 6