FENS (5 crediti) - ENS (10 crediti) Esame del 24 febbraio 2005

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1 FES (5 crediti) - ES (0 crediti) Esame del 4 febbraio 005 L allievo é invitato a dare una ragionata e succinta risposta a tutti gli argomenti proposti, per dimostrare il livello di preparazione globale. I calcoli devono essere sviluppati nel seguito. Gli esercizi devono essere risolti solo sui fogli dei colori indicati; si consiglia una lettura attenta del testo degli esercizi (p =.5 per studenti FES, punto per gli studenti ES). Per esiti e soluzioni si usi l indirizzo Internet: Per la discussione dello scritto si contatti il docente via rocca@elet.polimi.it; la registrazione degli esami ES (V.O., 0 crediti) sarà effettuata giovedì 3 marzo alle ore 00 in DEI. Esercizio -FES foglio giallo (punti p): YW Si consideri un segnale campionato alla frequenza MHz e si voglia realizzare un filtro passa basso con frequenza di taglio 00KHz. Si considerino due soluzioni: nella prima si utilizza un filtro derivato da un filtro analogico del tipo Butterworth con la trasformazione bilineare, nella seconda si utilizza la tecnica di Yule - Walker. Il filtro analogico di Butterworth ha funzione di trasferimento: H B (ω) = + p + p ; p = j ω ω 0 ; ω 0 =π 0 5 ; H B (ω) = + p 4 (a; 4p punti) Si trovi il filtro numerico corrispondente usando la trasformazione bilineare; se ne trovino poli e zeri. Usando per brevità la relazione tra frequenze numeriche ed analogiche, si trovi il guadagno del filtro numerico alle frequenze 50, 00, 00, 500KHz. (b; p punti) Si determini la funzione di autocorrelazione della risposta all impulso di un filtro ideale passa basso con frequenza di taglio 00KHz, campionata a MHz, e se ne trovino i campioni r 0,r,r. (c; 4p punti) Si determini quindi la struttura del filtro tutti poli ottenuto a partire da questa funzione di autocorrelazione usando la tecnica di Yule Walker (per gli studenti di ES questo corrisponde alla stima spettrale AR di un processo che ha l assegnata funzione di autocorrelazione, od all inverso di un filtro sbiancante uno spettro che ancora abbia quella autocorrelazione), la posizione dei poli, ed infine il rapporto tra il guadagno alla frequenza zero ed alla frequenza di picco,da determinare anch essa. Soluzione esercizio jωt = z +z ; p = j ω π 0 5 = p = z 0 z π = +z π +z +z H B (ω) = π 0 ( + z ) + π 0 ( z )+( z ) = :poli: ± i = +z z. 80 6z ω a = T tan ω dt +³ πf 0 T tan πf kt 4 f k =50, 00, 00, ; : ;0 r n = sin π00 03 nt π =, , : nt a b = = H YW (z) =. 8 9z z

2 H YW (z =)= =7.96 : x. 8 9x = 0 Poli: ρ = ± i: π = f max = 06 π arctan = Per φ =0.36 = arctan. 8 9z z <= = ( ) ( ) sin 0.36 Esercizio - ES - FES foglio bianco (punti p): (campionamento in frequenza con il +). Si consideri la sequenza H (z) di campioni, ponendo p.e. = 00 H (z) = +z (a; 3p punti) Se ne trovino gli zeri e si dimostri come questi zeri corrispondano a sinusoidi che compiono un numero dispari di mezzi cicli nell intervallo T, dove T é l intervallo di campionamento. Per quali valori di potrebbe esistere uno zero alla frequenza zero? Ed alla frequenza di yquist? (b; 6p punti) Si determini la trasformata z della risposta all impulso che si otterrebbe mettendo in cascata al filtro H (z) un oscillatore che compie mezzo ciclo in campioni (la finestra cosinusoidale). Si trovi h max, valore massimo della sequenza. Infine, riscalando le ampiezze in modo che h max =, si trovi il guadagno a frequenza zero ed alla frequenza del polo, peraltro cancellato da uno zero di H (z). (c; 3p punti) In generale se la sequenza é: H (z) = +Az (A complesso), quando la sequenza é a minima fase? a massima fase? dove sono gli zeri? Soluzione Esercizio (a; 3p punti) Se ne trovino gli zeri e si dimostri come questi zeri corrispondano a sinusoidi che compiono un numero dispari di mezzi cicli nell intervallo T, dove T é l intervallo di campionamento. H (z) = +z ;expjφ k =expjπ ( + k) ( + k) φ k = π Quando c é uno zero alla frequenza zero? Mai Ed alla frequenza di yquist?: se è dispari. Si determini la trasformata z di una finestra cosinusoidale (la risposta all impulso ottenuta mettendo in cascata al filtro H (z) un oscillatore che compie mezzo ciclo in campioni). Si imponga che il valore massimo della sequenza sia pari ad. h n = sin (n +) π sin π H (z) =π +z ; n<= ; h n <= π cos π z + z Infatti, per avere valore massimo, si deve moltiplicare per π. Infine, se ne trovi il guadagno alla frequenza zero ed alla frequenza dove é il polo , poi cancellato da uno zero della H (z). Si stia attenti a calcolare il valore vicino allo zero, ma non sullo zero, perche altrimenti si deve fare il limite!

3 (c; 3p punti) In generale se la sequenza é: H (z) = +Az dove A é un qualsiasi numero complesso, quando la sequenza é a minima fase, a massima fase, dove sono gli zeri? Sulla corona z = exp ( j A) A µ z n = A exp j A +kπ Esercizio 3 - FES foglio azzurro (punti 5) quantizzazione sfasatore puro Si consideri uno sfasatore puro reale causale con un solo polo. Lo sfasatore puro deve ritardare il segnale di τ = ms (passo di campionamento T = 0.5 ms). Il ritardo alle basse frequenze è: τ = ]H(z) ω a) (3 punti) Si determinino la risposta all impulso dello sfasatore puro {h n } e la sua trasformata ZH(z). Per i calcoli, si usi pure lo sviluppo in serie dell esponenziale, fermandosi ai termini utili. b) ( punti) Si traccino gli schemi a blocchi dello sfasatore puro nei due casi seguenti: i) mettendo prima lo zero, ii) prima il polo. c) (5 punti) Si calcoli la potenza del rumore di quantizzazione dei segnali all uscita dello sfasatore puro nei casi i) e ii). Si supponga di quantizzare i segnali con 8 bit e che il quantizzatore sia al limite della saturazione per un segnale corrispondente ad una sinusoide a frequenza f =/4T di ampiezza di picco pari ad A =. Cosa cambia se f =0? d) (5 punti) Si calcoli la potenza del rumore di quantizzazione dei segnali all uscita dello sfasatore puro nei casi i) e ii), supponendo ora che il segnale in ingresso sia un processo bianco, gaussiano a media nulla e varianza σ x =3. I segnali sono sempre quantizzati con 8 bit. Soluzione Esercizio 3 Fens Il filtrocercatohalaforma: H(z) = a + z +az ; La posizione del polo (e di conseguenza dello zero) si ottiene imponendo il ritardo per ω =0: τ T =4= a +a a = 3 5 dove si è utilizzata l approsimazione della fase di zero e polo (e jω =+jω,ω 0): H(z = e jω a + jω )= ]H(ω) =a +a( jω) +a ω Essendo il filtro H(z) uno sfasatore puro, l ampiezza (e quindi la potenza) dei segnali è invariata in uscita. Calcolando le massime escursioni possibili del segnale per le architetture suggerite e per i vari ingressi, si potrà calcolare la massima V pp del quantizzatore per evitare la saturazione. polo, poi zero: La sinusoide con ω = ± π è attenuata dal polo, e poi riamplificata dallo zero. La massima dinamica si ha all ingresso e all uscita. V pp =4 La sinusoide a pulsazione ω =0è invece amplificata dal polo e attenuata dallo zero in posizione reciproca. La massima dinamica (Ã = 5A =5) si ha nel punto intermedio della struttura. V pp =0 el caso di processo bianco in ingresso, nel punto intermedio P = σ x = σ a x 0.64 ' 4.7 >P in. V pp =6 4.7 ' 3 zero, poi polo: ω=0 3

4 La sinusoide con ω = ± π èamplificata dallo zero, e poi attenuata dal polo. La massima dinamica si ha nel punto intermedio della struttura (Ã =.93A ' 4). V pp =8 La sinusoide a pulsazione ω =0è invece attenuata dallo zero e attenua dal polo in posizione reciproca. La massima dinamica si ha all ingresso e all uscita. V pp =4 el caso di processo bianco in ingresso, nel punto intermedio P = +a σ x =3.36 >P in. V pp = ' Il rapporto segnale rumore in uscita deve essere calcolato tenendo conto della quantizzazione del segnale in ingresso (con 8 bit) e del rumore introdotto dalle due moltiplicazioni che compaiono nel filtro. Il rumore di quantizzazione per l arrotondamento della moltiplicazione al primo stadio vedrà l intero sfasatore puro, mentre il rumore di quantizzazione per l arrotondamento della moltiplicazione al secondo stadio vedrà solamente lo zero o il polo. Esercizio 3 - ES (foglio azzurro (punti ): filtro adattivo Una sequenza v n è ottenuta filtrando un processo bianco u n con un filtro passabanda con pulsazione centrale π e larghezza di banda complessiva a -3 db pari a π/00. a) (4 punti) Si determinino i parametri del filtro (a, b) e il fattore di scala A imponendo che la potenza di uscita sia unitaria (σ v =): v n = av n + bv n + Au n Il segnale osservato y n è: y n = x n + v n Le sequenze u n, x n sono bianche, indipendenti e gaussiane con valore medio nullo e varianza unitaria. Si desidera ricostruire con il filtro adattativo f n i valori della sequenza x n a partire dai valori del vettore z n : vn z n = : mediante la relazione iterativa: v n bx n = y n f nz n f n+ = f n + γ [y n by n ] z n v n = av n + bv n + u n a) (3 punti) Si trovi la matrice di covarianza R z del vettore z n. b) (3 punti) Si calcoli la soluzione asintotica f e l errore quadratico medio a convergenza. c) (3 punti) Sitroviilvaloremassimoγ max del passo di aggiornamento γ. d) (3 punti) Ponendo γ = γ max /, si determini la durata dei transitori lungo gli autovettori di R z. Soluzione Esercizio 3 Ens Autovalori: a = π 00 =0.97; b =0; A a = A = p 0.97 =0.4 V (z) = 0.4 +az U (z);r v,n =( a) n f = a a a a = a 0 ; a a T a 0 = a ε n = bx n x n ; E ε n = r Rz r = a =9 0 4 ( λ) = a ; λ =± a b) (3 punti) Si calcoli la soluzione asintotica f e l errore quadratico medio a convergenza. γ max = = Posto γ =0.5; γλ = ± 0.97 =0.985 ;

5 Tempodiassestamentolungo: n =/e; n = Esercizio 4 (foglio bianco con scritta MATLAB) (punti 8): Filtraggio adattativo Si vuole determinare il predittore lineare adattativo ˆx n = αx n + βx n di un processo x n caratterizzato dalla equazione alle differenze x n =0.5x n 0.3x n +w n dove w n è un processo reale gaussiano bianco a valore medio nullo e potenza E[ w n ]=σ w =0.. a) Si generi un vettore w di 000 campioni, realizzazione del processo w n b) Si ottenga il processo x n, filtrando la realizzazione di w n generata al punto a). c) Si aggiorni adattativamente il predittore ˆx n = f n [x n,x n ] T, utilizzando l equazione di aggiornamento f n = f n + γ ε n [x n,x n ] T. Si parta dalla soluzione iniziale f 0 =[α 0,β 0 ] T =[0, 0] T. Si utilizzi inoltre γ =/00 d) Si rappresenti l andamento dei coefficienti del predittore f n =[α n,β n ] T,per <n<000 e) Si rappresenti l andamento dell errore di predizione ε n = x n ˆx n,per <n<000 Soluzione Esercizio 4 (Matlab) %Filtraggio adattativo f=[0 0] ; eps=zeros(,000); fm=zeros(,000); fm(:,)=f; gamma=/00; % generazione del processo w w=randn(,000)*sqrt(0.); % generazione del processo x g=[, -.5,.3]; x=filter(,g,w); % stima adattativa for n=3:000; eps(n)=x(n)-f *[x(n-) x(n-)] ; f=f+gamma*eps(n)*[x(n-) x(n-)] ; fm(:,n)=f; end % visualizzazione di coeff. ed errore di predizione figure subplot(); plot(fm ); subplot() semilogy((eps).^) 5