Esercizi su predizione lineare

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1 Esercizi su predizione lineare Esercizio Si consideri il processo reale x n ottenuto risolvendo l equazione alle differenze finite: x n a x n a x n + z n dove: a ; a 0.08; E z(n) 0; E z(n)z(n + k) r z (k) 5 δ(k) + q δ(k ) + δ(k + ) 4 a) Supponendo q 0 (rumore bianco), si calcolino un numero sufficiente di campioni dell autocorrelazione (di lunghezza illimitata) r x (k) della sequenza x n. b) Supponendo q 0 (rumore bianco), si calcolino i coefficienti del predittore lineare di ordine e la potenza dell errore di predizione per il processo x n. c) Supponendo q (rumore colorato), si trovino i parametri e l ordine del modello MA che realizza z n a partire da w n (sequenza bianca con potenza σw ). d) Supponendo q (rumore colorato), si calcolino i coefficienti del predittore lineare di ordine e la potenza dell errore di predizione per il processo x n. e) Supponendo q (rumore colorato), si calcolino i coefficienti del predittore lineare di ordine e la potenza dell errore di predizione per il processo x n. f) Supponendo q (rumore colorato), si calcoli lo stimatore di lunghezza campioni ˆx n δx n + ρx n+, e si calcoli la potenza dell errore di predizione. Soluzione a) X(z) a z X(z) a z X(z) + Z(z) X(z) + a z Z(z) + a z A (z) Z(z) Anzitutto verifico che i poli siano nel cerchio unitario (potrei anche verificare che i coefficienti di riflessione siano minori di ). Trovo che i poli sono all interno

2 del cerchio unitario e sono pari a z p, 0.93 z p, Calcolo ora {r x (0), r x (), r x (), r x (3)} usando le equazioni di Yule-Walker (in forma diretta): 3 r x (k) a m r x (k m) + σzδ(k) m r x (0) + a r x () + a r x () + a 3 r x (3) σ z r x () + a r x (0) + a r x () + a 3 r x () 0 r x () + a r x () + a r x (0) + a 3 r x () 0 r x (3) + a r x () + a r x () + a 3 r x (0) 0 Riscrivo il tutto in forma matriciale considerando che a 3 0: a a 0 r x (0) 5/4 a + a 0 0 r x () a a 0 r x () 0 0 Ar b r A b 0 a a r x (3) 0 Facendo tutti i calcoli trovo: r r x (0) r x () r x () r x (3) A b b) Il predittore lineare di ordine è ˆx n αx n Devo trovare α tale da avere min{e ε n } da cui: E ε n E (x n ˆx n ) E (x n αx n ) α E ε n E (xn αx n ) x n 0 E x n x n }{{} r x() E (x n αx n ) x n 0 α E x n }{{} r x (0) Il filtro di predizione di ordine è: α r x() r x (0) A (z) αz 0.95z

3 La potenza dell errore di predizione di x n è E ε n E (xn αx n ) x n αe (x n αx n ) x n (il secondo termine è 0 perché lo avevo imposto prima per trovare α) E x n αe xn x n ( r x (0) αr x () r x (0) α r x() ) r x (0) r x (0) ( α ) 8.8 (0.44).7 Invece di usare la condizione di ortogonalità,l esercizio potrebbe essere risolto anche tramite le equazioni di Yule-Walker o la ricorsione di Levinson: Utilizzando Yule-Walker nel caso di N ottengo ˆx n a x n che equivale alla seguente formulazione matriciale: r0 r σ r r 0 a 0 per il quale: { a r r 0 σ r 0 + a r Mentre nel caso di N otterrei: r 0 r r r r 0 r a r r r 0 a σ 0 0 Le trasformate z dei rispettivi sistemi sarebbero: A (z) + a z A (z) + a z + a z Se invece intendessi utilizzare la ricorsione di Levinson calcolerei i diversi coefficienti c k in funzione dell autocorrelazione. r N+ + N a k,n r N+ k k c N+ r 0 + N a k,n r k k a n+,n+ Per N c r r 0 mentre per N a da cui A (z) + a z c r + a r r 0 + a r r + c r r 0 + c r a Ora, per determinare a applico il criterio basato sulle riflessioni: A (z) A (z) + c z à (z) 3

4 a a a a 0 + c 0 a a c ( + c ) c) Per q, l autocorrelazione di z n è formata da tre termini: r z (k) 5 4 δ(k) + δ(k ) + δ(k + ) quindi il processo che genera la sequenza z n è MA() e ha in ingresso una sequenza w n da rumore bianco con potenza σ w. Essendo la potenza del rumore bianco w n fissata, le incognite del modello MA() che genera z n sono b 0 e b (coefficienti del filtro FIR di ordine ) B(z) b 0 + b z Calcolo la sequenza di autocorrelazione di z n : da cui: r z (k) σ wb(k) b( k) R z (z) σwb(z)b (/z) B(z)B(/z) ( b0 + b z ) (b 0 + b z) ( z + z ) b 0 + b ( + b 0 b z + z ) ( z + z ) ( z + z ) { b 0 + b 5/4 b 0 b / { b0 ±/ b ± { b0 ± b ±/ Ottengo due soluzioni possibili, con due zeri, uno a fase minima (z 0 /) e uno a fase massima (z 0 ). Scelgo la soluzione a fase minima e il filtro B(z) diventa: B(z) + z d) Come al punto b), il predittore lineare di ordine è ˆx n αx n Devo quindi cercare il coefficiente α r x() r x(0) e l errore di predizione E ε n r x (0) ( α ). Il processo complessivo che genera la sequenza x n può essere visto come un processo AR() eccitato da rumore colorato MA() (complessivamente è un processo ARMA). Devo calcolare r x (0) e r x (). L autocorrelazione del processo ARMA complessivo è: r x (m) r y (m) b(m) b( m) r y (m) r b (m) 4

5 dove r y (m) è l autocorrelazione in uscita dal processo AR() a potenza unitaria. r y (m) è uguale alla sequenza di autocorrelazione r x (m) calcolata al punto a) a meno di scalare i valori dell autocorrelazione di 4/5 (visto che a differenza che nel punto a) qui ho potenza unitaria). I primi tre campioni sono: Quindi r y (m) r x(m) 5/ m 0 m m m 3 r b (m) 5 4 δ(m) + δ(m ) + δ(m + ) r x (m) r y (m) r b (m) r b (k)r y (m k) k I termini di r x (m) che ci interessano sono r x (0) e r x (): r x (0) r b ( )r y () + r b (0)r y (0) + r b ()r y ( ) r b (0)r y (0) + r b ()r y () 5.35 r x () r b ( )r y () + r b (0)r y () + r b ()r y (0) 4.68 Calcolo anche il termine per r x () che ci servirà nel risolvere il punto successivo r x () r b ( )r y (3) + r b (0)r y () + r b ()r y () 3.45 Il coefficiente del predittore è α rx() r x (0) E ε n rx (0) ( α ) 5.35 (0.0853).3. e) Il predittore lineare di ordine è e l errore di predizione è ˆx n βx n + γx n Devo trovare β e γ tale da avere min{e ε n } min{e (x n ˆx n ) } Dalla condizione di ortogonalità impongo E (x n ˆx n ) x n 0 Dalla prima condizione: E (x n ˆx n ) x n 0 E (x n ˆx n ) x n 0 E ˆx n x n E x n x n r βe x n + γe xn x n r βr 0 + γr r 5

6 Dalla seconda condizione: E (x n ˆx n ) x n 0 E ˆx n x n E x n x n r βe x n x n + γe x n r Facendo i conti ricavo: βr + γr 0 r r0 r r r 0 β γ r r β r 0r r r r 0 r.39 γ r 0r r r 0 r 0.45 Il filtro di predizione di ordine è: A (z) βz γz.39z z La potenza dell errore di predizione di x n è E ε n E (x n ˆx n ) E ε n (x n βx n γx n ) E (x n ˆx n ) x n (gli altri termini sono nulli) E (x n βx n γx n ) x n E x n βe xn x n γe x n x n r 0 βr γr 5.35 (0.065) Si noti che aumentando l ordine del predittore, la potenza dell errore di predizione diminuisce. f) Lo stimatore lineare di ordine richiesto è ˆx n δx n + ρx n+ Devo trovare δ e ρ tale da avere min{e ε n } min{e (x n ˆx n ) } Dalla condizione di ortogonalità impongo E (x n ˆx n ) x n 0 E (x n ˆx n ) x n+ 0 6

7 Dalla prima condizione: E (x n ˆx n ) x n 0 E ˆx n x n E x n x n r δe x n + ρe xn x n+ r δr 0 + ρr r Dalla seconda condizione: E (x n ˆx n ) x n+ 0 E ˆx n x n+ E x n x n+ r δe x n x n+ + ρe x n+ r Facendo i conti ricavo: δr + ρr 0 r r0 r r r 0 δ ρ r r δ ρ r 0r r r r 0 r 0.5 Il filtro di stima di ordine è: A (z) δz ρz 0.5z 0.5z La potenza dell errore di stima di x n è E ε n E (x n ˆx n ) E ε n (x n δx n ρx n+ ) E (x n ˆx n ) x n (gli altri termini sono nulli) E (x n δx n ρx n+ ) x n E x n δe xn x n ρe x n x n+ r 0 δr ρr 5.35 (0.045)