Robotica I. Test 11 Novembre 2009

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1 Esercizio 1 Robotica I Test 11 Novembre 009 Si consideri una rappresentazione minimale dell orientamento data dalla seguente sequenza di angoli definiti rispetto a assi fissi: α intorno a Y ; β intorno a X; γ intorno a Z. Calcolare la matrice di rotazione R Y XZ (α, β, γ) associata. Determinare tutti gli insiemi di angoli (α, β, γ) che realizzano l orientamento specificato dalla matrice R = Caratterizzare tutte le matrici di rotazione R per le quali il problema inverso non fornisce angoli definiti nella sequenza. Esercizio Si consideri la struttura cinematica in Figura 1 che rappresenta una telecamera montata come testa del torso di un robot umanoide con tre giunti rotatori Figura 1: Cinematica della testa con telecamera (unità in cm) Assegnare le terne secondo la convenzione di Denavit-Hartenberg in modo che il verso positivo (antiorario) delle rotazioni ai giunti sia quello indicato. Derivare la tabella dei parametri associata. Calcolare l espressione della matrice di rotazione w R e (θ 1, θ, θ 3 ) che fornisce l orientamento della terna indicata SR e di end-effector (telecamera) rispetto alla terna di riferimento del mondo SR w, posta come indicato in Figura 1. Individuare un orientamento, mediante la relativa matrice di rotazione w R e, che può essere realizzato da infinite coppie di valori (θ 1, θ 3 ) e un singolo valore di θ. [10 minuti; libri aperti] 1

2 Soluzioni 11 Novembre 009 Esercizio 1 Utilizzando le matrici di rotazione elementari intorno agli assi coordinati cos α 0 sin α R Y (α) =, sin α 0 cos α R X (β) = 0 cos β sin β, 0 sin β cos β cos γ sin γ 0 R Z (γ) = sin γ cos γ 0, poichè la sequenza di angoli è definita rispetto a assi fissi, si ha or R Y XZ (α, β, γ) = R Y XZ (α, β, γ) = R Z (γ)r X (β)r Y (α), cos α cos γ sin α sin β sin γ cos β sin γ sin α cos γ + cos α sin β sin γ cos α sin γ + sin α sin β cos γ cos β cos γ sin α sin γ cos α sin β cos γ sin α cos β sin β cos α cos β La relazione inversa tra una data matrice di rotazione r 11 r 1 r 13 R = r 1 r r 3 r 31 r 3 r 33 e la sequenza di angoli (α, β, γ) è data da β = ATAN { } r 3, ± r31 + r 33. e, nell ipotesi che sia r31 + r33 0 (ovvero, cos β 0), { r31 α = ATAN cos β, r 33 cos β }, γ = ATAN Con i dati del problem, si ottiene la coppia di soluzioni: { } r1 cos β, r. cos β (α, β, γ) = (0, , 1.047) [rad] = (0, 45, 60) [deg] e (α, β, γ) = (3.1416,.356,.0944) [rad] = (180, 135, 10) [deg].

3 Quando r 31 = r 33 = 0, β è definito in modo unico mentre gli altri dati del problema permettono di individuare solo il valore della somma α + γ o della differenza α γ. Infatti, per una matrice di rotazione della forma r 11 0 r 13 R = r 1 0 r 3, ossia con r 3 = 1, si ottiene β = π/ (cos β = 0, sin β = 1) e quindi cos α cos γ sin α sin γ 0 sin α cos γ + cos α sin γ R Y XZ (α, π/, γ) = cos α sin γ + sin α cos γ 0 sin α sin γ cos α cos γ cos(α + γ) 0 sin(α + γ) = sin(α + γ) 0 cos(α + γ). Pertanto α + γ = ATAN {r 1, r 11 } = ATAN {r 13, r 3 }. In modo analogo, per una matrice di rotazione della forma r 11 0 r 13 R = r 1 0 r 3, ossia con r 3 = 1, si ottiene β = π/ (cos β = 0, sin β = 1) e quindi cos α cos γ + sin α sin γ 0 sin α cos γ cos α sin γ R Y XZ (α, π/, γ) = cos α sin γ sin α cos γ 0 sin α sin γ + cos α cos γ cos(α γ) 0 sin(α γ) = sin(α γ) 0 cos(α γ) Pertanto α γ = ATAN { r 1, r 11 } = ATAN {r 13, r 3 }. In entrambi i casi, gli angoli α e γ non sono definiti completamente. Esercizio L assegnazione delle terne di Denavit-Hartenberg è mostrata in Figura, dove i versi degli assi z i (i = 0, 1, ) sono stati scelti in modo consistente a quanto richiesto nel testo. Nella configurazione mostrata si ha θ 1 = 0, θ = 0, mentre θ 3 è pari a un valore positivo compreso tra π/ e 3π/4. 3

4 Figura : Terne di Denavit-Hartenberg i α i a i d i θ i 1 π 0 0 θ 1 3 π π 0 d θ 0 0 θ 3 Tabella 1: Parametri di Denavit-Hartenberg I parametri di Denavit-Hartenberg sono riportati nella Tabella 1, dove d = 5 cm. Le matrici di trasformazione omogenea associate sono: cos θ 1 0 sin θ A 1 (θ 1 ) = sin θ 1 0 cos θ R 1 (θ 1 ) =, 0 cos θ 0 sin θ 0 1 A (θ ) = sin θ 0 cos θ 0 1 R (θ ) 1 p 1 d =, 0 cos θ 3 0 sin θ 3 0 A 3 (θ 3 ) = sin θ 3 0 cos θ 3 0 R 3 (θ 3 ) 0 0 =. 0 4

5 Possiamo inoltre definire le seguenti matrici (costanti) di trasformazione omogenea: 0 w T 0 = w R w 0 p w0 d 0 =, 0 3 T e = d e 0 con d 0 = 0 cm e d e = 10 cm. Si noti che 3 R e = I. = 3 R e 3 p 3e L orientamento della terna SR e rispetta alla terna del mondo SR w è quindi dato dalla w R e (θ) = w R 0 0 R 1 (θ 1 ) 1 R (θ ) R 3 (θ 3 ) 3 R e = cos θ 1 cos θ cos θ 3 sin θ 1 sin θ 3 cos θ 1 sin θ cos θ 1 cos θ sin θ 3 + sin θ 1 cos θ 3 sin θ 1 cos θ cos θ 3 + cos θ 1 sin θ 3 sin θ 1 sin θ sin θ 1 cos θ sin θ 3 cos θ 1 cos θ 3. sin θ cos θ 3 cos θ sin θ sin θ 3 Data una matrice di rotazione w R e che specifica l orientamento desiderato, si può quindi procedere alla soluzione del problema cinematico inverso per questa struttura robotica a tre gradi di libertà. In particolare, si può risolvere rispetto a θ la seguente equazione cinematica 0 r 11 0 r 1 0 r 13 0 R 1 (θ 1 ) 1 R (θ ) R 3 (θ 3 ) = w R T 0 w R e = 0 R e = 0 r 1 0 r 0 r 3, 0 r 31 r 3 0 r 33 dove la matrice a destra dell uguaglianza è costante. Ragionando in modo simile a quanto visto nell Esercizio 1, è possibile mostrare che il problema inverso di orientamento ha un insieme infinito di soluzioni per θ 1 e θ 3 (con una valore prefissato per la loro somma o differenza) se e solo se 0 r 31 = 0 r 33 = 0 ( 0 r 3 = ±1). Tutte le possibili matrici di rotazione w R e che portano ad una tale situazione hanno la forma r r 13 0 ±1 0 w R e = r r 3 = 0 r r ±1 0 0 r r 3, Per esempio, una tale candidata è w R e =